Projecto de Controladores Compensação série Projecto no domínio da frequência Compensação por avanço de fase Compensação por atraso de fase Compensação por moldagem do ganho de malha

Compensação série JÁ ESTUDADO Objectivo: Modificação das características de um sistema (resposta em frequência e/ou resposta no tempo) por forma a satisfazer determinadas especificações, tais como: Exatidão Estabilidade relativa Rapidez de resposta Exemplo de especificações de projecto: na frequência no tempo margem de fase margem de ganho largura de banda etc… tempo de crescimento tempo de estabelecimento sobre-elevação Diagrama de Bode e/ou de Nyquist Root-locus JÁ ESTUDADO

Esquema geral de compensação série Introdução na cadeia de acção de um bloco de compensação – C(s) – alteração dos polos/zeros do sistema em cadeia aberta Especificações na frequência – diagramas de Bode e/ou de Nyquist Objectivo – modificar a resposta em frequência do sistema em cadeia aberta

Esquema geral de compensação série Amplitude (dB): Argumento(º): Amplitude (dB) Argumento (º) MG>0 MF>0 sistema a controlar: KG(s)H(s) MG>0 MF>0 sistema controlado: KC(s)G(s)H(s) controlador: C(s) MF e MG aumentaram Estabilidade relativa aumentou

Compensação série Exemplo 1ª tentativa: - sistema instável sistema em cadeia fechada marginalmente estável

Compensação série Exemplo (cont.) 1ª tentativa: - sistema instável A imagem do contorno passa pelo ponto Plano s Projecto apoiado no root-locus: Plano KG é polo em malha fechada sistema em cadeia fechada marginalmente estável

Compensação série Exemplo (cont.) - sistema instável 2ª tentativa: Projecto apoiado no root-locus

Compensação série Exemplo (cont.) 2ª tentativa: - sistema instável Plano s sistema original O compensador por avanço de fase afasta o diagrama do ponto Plano KGC benefício de avanço de fase

Projecto no domínio da frequência Compensadores de fase K – ganho C(s) – compensador de fase G(s) – sistema a controlar Os compensadores de fase, C(s), apresentados com ganho estático unitário, são controladores simples de 1ª ordem, com um polo e um zero, que permitem melhorar a estabilidade relativa do sistema em malha fechada ao serem projectados com o objectivo de obter uma Margem de Fase conveniente – modificam as características dinâmicas do sistema. O ajuste do ganho K irá determinar os erros em regime permanente.

Compensador de avanço de fase Com o controlador de avanço de fase pretende-se introduzir fase positiva na vizinhança da frequência de corte a 0 dB de modo a aumentar a Margem de Fase, não esquecendo que o compensador também introduz ganho.

Compensador de avanço de fase Localização do controlador - frequência de corte a 0 dB amplitude (dB) fase (º) controlador sistema compensado sistema não compensado - pequena influência na MF MF amplitude (dB) fase (º) controlador sistema compensado sistema não compensado - pequena influência na MF MF

Compensador de avanço de fase Localização do controlador - frequência de corte a 0 dB amplitude (dB) fase (º) controlador sistema compensado sistema não compensado - MF aumenta MF Devido ao ganho do controlador, frequência de corte a 0 dB aumenta Devido ao aumento da frequência de corte a 0dB, a MF aumenta de um valor ligeiramente inferior a fm

Compensação por avanço de fase Dimensionamento Determinar o ganho K da função de transferência em cadeia aberta do sistema a controlar – KG(s)H(s) – de modo a satisfazer as especificações relativas aos erros estáticos. Com o ganho K obtido, calcular a margem de fase (MF) do sistema a controlar. Determinar o avanço de fase fm que é necessário adicionar ao sistema a controlar MF requerida nas especificações de projecto MF do sistema a controlar – KG(s)H(s) Como o compensador introduz ganho, a frequência de corte a 0 dB do sistema compensado desloca-se; a esse novo valor da frequência corresponderia no sistema original uma MF diferente pelo que é preciso introduzir a correcção e A partir de fm determinar o parâmetro a do controlador

Compensação por avanço de fase Dimensionamento Determinar de modo a coincidir com a nova frequência de corte a 0dB. Nessa frequência o compensador introduz um ganho em dB de pelo que a frequência deverá ser aquela à qual o sistema não compensado apresenta um ganho de wm é a nova frequência de corte a 0 dB Para a e wm obtidos, determinar o parâmetro T Verificar se as especificações foram satisfeitas!

Compensação por avanço de fase Exemplo Dimensionar K e uma malha de avanço de fase C(s) tal que: Erro estático de velocidade: Margem de fase: Margem de Ganho: Margens de fase e de ganho: Ganho K (C(s)=1):

Compensação por avanço de fase Exemplo (cont) Avanço de fase fm: Cálculo de a: Determinação de wm: Determinação de T:

Compensação por avanço de fase Especificações: Erro estático de velocidade: Margem de fase: Margem de Ganho: Verificação de resultados sistema compensado sistema não compensado controlador amplitude (dB) fase (º) sistema compensado sistema não compensado

Compensação por avanço de fase Compensadores de avanço de fase são filtros passa-alto utilizados para introduzir fase positiva na vizinhança da frequência de cruzamento a 0 dB do sistema original. Consequentemente, compensação por avanço de fase permite aumentar a margem de fase melhorando a estabilidade relativa aumentar a largura de banda o que diminui o tempo de estabelecimento tornando o sistema mais rápido mas conduz ao aumento do ganho de alta frequência diminuindo a capacidade de rejeição de perturbações de alta frequência

Compensador de atraso de fase Com o controlador de atraso de fase pretende-se tirar partido da atenuação introduzida pelo compensador na alta frequência de modo a deslocar a frequência de cruzamento a 0 dB para a frequência que conduz à margem de fase desejada

Compensador de atraso de fase Localização do controlador amplitude (dB) fase (º) sistema não compensado Objectivo: escolher para frequência de corte a 0 dB a frequência wc da resposta em frequência do sistema a controlar cuja fase conduza à margem de fase pretendida wc pretendida MF pretendida MF=0 Onde localizar o controlador?

Compensador de atraso de fase Localização do controlador Variação de fase no controlador afecta fase na wc pretendida amplitude (dB) fase (º) zero do controlador numa frequência entre 1 década antes e a wc pretendida amplitude (dB) fase (º) sistema compensado controlador sistema não compensado zero do controlador na frequência wc pretendida wc pretendida MF pretendida wc pretendida MF pretendida ainda não satisfaz não satisfaz

Compensador de atraso de fase Localização do controlador amplitude (dB) fase (º) zero do controlador mais de 1 década antes de wc pretendida, maior redução no ganho de baixa frequência amplitude (dB) fase (º) zero do controlador 1 década antes de wc pretendida wc pretendida MF pretendida wc pretendida MF pretendida satisfaz satisfaz

Compensação por atraso de fase Dimensionamento Determinar o ganho K da função de transferência em cadeia aberta do sistema a controlar – KG(s)H(s) – de modo a satisfazer as especificações relativas aos erros estáticos. Com o ganho K obtido, calcular as margens de ganho (MG) e de fase (MF) do sistema a controlar. Se MF e MG não satisfazem as especificações, determinar wc (“nova” frequência de corte a 0 dB), tal que MF requerida nas especificações de projecto Destina-se a compensar a fase negativa que o controlador irá introduzir na nova frequência de corte a 0 dB

Compensação por atraso de fase Dimensionamento Como o ganho do controlador na alta frequência é de , para que o ganho do sistema controlado na frequência wc seja de 0 dB, determinar b tal que Para que não haja perturbação significativa na fase da nova frequência de corte a 0 dB, e para simultaneamente utilizar a máxima atenuação introduzível, o zero do controlador é colocado uma década abaixo da frequência wc: Verificar se as especificações foram satisfeitas!

Compensação por atraso de fase Exemplo Dimensionar K e uma malha de atraso C(s) tal que: Erro estático de velocidade: Margem de fase: Margem de Ganho: Margens de fase e de ganho: Ganho K (C(s)=1): MF<0º, MG<0 dB – sistema em anel fechado instável

Compensação por atraso de fase Exemplo (cont.) Determinar wc (“nova” frequência de corte a 0 dB), tal que Determinar b tal que Localização do zero e do polo do controlador

Compensação por atraso de fase Especificações: Erro estático de velocidade: Margem de fase: Margem de Ganho: Verificação de resultados amplitude (dB) fase (º) controlador sistema compensado sistema não compensado sistema compensado sistema não compensado

Compensação por atraso de fase Compensadores de atraso de fase são essencialmente filtros passa-baixo. Consequentemente, compensação por atraso de fase permite ganho elevado para as baixas frequências o que melhora a exactidão (erro estático) ganho baixo para as altas frequências o que aumenta a estabilidade relativa (margem de fase) mas conduz à diminuição da largura de banda o que aumenta o tempo de estabelecimento do sistema tornando o sistema mais lento

Moldagem do ganho de malha Pretende-se: um bom seguimento do sinal de referência, cuja ocupação espectral se situa habitualmente em frequências relativamente baixas, uma boa rejeição das perturbações que incidem no sistema a controlar e cujo espectro de frequência se situa habitualmente no domínio das baixas e médias frequências, uma boa rejeição do ruído com origem nos sensores localizados na cadeia de retroacção e com ocupação espectral em frequências relativamente altas, uma boa e robusta estabilidade relativa. Definição de um perfil desejado para a resposta em frequência da malha aberta

Resposta em malha fechada Princípio da sobreposição Seguimento da referência r: Influência da perturbação d na saída y: Influência do ruído n na saída y:

Caracterização dos sinais Sinais caracterizados pela sua ocupação espectral, i.e., modelizados como processos estocásticos estacionários com densidade espectral de potência F(jw). Seja um processo estocástico (sinal aleatório) ergódico estacionário. Função de autocorrelação de : Potência média de : Densidade espectral de potência de :

Sinais estocásticos e SLITs - processos estocásticos ergódicos estacionários - resposta em frequência do SLIT Relação entre os espectros de potência dos sinais de saída e de entrada

Moldagem do ganho de malha Nos processos físicos reais a potência está concentrada em bandas de frequência limitadas sendo fora dessas bandas de frequência. (r – baixas frequências, d – baixas e médias frequências, n – altas frequências) Especificações de projecto Condições impostas ao módulo da resposta em frequência de cada uma das funções de transferência em bandas de frequência especificadas

Moldagem do ganho de malha Bom seguimento do sinal de referência r – sinal de baixa frequência Especificação de projecto:

Moldagem do ganho de malha Bom seguimento do sinal de referência Especificação de projecto: Constrição no ganho de malha:

Moldagem do ganho de malha Boa rejeição de perturbações no processo d – sinal de baixa ou média frequência Especificação de projecto:

Moldagem do ganho de malha Especificação de projecto: Boa rejeição de perturbações no processo Constrição no ganho de malha:

Moldagem do ganho de malha Boa rejeição do ruído nos sensores n – sinal de alta frequência Especificação de projecto:

Moldagem do ganho de malha Especificação de projecto: Boa rejeição do ruído nos sensores Constrição no ganho de malha:

Moldagem do ganho de malha Objectivo: Moldar (por escolha adequada de K(s)) o ganho de malha de modo a ajustá-lo entre as barreiras, preservando a estabilidade do sistema em malha fechada barreira inferior de baixa e média frequência barreira superior de alta frequência

Moldagem do ganho de malha Exemplo 1 - sistema instável Projectar K(s) de modo a serem cumpridas as seguintes especificações: Seguimento da referência r com erro menor ou igual a -60 dB na banda de frequências [0,1] rad/s; Atenuação de pelo menos 40 dB do efeito da perturbação d sobre a saída y na banda de frequências [0,10] rad/s; Atenuação de pelo menos 20 dB do efeito do ruído n sobre a saída y na banda de frequências [103,106] rad/s; Margem de fase de 45º

Moldagem do ganho de malha Exemplo 1 (cont.) Condições i. e ii. não são satisfeitas

Moldagem do ganho de malha Exemplo 1 (cont.) amplitude (dB) fase (º) i. ii. iii. Condições i., ii. e iii. satisfeitas 1º passo: MF=0º Condição Margem de fase de 45º não satisfeita Introduzir malha de avanço de fase para aumentar a fase de 45º na frequência de corte a 0 dB (wc=102 rad/s).

Moldagem do ganho de malha amplitude (dB) fase (º) Exemplo 1 (cont.) 2º passo: Malha de avanço de fase com ganho estático unitário Localização do zero:

Moldagem do ganho de malha Exemplo 1 (cont.) Plano KGC Plano s contorno de Nyquist Sistema em cadeia fechada estável Modelo fisicamente realizável de K(s) incluiria um polo adicional localizado pelo menos uma década acima do zero

Moldagem do ganho de malha Exemplo 2 - sistema estável Projectar K(s) de modo a serem cumpridas as seguintes especificações: Erro estático de posição nulo; Seguimento da referência r com erro menor ou igual a -100 dB na banda de frequências [0,10-3] rad/s; Atenuação de pelo menos 60 dB do efeito da perturbação d sobre a saída y na banda de frequências [0,10-2] rad/s; Atenuação de pelo menos 40 dB do efeito do ruído n sobre a saída y na banda de frequências [102,103] rad/s; Margem de fase maior ou igual a 45º Margem de ganho maior ou igual a 20 dB

Moldagem do ganho de malha Exemplo 2 Erro estático de posição nulo: A função de transferência em acadeia aberta tem de ter pelo menos um polo na origem. amplitude (dB) 1º passo: Condições ii. e iii. não são satisfeitas

Moldagem do ganho de malha fase (º) amplitude (dB) Exemplo 2 (cont.) 2º passo: ii. iii. iv. Condições ii., iii. e iv. satisfeitas Condição Margem de fase maior ou igual a 45º não satisfeita Introduzir malha de atraso de fase para deslocar a frequência de corte a 0 dB para a fase de -135º sem aumentar o ganho de alta frequência.

Moldagem do ganho de malha fase (º) amplitude (dB) Exemplo 2 (cont.) 3º passo: Malha de atraso de fase com ganho estático unitário Determinação de b: Nova frequência de corte a 0 dB: Localização do zero:

Moldagem do ganho de malha fase (º) amplitude (dB) Exemplo 2 (cont.) Contorno de Nyquist Sistema em cadeia fechada estável