Todos os direitos reservados CONTROLO 3º ano – 1º semestre 2011-2012 Transparências de apoio às aulas teóricas Capítulo– Projecto Nyquist/Bode Maria Isabel Ribeiro António Pascoal Todos os direitos reservados Estas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores

Projecto no domínio da frequência Sistema a controlar Controlador EXEMPLO + _ C(s) G(s) Diagrama de Bode da f.t.ca.=1/s2 K=1 frequência de cruzamento margem de fase sistema marginalmente estável

EXEMPLO + _ C(s) G(s) A x x Sistema a controlar Controlador Critério de Nyquist Contorno de Nyquist A imagem do contorno de Nyquist passa pelo ponto crítico -1 A x x -1 pólo duplo sistema marginalmente estável é um pólo em malha fechada

Estratégia de Controlo EXEMPLO Sistema a controlar Controlador + _ C(s) G(s) Root-Locus Estratégia de Controlo x x efeito estabilizador (PD) pólo duplo o x x 2 pólos da f.t.c.f. no eixo imaginário Introdução de amortecimento artificial devido ao termo derivativo sistema marginalmente estável

EXEMPLO + _ C(s) G(s) K=1, z=0.1rad/s Sistema a controlar Controlador sistema em c.f. estável -1 Pode aumentar-se o ganho indefinidamente sem que se perca estabilidade

Análise do compensador PD arg C(s) 90º 45º benefício de avanço de fase z compensador por avanço de fase sistema original Diagrama de Nyquist O compensador de avanço de fase afasta o diagrama do ponto -1 -1 sistema compensado nova margem de fase

Compensador de avanço de fase Compensador PD Compensador de avanço de fase sistema realizável (com um pólo e um zero) Sistema a controlar Controlador + _ C(s) avanço de fase G(s)

Compensador por Avanço de Fase Ganho estático = K zero = - 1/T pólo = - 1/bT x

Compensador por Avanço de Fase Máximo (benefício) do AVANÇO DE FASE Cálculo de Em escala logarítmica, equidistante das frequências de corte do zero e do pólo

Compensador por Avanço de Fase

Compensador por Avanço de Fase Máximo AVANÇO DE FASE 90º x

Compensador por Avanço de Fase Porque é importante conhecer ? O compensador de avanço de fase usa-se para aumentar a margem de fase, ou seja somar fase na frequência em que o ganho da f.t.c.a. é unitário. Ao somar fase em wmax, também se aumenta o ganho. De quanto? É o preço a pagar pelo avanço de fase

Compensador por Avanço de Fase

EXEMPLO 1 Sistema de controlo (Motor de c.c. com amplificador) + _ motor com carga controlador amplificador posição angular + _ velocidade Objectivos a atingir K(s) estabiliza o sistema motor c.c. com amplificador Erro de seguimento a rampa unitária Margem de fase Margem de ganho

EXEMPLO 1 G(s) a projectar + _ 2. Erro de seguimento a rampa unitária ganho estático unitário 2. Erro de seguimento a rampa unitária escolha-se

EXEMPLO 1 a projectar + _ diagrama de Bode de Os valores seriam diferentes se tivesse sido usado o diagrama de Bode assimptótico Só com este ganho, o sistema em cadeia fechada é estável, embora não satisfaça a margem de fase pretendida

EXEMPLO 1 a projectar + _ x x x -1 34º P=0 N=0 Z=P+N=0 Confirmação da estabilidade em cadeia fechada usando critério de Nyquist com Contorno de Nyquist x x x -100 -36 -1 34º P=0 N=0 módulo=1 Z=P+N=0

EXEMPLO 1 a projectar + _ 3. Margem de fase Aumento nominal de 48º - 34º = 14º Para No entanto é necessário “dar” FASE ADICIONAL Compensador de avanço sistema original nova frequência de cruzamento 0 db figura não à escala. Apenas ilustrativa Como a frequência de cruzamento aumenta é preciso + aumento de fase Não basta um aumento de 14º 34º -180º sistema original

EXEMPLO 1 a projectar + _ 3. Margem de fase Aumento nominal de 48º - 34º = 14º Para Aumento total de fase = Nominal + “Factor de Segurança” = 14º + 10º = 24º Determinação das características do compensador de avanço de fase avanço O parâmetro b define o afastamento entre o zero e o pólo do compensador

EXEMPLO 1 preço a pagar pelo avanço de fase onde se coloca Ganho estático do compensador unitário Todo o ganho necessário já foi considerado onde se coloca Conhecendo b Escolhendo wmax Calcula-se T wmax é a frequência a que o avanço de fase é maior

EXEMPLO 1 onde se coloca +3.77dB -3.77dB f.t.c.a sistema compensado -3.77dB f.t.c.a sistema original Frequência à qual o ganho de malha

EXEMPLO 1 a projectar + _ f.t. do compensador com ganho estático unitáro f.t.c.a. do sistema compensado f.t.c.a. do sistema original*1440

EXEMPLO 1 + _ Se não for satisfatório, refaça os cálculos f.t.c.a. do sistema original f.t. do compensador f.t.c.a. do sistema compensado Se não for satisfatório, refaça os cálculos

EXEMPLO 1 + _ nova margem de fase Repita o projecto com base no diagrama de Bode assimptótico

Compensador de avanço - Sumário Introduz fase positiva na vizinhança da frequência de cruzamento a 0dB do sistema original, aumentando a margem de fase e melhorando assim a estabilidade relativa Preço a pagar é um aumento do ganho de alta frequência O compensador de avanço é equivalente ao controlador PD no intervalo de frequências em que o efeito do pólo é pouco significativo O compensador de avanço é uma representação mais realista do controlador PD em que o pólo tem a função de limitar o ganho de altas frequências do controlador

Compensador de Atraso de Fase 0 dB Diagrama de Bode de O compensador que vai ser apresentado tem ganho estático unitário Ganho estático = 1 zero = - 1/T pólo = - 1/aT x

Compensador de atraso – Princípio de utilização Tirar partido da atenuação do ganho de modo a deslocar a frequência de cruzamento a 0dB para a frequência que conduz à margem de fase desejada. Preço a pagar é uma diminuição da fase na zona de influência do compensador Até uma década após o zero Procura-se que a característica de fase original não seja significativamente alterada na vizinhança da nova frequência de cruzamento a 0dB. Zero do compensador colocado, pelo menos, uma década antes da frequência de cruzamento a 0dB desejada.

Compensador de Atraso de Fase Diagrama de Bode de 0 dB

EXEMPLO 2 Sistema de controlo (Motor de c.c. com amplificador) + _ motor com carga controlador amplificador posição angular + _ velocidade Objectivos a atingir K(s) estabiliza o sistema motor c.c. com amplificador Erro de seguimento a rampa unitária Margem de fase Margem de ganho

EXEMPLO 2 G(s) a projectar + _ 2. Erro de seguimento a rampa unitária ganho estático unitário 2. Erro de seguimento a rampa unitária escolha-se

EXEMPLO 2 a projectar + _ diagrama de Bode de Qual terá que ser a frequência de cruzamento a 0dB para ter a margem de fase pretendida? Chegará diminuir o ganho de 20dB nesta frequência com um compensador de atraso?

EXEMPLO 2 a projectar + _ Porque é necessário o factor de segurança? diagrama de Bode de factor de segurança Porque é necessário o factor de segurança? O compensador de atraso deve providenciar um ganho de -24dB à frequência de 9.8rad/s

EXEMPLO 2 Dimensionamento do compensador de atraso -24dB -90º define o afastemento entre o pólo e o zero Fase negativa = preço a pagar pela diminuiçãode ganho -90º Onde “colocar” o compensador?

EXEMPLO 2 Várias hipótess possíveis de “colocação” do compensador 0º

EXEMPLO 2 Estratégia de “colocação” do compensador de atraso Zero do compensador 1 década abaixo da frequência de cruzamento desejada Na frequência de cruzamento desejada, a fase negativa introduzida pelo compensador já é pequena, embora não nula 0 dB -24dB Isto justifica a introdução de fase adicional no cálculo da margem de fase desejada Fase negativa = preço a pagar pela diminuiçãode ganho -90º

EXEMPLO 2 a projectar + _ especificações verificadas Bode Diagram 100 Frequency (rad/sec) -100 -50 50 100 System: sys Frequency (rad/sec): 10 Magnitude (dB): -0.175 Magnitude (dB) 10 -2 -1 1 2 3 -270 -180 -90 Phase (deg) Phase (deg): -116 f.t.c.a. do sistema original*5839 f.t.c.a. do sistema original*5839 f.t.c.a. do sistema compensado f.t. do compensador f.t. do compensador f.t.c.a. do sistema compensado especificações verificadas