Integração Numérica: Equações Diferenciais Pedro Barahona DI/FCT/UNL Introdução aos Computadores e à Programação 2º Semestre 2007/2008

Integração Numérica: Equações Diferenciais Ordinárias Como é sabido, o integral de uma função nem sempre tem uma solução analítica (priimitiva). Mesmo quando ela existe, pode não ser muito fácil determiná-la (derivar é fácil, primitivar não!). Nestas condições, podemos obter soluções aproximadas, através da integração numérica. Estas aproximações são muito úteis no cálculo de áreas, em que a área A(x) é a primitiva da função f(x). dx f(x) df(x) a x x+dx b 9 Abril 2008 Integração Numérica: Equações Diferenciais Ordinárias

Integração Numérica f(x) Com efeito, denotando por A(x) a área da função f(x) desde a até x, e A(x+h) a área da função entre a e x+h, a diferença destas áreas é dada por A(x+h) – A(x) ≈ f(x) * h i.e. f(x) ≈ ( A(x+h)-A(x) ) / h Esta aproximação só é exacta no limite, o que mostra ser a área A de uma função f a primitiva dessa função (pois a derivada da área é a função, ou seja f(x) = dA(x)/dx. a x x+h f(x) b h dA(x) 9 Abril 2008 Integração Numérica: Equações Diferenciais Ordinárias

Integração Numérica: Equações Diferenciais Ordinárias Assim, a obtenção da primitiva de uma função “corresponde” à obtenção da sua área. Mas esta pode ser obtida numéricamente, substituindo-se o integral entre dois pontos pelo somatório de áreas entre os dois pontos limites a e b, com incrementos dx = h. a f(x) b h 9 Abril 2008 Integração Numérica: Equações Diferenciais Ordinárias

Integração Numérica: Equações Diferenciais Ordinárias Exemplo: Consideremos a função f(x) = 4x. Como neste caso, a função é facilmente primitivável (F(x) = 2x2+k), a sua área entre os pontos x= 1 e x = 5 é dada por Mas este é o valor aproximado obtido através das funções abaixo, em que a área é aproximada com n intervalos (a função area mais geral, pois recebe o nome da função a integrar como parâmetro). function a =area_f(a,b,n); s = 0; d = (b-a)/n for i = 1:n y = 4*(a+d*(i-1)); s = s + y * d; endfor endfunction function a = area(f,a,b,n); s = 0; d = (b-a)/n for i = 1:n y = feval(f,a+d*(i-1)) s = s + y * d; endfor endfunction 9 Abril 2008 Integração Numérica: Equações Diferenciais Ordinárias

Integração Numérica: Equações Diferenciais Ordinárias Cálculo de p Exemplo: Para determinar o valor de p, basta calcular a área da função O valor de pi vem calculado por excesso em p1 e por defeito em p2. Em p vem a média (correspondente à soma de trapézios, e não rectângulos). 1 y1 y2 function [p, p1, p2] = pi_integral(n); s = 0; s1 = 0; s2 = 0; x = 0; dx = 1/n; for i = 1:n y1 = sqrt(1-x^2); x = x + dx; y2 = sqrt(1-x^2); s1 = s1 + y1 * dx; s2 = s2 + y2 * dx; s = s + 0.5 *(y1+y2) * dx; endfor p = 4*s; p1 = 4* s1; p2 = 4*s2; endfunction 9 Abril 2008 Integração Numérica: Equações Diferenciais Ordinárias

Equações Diferenciais Ordinárias Uma outra aplicação da integração numérica ocorre na resolução numérica de equações diferenciais. Neste tipo de equações, não só são impostas restrições ao valor de variáveis, mas também à sua variação. Exemplo: Um corpo está sujeito a um movimento linear, ao longo do eixo dos xx, com velocidade constante e igual a 5 m/s. Qual a posição desse corpo, sabendo-se que no instante inicial ele está na posição x0 = 5m. Resposta: Como é sabido, a velocidade instantânea mede a variação da posição num dado instante. Denotando a posição do corpo no instante t por x(t) temos Neste caso a solução é simples e pode ser obtida analiticamente. Conhecendo-se a derivada da distância, esta é obtida por primitivação da velocidade, o que neste caso pode se feito analiticamente, obtendo-se x(t) = 5 t + x0 9 Abril 2008 Integração Numérica: Equações Diferenciais Ordinárias

Equações Diferenciais Ordinárias Para uma dada função f, se se conhecer a sua variação, df/dt, ao longo do tempo, e um valor inicial dessa variável, f0 = f(0), pode aproximar-se o valor f(t) da variável ao longo do tempo. Com efeito, a função pode ser expandida numa série de McLaurin (ou de Taylor) da função Se o valor h for pequeno, os termos em h2, h3 e seguintes podem ser desprezados. Neste caso, h é geralmente referido por dt (uma pequena variação de t) e o valor da função no ponto t = h = dt é aproximado por para o que basta conhecer o valor de f no instante 0, f(0), a sua variação, df(0)/dt, e o instante t = h = dt, suficientemente próximo de 0. O processo pode depois repetir-se para sucessivos avanços dt até se obter o valor de t pretendido. erro dt 9 Abril 2008 Integração Numérica: Equações Diferenciais Ordinárias

Equações Diferenciais Ordinárias Exemplo: Sabendo-se que a velocidade (isto é, a variação da posição) de um corpo ao longo do tempo é dada por dx/dt = (3-x) + 8/(t+1), o valor aproximado da posição do corpo, num ponto t, x(t), pode ser obtido pela função abaixo, em que n é o número de intervalos dt considerados xo é a posição inicial xf, kx e kt são constantes (no caso, com valores 3, 1 e 8, respectivamente) function X = corpo(x0, xf, kx, kt, t, n); dt = t/n; X(1) = x0; T(1) = 0; for i = 2:n T(i) = T(i-1)+ dt; dxdt = kx*(xf-X(i-1)) + kt / (T(i-1)+1); X(i) = X(i-1) + dxdt * dt; endfor plot(T,X); endfunction 9 Abril 2008 Integração Numérica: Equações Diferenciais Ordinárias

Equações Diferenciais Ordinárias Em Física é muito frequente defrinirem-se grandezas como função não de outras grandezas mas também da sua variação. Por exemplo, a velocidade é a variação da posição em ordem ao tempo a aceleração é a variação da velocidade em ordem ao tempo Tendo em conta que a força é proporcional à aceleração, f = ma, o movimento de um corpo (isto é, a função de posição ao longo do tempo x(t) ) pode ser determinado a partir das forças que actuam sobre um corpo. Vamos pois considerar alguns casos particulares de movimentos, quer numa só dimensão quer a duas dimensões. 9 Abril 2008 Integração Numérica: Equações Diferenciais Ordinárias

Integração Numérica: Equações Diferenciais Ordinárias Equações do Movimento Em geral, pretende-se determinar o valor da posição, x, velocidade, v, e aceleração a, de um corpo num dado instante t, a partir da sua situação inicial (velocidade inicial v0 e posição inicial x0) e das forças que sobre ele actuam. Para esse efeito, iremos utilizar um conjunto de instantes t0, t1, t2, ..., tn, em que a sua diferença dt = ti+1 – ti é um valor suficientemente pequeno para que os erros produzidos pelas aproximações não sejam muito significativos. Para facilitar a notação, representaremos por xi, vi e ai, respectivamente a posição, velocidade e aceleração do corpo no instante ti. Nestas condições A partir da velocidade vi-1, e da sua variação, i.e. da aceleração ai-1 = dvi-1/dt, obtem-se o valor da velocidade no instante seguinte vi = vi-1 + ai-1 dt A partir da posição xi-1, e da sua variação, i.e. da velocidade vi-1 = dxi-1/dt, obterm-se o valor da posição no instante seguinte xi = xi-1 + vi-1 dt 9 Abril 2008 Integração Numérica: Equações Diferenciais Ordinárias

Integração Numérica: Equações Diferenciais Ordinárias Queda de Graves Comecemos por considerar a queda de corpos sujeitos unicamente à força da gravidade, que à superfície da terra tem um valor constante de 9.8 ms-2. O seu movimento pode ser obtido pela função abaixo, em que v0 é a velocidade inicial (positiva: para cima e negativa: para baixo) e y0 a posição inicial (se positiva, representa posições acima do “chão”). O movimento termina, em geral, quando o corpo atinge o chão (y <= 0). function t = queda(y0, v0, dt); i = 1; T(1) = 0; g = 9.8; Y(1) = y0; V(1) = v0; A(1) = -g; while Y(i) > 0 i = i+1; A(i) = - g; V(i) = V(i-1) + A(i-1) * dt; Y(i) = Y(i-1) + V(i-1) * dt; T(i) = T(i-1) + dt; endwhile t = T(i); Z = zeros(1,i); plot(T,[Y;Z]); endfunction ai = - g vi = vi-1 + ai-1 dt yi = yi-1 + vi-1 dt 9 Abril 2008 Integração Numérica: Equações Diferenciais Ordinárias

Queda de Graves com Resistência do Ar A resistência do ar, pode ser modelada como uma força proporcional à velocidade e de sinal contrário, isto é, fa = -k v, em que k é um coeficiente de atrito de valor constante. Assim no instante ti, teremos ai = - g + k*vi-1. A função anterior pode ser alterada para reflectir esta mudança, como se indica abaixo. function t = queda_atrito(y0, v0, k, dt); i = 1; T(1) = 0; g = 9.8; Y(1) = y0; V(1) = v0; A(1) = -g - k*V(1); while Y(i) > 0 i = i+1; A(i) = - g - k*V(i-1); V(i) = V(i-1) + A(i-1) * dt; Y(i) = Y(i-1) + V(i-1) * dt; T(i) = T(i-1) + dt; endwhile t = T(i); Z = zeros(1,i); plot(T,[Y;Z]); endfunction ai = - g - k vi-1 vi = vi-1 + ai-1 dt yi = yi-1 + vi-1 dt 9 Abril 2008 Integração Numérica: Equações Diferenciais Ordinárias

Integração Numérica: Equações Diferenciais Ordinárias Queda de Graves em 2D Caso exista um velocidade inicial na horizontal, deverá ser considerado o movimento em duas dimensões, com a anterior componente y, vertical e uma nova componente x, horizontal. Agora deverão considerar-se as duas componentes separadas, quer para a força (aceleração), quer para a velocidade, quer ainda para a posição. Na vertical, a situação mantem-se como anteriormente Já an horizontal, passamos a ter, as seguintes componentes ayi = - g - k vyi-1 vyi = vyi-1 + ayi-1 dt yi = yi-1 + vyi-1 dt axi = - k vxi-1 vxi = vxi-1 + axi-1 dt xi = xi-1 + vi-1 dt 9 Abril 2008 Integração Numérica: Equações Diferenciais Ordinárias

Integração Numérica: Equações Diferenciais Ordinárias Queda de Graves em 2D Desta forma a queda de graves em 2D pode ser simulada pela seguinte função (em que o gráfico agora representa a evolução do corpo no espaço): function t = queda_atrito_2D(x0, y0, vx0, vy0, k, dt); i = 1; T(1) = 0; g = 9.8; X(1) = x0; Vx(1) = vx0; Ay(1) = - k*Vx(1); Y(1) = y0; Vy(1) = vy0; Ay(1) = -g - k*Vy(1); while Y(i) > 0 i = i+1; Ay(i) = - g - k*Vy(i-1); Vy(i) = Vy(i-1) + Ay(i-1) * dt; Y(i) = Y(i-1) + Vy(i-1) * dt; Ax(i) = - k*Vx(i-1); Vx(i) = Vx(i-1) + Ax(i-1) * dt; X(i) = X(i-1) + Vx(i-1) * dt; T(i) = T(i-1) + dt; endwhile t = T(i); Z = zeros(1,i); plot(X,[Y;Z]); endfunction 9 Abril 2008 Integração Numérica: Equações Diferenciais Ordinárias

Integração Numérica: Equações Diferenciais Ordinárias Movimento de uma Mola Um segundo exemplo de integração de equações diferenciais é obtido pelo movimento de uma mola. Se se deslocar o extremo da mola de uma distância x, ele é impelido para a posição de repouso por uma força proporcional à distância. Existe ainda um factor de atrito, proporcional e oposto à velocidade. Tudo contabilizado podemos modelar o movimento de uma mola através da equação ou seja, fazendo c = k/m e d = a/m x 9 Abril 2008 Integração Numérica: Equações Diferenciais Ordinárias

Integração Numérica: Equações Diferenciais Ordinárias Movimento de uma Mola Desta forma o movimento da mola pode ser simulado pela função abaixo. De notar o critério de paragem (velocidade baixa junto à posição de repouso, e não sendo atingida, uma limitação no número de iterações). De notar ainda a “instabilidade” criada se se usar um dt muito “grande”, ocasionando oscilações crescentes! function t = mola_atrito(x0, v0, c, d, dt, N); i = 1; T(1) = 0; X(1) = x0; V(1) = v0; A(1) = -c*X(1) - d*V(1); while i < N i = i+1; T(i) = T(i-1) + dt; A(i) = -c*X(i-1) - d*V(i-1); V(i) = V(i-1) + A(i-1) * dt; X(i) = X(i-1) + V(i-1) * dt; endwhile t = T(i); Z = zeros(1,i); plot(T,[A;X;V;Z]); endfunction 9 Abril 2008 Integração Numérica: Equações Diferenciais Ordinárias

Integração Numérica: Equações Diferenciais Ordinárias Movimento de uma Mola Em algumas funções, nomeadamente as periódicas, os pequenos erros acumulados podem causar importantes desvios entre a função aproximada e a função “real”. Naturalmente, quanto menores forem os “dt” menores, em princípio serão os erros nas simulações. No entanto, este “remédio” solução levanta alguns problemas, nomeadamente: As simulações tornam-se muito lentas, pois envolvem ciclos com maior número de iterações e portanto um maior número de operações; Os erros de arredondamento podem começar a ter uma grande influência no resultado e eliminar a maior precisão obtida com menores incrementos do tempo, dt, ou de outras variáveis de iteração. Uma alternativa à diminuição do incremento da variável de iteração é a utilização de melhores aproximações no cálculo da função. 9 Abril 2008 Integração Numérica: Equações Diferenciais Ordinárias

Integração Numérica: Equações Diferenciais Ordinárias Movimento de uma Mola Em particular, sendo conhecida derivadas de ordem superior, podem estas ser usadas na aproximação de uma função em séreis de Taylor, em particular as segundas derivadas, que estão calculadas em alguns problemas anteriores. logo function t = mola_atrito_2(x0, v0, c, d, dt, N); i = 1; T(1) = 0; X(1) = x0; V(1) = v0; A(1) = -c*X(1) - d*V(1); while i < N i = i+1; T(i) = T(i-1) + dt; A(i) = -c*X(i-1) - d*V(i-1); V(i) = V(i-1) + A(i-1) * dt; X(i) = X(i-1) + V(i-1) * dt + 1/2 * A2(i-1) * dt^2; endwhile t = T(i); Z = zeros(1,i); plot(T,[A;X;V;Z]); endfunction 9 Abril 2008 Integração Numérica: Equações Diferenciais Ordinárias