Corda é um segmento de recta que une dois pontos da circunferência Circunferência é o conjunto dos pontos equidistantes de um ponto (centro) Raio é um segmento de recta que une um ponto da circunferência ao seu centro Diâmetro Corda é um segmento de recta que une dois pontos da circunferência Raio Diâmetro é toda a corda que passa pelo centro da circunferência O diâmetro é a maior das cordas O diâmetro divide a circunferência em duas semi-circunferências Corda

Ângulo ao Centro e Arco de Circunferência B Um ângulo formado por dois raios designa-se ângulo ao centro (o vértice do ângulo coincide com o centro da circunferência) Qualquer porção da circunferência determinada por dois dos seus pontos, que são os extremos do arco designa-se Arco de circunferência. Nota – Quando falamos em arco, sem nada acrescentar referimo-nos ao arco menor

Pág.12 – exercício 1 Observa a circunferência de centro O da figura: Ao ângulo ao centro ACB corresponde a corda [AB] e o arco [AB] e vice-versa. Numa circunferência, qualquer ângulo que não seja ao centro diz-se excêntrico. Pág.12 – exercício 1 Observa a circunferência de centro O da figura: Identifica quatro ângulos ao centro. Indica dois pares de ângulos ao centro geometricamente iguais. Classifica quanto aos lados o triângulo [EOD]. Triângulo isósceles

- a cada ângulo ao centro corresponde um arco e vice-versa B E D Numa circunferência: - a cada ângulo ao centro corresponde um arco e vice-versa - A arcos iguais correspondem cordas e ângulos ao centro iguais - A ângulos ao centro iguais correspondem arcos e cordas iguais C F G H I - A cordas iguais correspondem arcos e ângulos ao centro iguais - A amplitude de um arco é igual à amplitude do ângulo ao centro correspondente

Observa a figura onde [MT]  [EA]. Pág.13 – exercício 3 Observa a figura onde [MT]  [EA]. Prova que Resposta: Esta afirmação é verdadeira porque se trata dos comprimentos dos lados de um quadrado, pois como [MT] e [EA] são diâmetros da circunferência, representam as diagonais de um quadrado, por serem iguais.

Pág.13 – exercício 4 Na figura abaixo, [AD] é um diâmetro da circunferência de centro O, é a bissectriz do ângulo BOD. a) Calcula b) Que podemos concluir em relação a Porquê? c) E em relação a Porquê? A amplitude dos arcos é 60º porque a amplitude dos ângulos ao centro correspondentes também é 60º. Os comprimentos das cordas são iguais porque a arcos e ângulos ao centro iguais correspondem cordas iguais d) Supondo que , calcula o comprimento do arco AB.

Observa as figuras e determina, em cada caso, os valores de x e y. Pág.23 – exercício 1 a) e c) Observa as figuras e determina, em cada caso, os valores de x e y. a) Ângulos verticalmente opostos x y c) x+30º 2x - 10º

Ângulo inscrito c F D Um ângulo formado por duas cordas designa-se ângulo inscrito (o vértice do ângulo coincide com um ponto da circunferência) E 80º A amplitude de um ângulo inscrito é igual a metade da amplitude do arco compreendido entre os seus lados O ângulo ao centro tem de amplitude 80º, logo a amplitude do arco correspondente também é 80º, o que significa que a amplitude do ângulo inscrito é igual a metade da do arco correspondente (80º/2=40º).

Observa a figura e indica: Pág.15 – exercício 6 Observa a figura e indica: a) Um ângulo ao centro; b) Um ângulo inscrito; c) Um arco de circunferência; d) Um raio de circunferência; e) Uma corda da circunferência.

Considera a circunferência de centro O. Pág.15 – exercício 7 Considera a circunferência de centro O. [AB] e [DC] são diâmetros. Porquê? Se , calcula: b1) b2) b3) b4) Porque são cordas que passam pelo centro. b5)

Abre agora o programa Geogebra, no teu computador, e verifica o exercício anterior começando por: traçar uma recta (com 2 pontos); desenhar uma circunferência (centro sobre um ponto e raio no outro); marcar os pontos A e B; marcar o ângulo AOD de 34º e os pontos D e C; marcar a corda DB; verificar todos os resultados.

Ângulo inscrito Propriedades: Os ângulos inscritos no mesmo arco de circunferência são geometricamente iguais. Qualquer ângulo inscrito numa semi-circunferência é recto.

Pág.17 – exercício 12 O triângulo [MAR] representado na figura é rectângulo em A e os seus três vértices pertencem à circunferência. Sabendo que e que calcula .

Abre novamente o programa Geogebra e verifica o exercício anterior começando por: traçar uma recta com dois pontos; desenhar uma circunferência (centro sobre um ponto e raio no outro); marcar os pontos M e R; traçar o ângulo MRA de 30º; marcar o ponto A e a corda [MA]; verificar que o ângulo MAR é 90º; traçar uma recta perpendicular a MR e marcar o ponto Q; verificar todos os resultados.

Eixo de simetria de uma circunferência Qualquer recta que passe pelo centro de uma circunferência é eixo de simetria da circunferência.

Qualquer recta que passe pelo centro de uma circunferência divide ao meio as cordas que lhe são perpendiculares, assim como os ângulos ao centro e os arcos correspondentes. Numa circunferência, arcos e cordas compreendidos entre cordas paralelas são geometricamente iguais.

tangente A tangente a uma circunferência é perpendicular à recta que passa pelo centro e pelo ponto de tangência. ponto de tangência 90º Pág. 21 ex.16 a) b)

Pág. 21 ex.17 a) b) c)

Polígonos Polígono é o conjunto de pontos do plano limitado por uma linha fechada, formada por segmentos de recta unidos pelas extremidades. Polígono Não Polígono Os polígonos podem ser côncavos ou convexos. Côncavo Convexo

Diagonal de um Polígono Polígonos Polígono regular Um polígono regular é todo o polígono convexo com as seguintes características: todos os seus lados têm a mesma medida (são congruentes); todos os seus ângulos internos têm a mesma amplitude (são congruentes). Diagonal de um Polígono Diagonal de um polígono é qualquer segmento de recta cujos extremos são vértices não consecutivos do polígono.

Polígonos Regulares Polígono N.º Lados Ângulo ao Centro Ângulo Interno Triângulo equilátero 3 120º 60º Quadrado 4 90º Pentágono 5 72º 108º Hexágono 6 ... N 360º/N = 180 - Ângulo ao centro

Polígonos Concluímos que: A soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono (convexo) de n lados é igual a (n-2)  180º. Pentágono triângulo Si = (5 - 2)  180º = = 3  180º = = 540º Si = (3 - 2)  180º = = 1  180º = = 180º Hexágono Si = (6 - 2)  180º = = 4  180º = = 720º

Polígonos Concluímos que: Num polígono convexo, qualquer que seja o número de lados, a soma dos ângulos externos é sempre 360º.

Polígonos inscritos numa circunferência N.º lados N.º triângulos Soma dos ângulos internos Triângulo 3 1 180º Quadrilátero 4 2 2 × 180º = 360º Pentágono 5 3 × 180º = 540º Hexágono 6 4 × 180º = 720º Heptágono 7 ? Octagono 8

Polígonos Concluímos que: Um polígono diz-se inscrito numa circunferência se esta contém todos os seus vértices. A circunferência diz-se circunscrita ao polígono. A amplitude do ângulo ao centro correspondente ao lado de um polígono regular de n lados é

Polígonos Regulares Polígono N.º Lados Ângulo ao Centro (Ac) Ângulo Interno (Ai) Triângulo equilátero 3 120º 60º Quadrado 4 90º Pentágono 5 72º 108º Hexágono 6 ... N Ac = 360º/N Ai = 180 - Ac

Polígonos Página 31 – ex. 2 a) Página 31 – ex. 3

Polígonos Página 31 – ex. 6 Página 31 – ex. 7

Como se pode determinar a área de um polígono regular qualquer? Polígonos Como se pode determinar a área de um polígono regular qualquer? [ABCDE] é um pentágono regular inscrito na circunferência. Dividimos o pentágono em cinco triângulos isósceles geometricamente iguais. Chama-se apótema de um polígono regular ao segmento de recta que une o centro do polígono com o ponto médio de qualquer um dos lados. o apótema do pentágono coincide com a altura de cada triângulo. h

Polígonos A área do polígono regular [ABCDE] pode ser obtida multiplicando por 5 a área de um dos triângulos em que dividimos o pentágono. ap lado do pentágono. l

Polígonos representa o perímetro do pentágono De modo análogo prova-se que: P = perímetro do polígono ap = apótema de um polígono

Polígonos Página 33 ex. 24 ex. 25 Apótema ex. 26

Chama-se ISOMETRIA a uma transformação geométrica em que são conservados os comprimentos dos segmentos de recta e as amplitudes dos ângulos Translação Transforma uma figura F noutra figura F’ (imagem de F) tendo como referência um vector Reflexão Transforma uma figura F noutra figura F’ (imagem de F) conhecendo um eixo (recta) de simetria Rotação Transforma uma figura F noutra figura F’ (imagem de F) tendo um centro de rotação (ponto) e a amplitude (ângulo) da rotação

Simetria uma roda dentada de uma máquina; aos ponteiros de um relógio; Intuitivamente, todos nós sabemos o que é uma rotação, até porque usamos esse termo no dia-a-dia, quando nos referimos por exemplo: uma roda dentada de uma máquina; aos ponteiros de um relógio; à roda de um veículo; à hélice de um avião; ao movimento de rotação que a Terra faz em torno de si mesmo;

Associado ao conceito de rotação está o conceito de ângulo orientado. Deste modo, convencionou-se que o sentido contrário ao do movimento dos ponteiros de um relógio é o sentido positivo, enquanto que o sentido do movimento dos ponteiros de um relógio é o sentido negativo. Sentido positivo ângulo orientado +90º Sentido negativo ângulo orientado -90º

A figura [A’B’C’D’E’] resulta da rotação de centro O e amplitude 90º da figura [ABCDE]. Por seu lado, a figura [ABCDE] resulta da rotação de centro O e amplitude -90º da figura [A’B’C’D’E’]

O que é uma Rotação? Uma Rotação de centro O e amplitude  - R(O,) é a aplicação que ao ponto O faz corresponder o próprio O e a cada ponto A da figura original faz corresponder um ponto A’, tal que No exemplo ao lado a amplitude do ângulo é 60º