Transformação Conforme Transformações O conjunto de equações define, em geral, uma transformação que estabelece uma correspondência entre os pontos dos planos uv e xy. Jacobiano de uma transformação Sob a transformação (I), uma região R do plano xy é, em geral, transformada numa região R’do plano uv. Assim, se representam, respectivamente, as áreas dessas regiões, se u e v são continuamente diferenciáveis, onde lim é o limite quando tende a zero e o determinante é chamado o jacobiano da transformação (I).

Transformações Complexas Quando u e v são as partes real e imaginária de uma função analítica de uma variável complexa z = x + iy, isto é, w = u + iv = f(z) = f(x + iy) o jacobiano da transformação é dado por Transformação Conforme Suponha que a transformação (I) leva o ponto (x0, y0) do plano xy, no ponto (u0, v0) do plano uv e as curvas C1 e C2 [interceptam-se em (x0, y0)] nas curvas C1’ e C2’, respectivamente [interceptam-se em (u0, v0)]. Então, se a transformação é tal que o ângulo entre C1 e C2 em (x0, y0) é igual ao ângulo entre C1’ e C2’ em (u0, v0) em valor absoluto e sentido, a transformação é conforme em (x0, y0). Teorema: Se f(z) é analítica e numa região R, então, a transformação w = f(z) é conforme em todos os pontos de R. Para as transformações conformes, pequenas figuras numa vizinhança de um ponto z0 no plano z transformam-se em pequenas figuras no plano w e são ampliadas (ou reduzidas) num valor aproximadamente dado por , chamado fator de extensão de área ou simplesmente fator de extensão.

Algumas Transformações Gerais Consideremos  e  constantes complexas, enquanto a e 0 constantes reais. Translação. W = z +  (Figuras no plano z são deslocadas ou transladadas em direção ao vetor ) Rotação. W = ei 0z (Figuras no plano z são giradas de um ângulo 0) Dilatação. W = az (Figuras no plano z são dilatadas (ou contraídas) na direção de z. Inversão. W = 1/z Transformações sucessivas Se w = f1() leva a região R do plano  na região Rw do plano w e  = f2(z) leva a região Rz do plano z na região R , então, w = f1[f2(z)] leva Rz em Rw. Transformação linear. W = z + . Transformação Bilinear ou Fracionária. Se z1, z2, z3, z4 são distintos, então, a quantidade (i) é chamada a razão direta de z1, z2, z3, z4.