Posições relativas de duas retas

Retas paralelas e retas concorrentes Duas retas distintas de um plano podem ocupar duas posições relativas. Elas podem ser: Paralelas, se não têm ponto em comum; Concorrentes ou secantes, se têm um único ponto comum; u r s t

Retas paralelas e retas concorrentes Quando duas retas estão contidas no plano cartesiano xOy, podemos analisar suas posições relativas, a partir de suas equações: Para duas retas horizontais ou verticais essa análise é simples.

Exemplo Qual é a posição relativa das retas de equações x = 3 e x = –5? E das retas y = –2 e y = 1? E das retas x = 1 e y = 6? Em que ponto as duas últimas retas se cortam? y r s r ∕∕ s –5 O 3 x

Exemplo Qual é a posição relativa das retas de equações x = 3 e x = –5? E das retas y = –2 e y = 1? E das retas x = 1 e y = 6? Em que ponto as duas últimas retas se cortam? y t 1 t ∕∕ u O x –2 u

Exemplo Qual é a posição relativa das retas de equações x = 3 e x = –5? E das retas y = –2 e y = 1? E das retas x = 1 e y = 6? Em que ponto as duas últimas retas se cortam? y P n 6 m e n → concorrentes no ponto P(1, 6). O 1 x m

Retas não-paralelas aos eixos No caso de as retas serem não-paralelas aos eixos, tudo depende da comparação das inclinações das retas. Por isso vamos trabalhar com suas equações reduzidas.

Retas não-paralelas aos eixos Suponhamos as retas r e s no plano xOy. Se α e α’ são os respectivos ângulos de inclinação de (r) e (s), sabemos que tg α = a e tg α’ = a’. r ∕∕ s y r s ⇕ α = α’ ⇕ tg α = tg α’ α α’ ⇕ O x a = a’

Retas não-paralelas aos eixos Suponhamos as retas r e s no plano xOy. Se α e α’ são os respectivos ângulos de inclinação de (r) e (s), sabemos que tg α = a e tg α’ = a’. r é secante a s y s r ⇕ α ≠ α’ ⇕ tg α ≠ tg α’ α α’ ⇕ O x a ≠ a’

Retas não-paralelas aos eixos - Resumo Dadas duas retas (r) e (s) no plano xOy, de equações reduzidas r: y = ax + b e s: y = a’x + b’, definimos: r e s são paralelas ⇔ a = a’ e b ≠ b’. r e s são concorrentes ⇔ a ≠ a’. No caso de as retas serem concorrentes, pode-se obter o ponto de interseção. Basta resolver o sistema formado pelas equações das duas retas.

Exemplos Mostrar que as retas r: 2x + y + 3 = 0 e s: 3x – y + 7 = 0 são retas concorrentes e obter seu ponto de interseção. Primeiro vamos escrever (r) e (s) na forma reduzida. r: 2x + y + 3 = 0 ⇒ y = –2x – 3 a = –2 s: 3x – y + 7 = 0 ⇒ y = 3x + 7 a’ = 3 a ≠ a’ ⇒ as retas r e s são concorrentes.

Exemplos Mostrar que as retas r: 2x + y + 3 = 0 e s: 3x – y + 7 = 0 são retas concorrentes e obter seu ponto de interseção. O ponto de interseção é obtido resolvendo o sistema formado pelas equações de (r) e (s). y = –2x – 3 ⇒ 3x + 7 = –2x – 3 ⇒ 5x = –10 ⇒ x = –2 y = 3x + 7 y = 3x + 7 ⇒ y = 3.(–2) + 7 ⇒ y = 1 O ponto de interseção de (r) e (s) é P(–2, 1).

Exemplos Mostrar que as retas r: 2x + y + 3 = 0 e s: 3x – y + 7 = 0 são retas concorrentes e obter seu ponto de interseção. Na figura, podemos visualizar o problema. y s r 1 –2 O x

Exemplos Calcular o parâmetro k, para que sejam paralelas as retas r: x + 2y – 3 = 0 e s: kx – 4y + 2 = 0. Primeiro vamos escrever (r) e (s) na forma reduzida. r: x + 2y – 3 = 0 ⇒ 2y = –x + 3 ⇒ y = (–1/2)x + 3/2 s: kx – 4y + 2 = 0 ⇒ 4y = kx + 2 ⇒ y = (k/4)x + 1/2 Retas paralelas, os coeficientes lineares diferentes e as inclinações iguais. –1 k ⇒ 2k = –4 ⇒ k = –2 = 2 4

Exemplos Obter a equação reduzida de (s), paralelas à reta (r) de equação 2x – y – 1 = 0 pelo ponto P(2, 1). A figura ilustra o problema. y r s 1 O 2 x

Exemplos Obter a equação reduzida de (s), paralelas à reta (r) de equação 2x – y – 1 = 0 pelo ponto P(2, 1). Primeiro, vamos obter a equação reduzida de (r). r: 2x – y – 1 = 0 ⇒ y = 2x – 1 a = 2 s ∕∕ r ⇒ a inclinação de s a’ = 2. A equação reduzida de (s) é do tipo y = 2x + b. Fazendo x = 2 e y = 1 na equação y = 2x + b, temos 1 = 2.2 + b ⇒ 1 = 4 + b ⇒ b = –3 A equação reduzida de s é y = 2x – 3.

Retas perpendiculares

Retas perpendiculares Se duas retas concorrentes formam quatro ângulos retos, dizemos que elas são perpendiculares. No plano cartesiano, uma reta horizontal e uma vertical são perpendiculares. Quando duas retas não-paralelas aos eixos são perpendiculares entre si, suas inclinações obedecem a uma relação importante.

Retas perpendiculares Na figura as retas (r) e (s), não paralelas aos eixos, são perpendiculares entre si. y tg β = – tg α’ ( 1 ) r s 1 ( 2 ) tg β = tg α 1 = – tg α’ tg α α’ α β O x 1 = – tg α . tg α’ a . a’ = –1 tg α = a; tg α’ = a’

Retas perpendiculares Dadas duas retas (r) e (s) no plano xOy, de equações reduzidas r: y = ax + b e s: y = a’x + b’, definimos: (r) é perpendicular a (s) ⇔ a . a’ = –1

Exemplos Verificar se as retas 2x + 3y – 1 = 0 e 3x – 2y + 5 = 0 são perpendiculares e determinar o ponto em que elas se cortam. Vamos escrever as equações na forma reduzida. r: 2x + 3y – 1 = 0 ⇒ 3y = –2x + 1 ⇒ y = (–2/3)x + 1/3 s: 3x – 2y + 5 = 0 ⇒ 2y = 3x + 5 ⇒ y = (3/2)x + 5/2 –2 3 . = –1 3 2 a . a’ = –1 ⇒ as retas (r) e (s) são perpendiculares.

Exemplos Verificar se as retas 2x + 3y – 1 = 0 e 3x – 2y + 5 = 0 são perpendiculares e determinar o ponto em que elas se cortam. O ponto de interseção é obtido resolvendo-se o sistema. 2x + 3y – 1 = 0 x(3) 6x + 9y – 3 = 0 + ⇒ 3x – 2y + 5 = 0 x(–2) –6x + 4y – 10 = 0 13y – 13 = 0 ⇒ y = 1 e x = –1 O ponto de interseção de (r) e (s) é P(–1, 1).

Exemplos Verificar se as retas 2x + 3y – 1 = 0 e 3x – 2y + 5 = 0 são perpendiculares e determinar o ponto em que elas se cortam. A figura ilustra o problema. y s r 1 –1 O x

Exemplos Obter uma equação geral da reta r perpendicular à reta s: 3x + y – 2 = 0, no ponto em que s corta o eixo y. Fazendo x = 0, na equação de (s) (s intercepta o eixo y). x = 0 ⇒ 3.0 + y – 2 = 0 ⇒ y = 2 A reta s intercepta o eixo y no ponto P(0, 2). Vamos obter a inclinação de (r). s: 3x + y – 2 = 0 ⇒ y = –3x + 2 ⇒ a = –3 a . a’ = –1 ⇒ (–3)a . a’ = –1 ⇒ a’ = 1/3

Exemplos Obter uma equação geral da reta r perpendicular à reta s: 3x + y – 2 = 0, no ponto em que s corta o eixo y. A reta (r) passa por P(0, 2) e tem inclinação 1/3. y – yP = a(x – xP) ⇒ y – 2 = 1/3(x – 0) ⇒ y – 2 = 1/3x x (3) ⇒ 3y – 6 = x ⇒ x – 3y + 6 = 0

Exemplos Obter uma equação geral da reta r perpendicular à reta s: 3x + y – 2 = 0, no ponto em que s corta o eixo y. Veja a solução gráfica do problema. s y r 2 O x

Distância de um ponto a uma reta

Projeção ortogonal Dado um ponto P e uma reta r, chama-se projeção ortogonal de P sobre r o ponto Q interseção da reta r com a reta s que passa por P e é perpendicular a r. P Distância do ponto P à reta r. d = PQ Q r s

Exemplos Obter a projeção do ponto P(1, 5) sobre a reta (r) de equação geral x + y – 2 = 0. Primeiro obtemos a inclinação de (r) → (r ⊥ s). r: x + y – 2 = 0 ⇒ y = –x + 2 ⇒ a = –1 a . a’ = –1 ⇒ (–1)a . a’ = –1 ⇒ a’ = 1 Equação de s que passa por P(1, 5). y – yP = a(x – xP) ⇒ y – 5 = 1(x – 1) ⇒ y – 5 = x – 1 ⇒ x – y + 4 = 0.

Exemplos Obter a projeção do ponto P(1, 5) sobre a reta (r) de equação geral x + y – 2 = 0. Obtendo o ponto Q, projeção de P sobre (r). x + y – 2 = 0 + x – y + 4 = 0 2x + 2 = 0 ⇒ x = –1 e y = 3 A projeção de P sobre (r) é o ponto Q(–1, 3).

Exemplos A distância do ponto P(1, 5) até a reta (r) de equação geral x + y – 2 = 0 é dado por: dP,r = PQ PQ = √(xP – xQ)2 + (yP – yQ)2 A partir dos pontos P(1, 5) e Q(–1, 3), obtemos a dP,r. dP, r = PQ = √(1 – (–1))2 + (5 – 3)2 = √(2)2 + (2)2 dP, r = PQ = √8 = 2√2

Distância de um ponto até uma reta. Existe uma fórmula muito simples para o cálculo dessa distância. Se uma reta (r) é dada por uma de suas equações gerais, Ax + By + C = 0, a distância do ponto P(xP, yP) à reta (r) é dado por d = √A2 + B2 |AxP + ByP + C|

Exemplos Calcular a distância do ponto P(1, 5) até a reta (r) de equação geral x + y – 2 = 0. No caso, xP = 1, yP = 5, A = 1, B = 1 e C = –2. |AxP + ByP + C| |1.1 + 1.5 + (–2)| d = = √A2 + B2 √ 12 + 12 4 4√2 4√2 = = = = 2√2 √2 √2 . √2 2