Modelos no Domínio do Tempo de Sistemas LTI Contínuos PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI

Modelos no Domínio do Tempo de Sistemas LTI Contínuos Existem basicamente 3 técnicas de modelagem para sistemas de tempo contínuo: Equações diferenciais como uma representação matemática dos relacionamentos de entrada e saída. Diagrama de blocos como uma representação de relacionamento entre entrada, saída e estados internos. Modelos de estados que são o equivalente dos diagramas de bloco. Iremos estudar as equações diferenciais. Comum as 3 técnicas de modelagem é o uso de sinais dependentes do tempo, nos quais a derivada e a integral com relação ao tempo possui um papel importante. Portanto estes tipos de modelo de sistemas podem ser classificados como “modelos no domínio do tempo”. Seus componentes são “modelos no domínio da frequência”. PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI

Equações Diferenciais Nosso objetivo é achar um modelo de sistema sem detalhes de sua implementação. Nós usaremos um circuito elétrico e iremos supor que este é um sistema LTI composto por resistências ôhmicas, indutores e capacitores ideais. Desta forma poderemos considerar o uso de equações diferenciais com coeficientes constantes na qual somente os sinais de entrada e saída e seus derivados ocorrem. Este tipo de análise simplifica sistemas mecânicos, pneumáticos, hidráulicos e térmicos a equações diferenciais. O mesmo se aplica a outros tipos de sistemas: química, biologia, economia, etc. PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI

Equações Lineares com Coeficientes Constantes Equações diferenciais estabelecem relações entre derivadas de quantidades dependente com respeito a variáveis independentes. Elas são chamadas equações diferenciais ordinárias se as derivadas somente ocorrem com respeito a uma das variáveis independentes (ex.: tempo) Equações diferenciais com derivadas com respeito a mais que uma variável independente (ex.: tempo e 3 coordenadas espaciais) são chamadas equações diferenciais parciais. Uma equação diferencial é linear se as derivadas individuais são somente multiplicadas por fatores e combinados por adição. Adicionalmente, se os fatores das derivadas não dependem das variáveis independentes, o termo equação diferencial com coeficientes constantes é usado. PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI

Para Modelar Sistemas Contínuos Somente precisamos de equações diferenciais ordinárias com o tempo como a única variável independente. Em tais equações os sinais de entrada e saída do sistema devem ocorrer como variáveis dependentes. Sistemas Lineares Invariantes no Tempo podem ser modelados por equações diferenciais com coeficientes constantes. Exemplo de Equações Diferenciais Lineares PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI

PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI Forma Geral de Equação Diferencial Linear Ordinária com Coeficientes Constantes O maior índice N de um coeficientes diferentes de zero N determina o que é chamado a ordem da equação diferencial. Para simplificar, vamos considerar M N (sistema realizável) e permitir algum, mas não todos os coeficientes βk serem iguais a zero. Para uma dada função x(t) existem até N diferentes soluções y(t) linearmente independentes a equação acima. Para uma solução particular, nós precisamos dar N condições. Para problemas de condição inicial, estas poderiam ser as N condições inicias: A equação diferencial acima descreve um sistema contínuo no tempo, sendo x(t) o sinal de entrada e y(t) o sinal de saída. PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI

PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI Forma Geral de Equação Diferencial Linear Ordinária com Coeficientes Constantes Se o sinal de entrada x(t) for representado por f(t) e β por b então podemos escrever: Onde todos os coeficientes i e βi são constantes. Usando a notação operacional D para representar d/dt nós podemos representar esta equação como: PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI

PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI Forma Geral de Equação Diferencial Linear Ordinária com Coeficientes Constantes Ou: Onde os polinômios Q(D) e P(D) são: Teoricamente as potências n e m nas equações acima poderiam assumir qualquer valor. Considerações práticas com relação a ruídos, por outro lado, requer que m  n. Ruído é qualquer sinal indesejável originado da natureza ou pela ação do homem, o qual interfere com o sinal desejado no sistema. PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI

PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI Forma Geral de Equação Diferencial Linear Ordinária com Coeficientes Constantes Infelizmente, ruído é um sinal banda larga contendo componentes de todas as frequências desde zero a infinito. Por esta razão o ruído contém uma quantidade significante de componentes variando rapidamente com derivadas que são consequentemente muito grande. Portanto qualquer sistema onde m > n irá amplificar os componentes de alta frequência do ruído através de diferenciais. E desta forma é possível que o ruído seja tão amplificado que ele venha a sobrepujar o sinal de saída do sistema mesmo que o sinal de ruído de entrada do sistema seja toleravelmente pequeno. Portanto iremos considerar no máximo m = n para que o sistema seja realizável. Ou seja, para que o sistema seja realizável (causal), é necessário que o número de zeros seja igual ao número de pólos. PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI

Equações Diferenciais com Coeficientes Constantes A equação diferencial anterior descreve um sistema contínuo no tempo, se x(t) é o sinal de entrada, e y(t) é o sinal de saída. A equação também representa um sistema invariante no tempo, pois para t’=t-ζ temos que x(t-ζ) leva a solução y(t-ζ). Para mostrar a linearidade nós consideramos 2 sinais de entrada x1(t) e x2(t) e as soluções correspondentes y1(t) e y2(t) . Colocando as equações lineares Dentro da equação diferencial anterior, verificamos que É uma solução da equação diferencial, e portanto o sinal de saída do sistema. Concluímos que todo sistema que pode ser modelado usando equações diferenciais lineares com coeficientes constantes é portanto um sistema LTI. PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI 10

Equações Diferenciais com Coeficientes Constantes Isto significa que nós achamos nosso primeiro método para modelar tais sistemas na forma de equação diferencial. Este método preenche nosso requerimento inicial: Modelagem de um sistema LTI independente de sua realização. Representação dos relacionamentos de entrada-saída, sem detalhes do comportamento interno do sistema. PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI 11

A aplicação da Lei da soma das tensões de Kirchhoff permite: Exemplo-1: Para o filtro RLC da figura abaixo, determine a equação de entrada/saída relacionando a tensão de entrada f(t) com a corrente de saída y(t) A aplicação da Lei da soma das tensões de Kirchhoff permite: Usando as Leis de corrente-tensão de cada elemento (indutor, capacitor e resistor) nós podemos expressar esta equação como: Diferenciando ambos os lados desta equação obtemos: PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI 12

Exemplo-1: Para o filtro RLC da figura abaixo, determine a equação de entrada/saída relacionando a tensão de entrada f(t) com a corrente de saída y(t) A equação diferencial anterior é o relacionamento de entrada-saída entre a entrada f(t) e a saída y(t). Prova ser conveniente usar uma notação compacta D para o operador diferencial d/dt. Portanto: Com esta notação a equação achada anteriormente pode ser expressa como: O operador diferencial é o inverso do operador integral, podemos portanto usar o operador 1/D para representar integração. PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI 13

A substituição do resultado na equação anterior permite: Exemplo-2: Para o filtro RC da figura abaixo, determine a equação de entrada/saída relacionando a tensão de entrada f(t) com a tensão de saída y(t). A substituição do resultado na equação anterior permite: PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI 14

PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI Sinais de Entrada PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI

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Tempo de Subida (Tr) e Tempo de Assentamento ou Acomodação (Ts) Tempo de Subida é o tempo necessário para que a forma de onda vá de 0,1 a 0,9 do seu valor final. É dado por Tr=2,2/a (2,31/a – 0,11/a)=2,2/a Tempo de assentamento é o tempo necessário para que a resposta alcance uma faixa de valores de 2% em torno do valor final e aí permaneça. Fazendo c(t)=0,98 achamos Ts=4/a PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI

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Tabela de Transformadas de Laplace PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI 30

Tabela de Transformadas de Laplace (continuação) PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI 31