Introdução a Lógica Matemática João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica Coordenadoria de Eletrotécnica CEFET-ES Introdução a Lógica Matemática - 2007/1

Portas ou interruptores Chama-se interruptor ou porta ao dispositivo que pode assumir um dos estados: ligado (1 ou V) ou aberto (0 ou F). Fechado a Aberto a Por conveniência será representado por: a Um interruptor aberto quando a está fechado e vice-versa chama-se complemento ou negação de a, sendo representado por a’ (ou a ou ¬ a). Símbolo: a Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 2

Interruptores e portas lógicas Dois interruptores a e b em paralelo, serão denotados por a + b (a ۷ b) (lê-se: a ou b) e representados por: Dois interruptores a e b em série, serão denotados por a • b (a ۸ b) (lê-se: a e b) e representados por: a + b a b s a b a • b a b s Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 3

Valores lógicos de proposições V(p) - é a verdade (V) se a proposição é verdadeira e a falsidade (F) se a proposição for falsa. Exemplos: V(p) 3 > 2 (V) 7 = 1 (F) Aluno de engenharia estuda (V) Ele é menor de 18 anos (V) Ele é adolescente (V) Ele é menor de 18 anos e ele não é adolescente (F) Hoje é quarta-feira (V) Não é o caso que hoje é quarta-feira (F) Hoje é quarta-feira ou hoje é quinta-feira (V) Introdução a Lógica Matemática - 2006/1 – p. 4

Introdução a Lógica Matemática - 2006/1 – p. 5 Conectivos Lógicos As proposições podem ser simples (atômicas) ou compostas (moleculares). Proposições podem ser conectadas através dos seguintes conectivos lógicos: Negação “não é o caso que”: ¯,~, ¬, !, “\+” ; Conjunção (conectivo “e”): ۸, •, &, ou “,”; Disjunção (conectivo “ou”): ۷, +, ou “;”; Condicional ( “condição”): , , ou “:-” ; Bicondicional (“se, e somente se”): ,  ou “=“. Obs:. Os símbolos entre aspas são usados em PROLOG. Introdução a Lógica Matemática - 2006/1 – p. 5

Conectivos e Tabela-verdade Sejam “p” e “q” proposições, assim temos os conectivos fundamentais: Negação: “p” é verdadeira se “¬p” for falsa, e vice-versa. Conjunção: “p e q” (p۸q) é verdadeira se ambas forem verdadeiras, e falsa caso contrário. Disjunção: “p ou q” (p۷q) é verdadeira se pelo menos uma delas for verdadeira, e falsa caso contrário. p ¬p 0 (F) 1 (V) p q p ۸ p 0 (F) 1 (V) p q p ۷ q 0 (F) 1(V) 1 (V) Introdução a Lógica Matemática - 2006/1 – p. 6

Conectivos e Tabela-verdade Disjunção exclusiva (xor, ۷): “p ou exclusivo q” (p ۷ q) tem valor lógico = V somente quando p for verdadeira e p falsa, e vice-versa. Condicional: (“se p então q”, pq) tem valor lógico = F quando p é verdadeira e q é falsa e V nos demais casos. (p é antecedente e q é o conseqüente) Bicondicional: (“p se e somente se q”, pq) tem valor lógico = V quando p e q são ambas verdadeiras ou falsas e valor lógico = F nos demais casos. p q p ۷ q 0 (F) 1(V) 1 (V) p q p  q 0 (F) 1 (V) 1(V) p q p  q 0 (F) 1 (V) 1(V) Introdução a Lógica Matemática - 2006/1 – p. 7

Introdução a Lógica Matemática - 2006/1 – p. 8 Exemplos 1 - Expresse em notação do cálculo proposicional (simbólica) as proposições: (Considere C : está chovendo e N : está nevando) a) Está chovendo; b) Não está chovendo; c) Está chovendo ou nevando; d) Está chovendo e nevando; e) Está chovendo, mas não está nevando; f) Não está chovendo e nevando; g) Se não está chovendo, então está nevando. Introdução a Lógica Matemática - 2006/1 – p. 8

Introdução a Lógica Matemática - 2006/1 – p. 9 Exemplos (Cont.) h) Está chovendo se e somente se não está nevando; i) Se não está chovendo, então não é o caso que está nevando e chovendo; j) Ou está chovendo e nevando, ou está nevando mas não está chovendo. (Considere agora três proposições: p : Carlos fala francês, q : Carlos fala inglês e r : Carlos fala alemão ) k) Carlos fala francês ou inglês, mas não fala alemão. l) É falso que Carlos fala inglês ou alemão, mas que não fala francês. Introdução a Lógica Matemática - 2006/1 – p. 9

Introdução a Lógica Matemática - 2006/1 – p. 10 Exemplos (Cont.) 2 –Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições: (Considere p : Está frio e q : Está chovendo) a) ~p; b) p & q; c) p + ~q; d) p &~q p (Seja p : João é gaúcho e q : Jaime é paulista) a) ~(p۷~q); b) ~~p; c) ~(~q  p); d) ~p  q 3 – Determine o valor lógico das proposições: a) 3 + 2 = 7 e 5 + 5 = 10; b) 3  3 ۷ 5 = 5; c) Se  > 4 então sen30o = ½; d) 32 + 42 = 52   é racional. Mais Exemplos/exercícios (p.20, 21 e 22 - Daghlian). Introdução a Lógica Matemática - 2006/1 – p. 10