Temas de DSP Conceitos básicos de Sinais

O que é um “sinal”? Definir um sinal é uma forma genérica de se referir a uma variável que se altera com o tempo, espaço, ou alguma outra variável independente: Um sinal pode ser definido de forma determinística, se puder ser modelado exatamente para cada valor da variável independente, mediante uma expressão matemática, uma função, uma tabela de valores, ou algo similar. Ou ser definido em forma probabilística ou estocástica (random signals), onde não é possível prever o valor exato do sinal para cada valor da variável independente, ainda que se tenha certas características globais (distribuição ou densidade probabilística, espectro, energia).

Tipos possíveis de sinais x(t) Um sinal analógico varia de forma contínua em sua magnitude, sendo definido para todo instante da variável independente (p.ex: tempo). Um sinal discreto varia de forma contínua em sua magnitude, sendo definido apenas para certos valores da variável independente. Um sinal digital varia de forma discreta em sua magnitude, estando definido apenas para certos valores t x(kT) kT N(kT) kT

Tipos de sinais Sample & Hold Conversor A/D Transdutor Fenômeno físico Sinal contínuo Sinal discreto Sinal digital A maioria dos fenômenos naturais macroscópicos estão associados a sinais contínuos: temperatura, radiação, som, velocidade e direção do vento, umidade,... O mesmo ocorre com muitos fenômenos físicos usados em aplicações tecnológicas: força, torque, velocidade de giro, potência, etc... Muitas vezes é possível, para facilidade de cálculo, definir sinais imaginários (usando números complexos).

Temas de DSP Conceitos básicos de sinais contínuos

Sinais periódicos e aperiódicos Introducción al Procesamiento Digital de Señales O comportamento de um dado sinal pode catalogar-se como transitório ou de estado estacionário. Chamamos de estado estacionário se o sinal exibe periodicidade, ou pode ser considerado o resultado de uma soma de funções periódicas. Uma função x(t) é periódica, de período T, se, e apenas se, atende a equação x(t+nT)=x(t) para todo tempo e para todos os possíveis valores inteiros de n. Uma função é quase periódica se cumpre a condição prévia para um certo conjunto de valores de n. transitório quase-estacionário

Funções periódicas pares e ímpares Uma função x(t) é chamada par, se para todo valor de t se cumpre que x(t) = x(-t) Uma função x(t) é chamada ímpar se para todo valor de t se cumpee que x(t) = - x(-t) Qualquer função periódica pode ser vista como a soma de uma componente par mais uma componente ímpar x(t) = xpar(t) + ximpar (t) onde xpar (t) = 1/2 [ x(t) + x(-t) ] y ximpar(t) = 1/2 [ x(t) - x(-t) ] coseno = par seno = impar

Representação de sinais: e uso de Fasores Ainda que os sistemas físicos estejam associados aos sinais reais, usando a igualdade de Euler e jz = cos(z) + j.sen(z) é possível representar estas quantidades mediante números complexos, tais como: E um termo cosenoidal como: Pode associar-se a parte real de um sinal complexo Im X A Re Re[X] = A.cos(0) cos(x) pode representar-se em série como 1-(x2/2!)+(x4/4!)-(x6/6!)+(x8/8!)+..., sen(x) como x-(x3/3!)+(x5/5!)-(x7/7!)+(x9/9!)+..., e ex como 1+x+(x2/2!)+(x3/3!)+..+(xn/n!)+...se esta série se aplica com x=jz, e j 2 =-1, se tem: e jz=1+jz-(z2/2!)-j(z3/3!)+(z4/4!)+j(z5/5!)-(z6/6!)-j(z7/7!)+.... que nos dá e jz = cos (z) + j.sen(z)

Representação de sinais: o uso de Fasores Componente imaginário t O sinal complexa pode ser relacionada com x(t) como: Componente real t

Representação de sinais: Fasores conjugados x(t) t Componente imaginária t x*(t) O sinal complexo também pode ser relacionada com x(t) como: de onde: Componente real Fasores conjugados t

Formas de especificar um sinal Um sinal unidimensional x(t) pode ser definido especificando seus valores ao longo do tempo. Ainda que esta especificação do sinal seja completa, para o sinal ser processado, será necessário obter certas características do sinal e redefinir x(t) mudando a variável independente t por uma nova variável (uma transformação de variáveis é necessária). Amplitude tempo

Análise das componentes em freqüência Um dos métodos de modelagem de sinais x(t) é feita através da soma de componentes de distintas freqüências, cada uma com fase inicial Amplitude tempo Freqüência/fase inicial

O “espectro” de um sinal Se analisarmos um sinal x no eixo das freqüências, a função x(f) representa o espectro de um sinal; neste caso devemos usar o espectro complexo para poder representar a fase Amplitude x(t) tempo x(f) Espectro de freqüências freqüência/fase inicial

Espectros de amplitude e fase usando sinais complexos O sinal real: Pode ser representado mediante seu espectro real Alternativamente, se usamos fasores, devemos agregar freqüências negativas para identificar amplitude e fase dos fasores conjugados A f f f0 f0 Amplitude A/2 f -f0 f0 Fase f -f0 f0 -0

G Sistemas Lineares y(t) = G[x(t)] x(t) Um sistema é algo que aceita um ou mais sinais de entrada e gera uma ou mais saídas. Este sistema G pode ser descrito através de um operador (ou função) que aplicado às entradas “x” gera as saídas “y”. Um sistema pode ser: homogêneo aditivo linear invariante no tempo Neste caso é denominado LTI (Linear Time Invariant), ou estacionário G x(t) y(t) = G[x(t)]

Sistemas LTI: propriedades homogêneo: G[k.x(t)] = k.G[x(t)] aditivo: G[x1(t) + x2(t)] = G[x1(t)] + G[x2(t)] linear: se é homogêneo e aditivo x(t) G[ ] x(t) G[ ] k.G[x(t)] k k k.x(t) G[k.x(t)] G[x(t)] x1(t) x1(t) G[ ] G[ ] + + x2(t) x2(t) G[ ]

Sistemas LTI: propriedades invariante no tempo: dado y(t) = G[x(t)] se obtém y(t-T) = G[x(t-T)] para todo T causal: se em todo instante de tempo G[x(t)] só depende do valor atual e dos valores prévios de x(t). Esta é uma característica de todos os sistemas que se encontram no mundo real, ainda que o uso de modelos não causais pode ser útil em certas aplicações. estável: se e apenas se toda possível excitação limitada x(t) produz uma resposta G[x(t)] também limitada.

Sistemas LTI: resposta de amplitude f É um tipo de representação que indica o comportamento em amplitude do sistema, em função da freqüência. Ignora o comportamento da fase. se faz necessário empregar escalas logarítmicas para a amplitude (decibéis) e em freqüência (oitavas) para facilitar o traçado de assíntotas.

Sistemas LTI: atraso de fase e de grupo O atraso de fase é um gráfico que indica o atraso ou avanço de fase que sofre cada componente de freqüência ao atravessar um sistema. Junto com a resposta de amplitude, define-se a estabilidade do sistema (margem de fase e margem de ganho) O atraso de grupo está associado à tangente desta curva. Uma tangente variável indica que a “forma” do sinal é alterada, e por isto é chamado também “ atraso da envolvente”.