Integração Numérica
Integral O conceito de integral esta ligado ao problema de determinar a área de uma figura plana qualquer. Integral de uma função f(x) no intervalo [a,b]
A integral da função f(x) é representada por F(x) Em determinados casos, F(x) não pode ser calculada Obter F(x) não é trivial. Nem sempre se tem a forma analítica da função a ser integrada, f(x), mas uma tabela de pontos que descreve o comportamento da função Nestes casos, utilizamos a integração numérica
Integração Numérica A solução numérica de uma integral é chamada de quadratura. Há dois métodos bastante empregados para calcular a quadratura de uma função que são chamadas regras de Newton-Cotes: Regra dos trapézios Regra de Simpson
Regra dos trapézios onde substituição da função f(x) por um polinômio que a aproxime no intervalo [a, b] em pontos igualmente espaçados O problema fica resolvido pela integração de um polinômio Na regra dos trapézios, utiliza-se um polinômio interpolador de Lagrange do primeiro grau onde
Integrando no intervalo [a,b] teremos O que é a formula da área do trapézio, como mostrado na figura onde
Quanto for maior o intervalo, maior será o erro do método Quanto for maior o intervalo, maior será o erro do método. Dessa forma, um melhoramento no método consiste em dividir o intervalo em vários pedaços, calcular a área de cada um deles e em seguida somar todos
Ex:Calcule a integral de no intervalo [0,1] com 10 subintervalos
Regra 1/3 de Simpson podemos usar a fórmula de Lagrange para estabelecer a fórmula de integração resultante da aproximação de f(x) por um polinômio interpolador de grau 2 Seja p2(x) que interpola f(x) nos pontos: x0 = a x1 = x0 + h x2 = x0 + 2h = b
Regra 1/3 de Simpson
Resolvendo L0 Substituindo (x-x0)/h=y temos que dx = hdy. Daí, temos: X-x1 =x0+yh-(x0+h)=(y-1)h X-x2= x0+yh-(x0+2h)=(y-2)h X=x0->y=0 e X=x2->y=2
Exemplo Estimar o valor da integral de ex no intervalo [0,1] através da regra 1/3 de Simpson
Regra 1/3 de Simpson Repetida
Exercício Estimar a integral de e^x no intervalo de zero a um usando a regra 1/3 de Simpson repetida 3 vezes