Aula Teórica 11: Resposta de Freqüência. Conteudo Diagrama de Bode. Estabilidade Relativa

Já dissemos A RESPOSTA DE FREQÜÊNCIA Geralmente Não aprendemos ainda Aprendemos a obtê-lo DESENHA-HE Diagramas de bode Diagramas polares UM DOIS MAGNITUDE E FASE COM A FREQÜÊNCIA VARIANDO ENTRE ZERO E INFINITO MAGNITUDE(db) VS LOG(W) FASE VS LOG(W)

O primeiro assunto que trataremos na aula de hoje é como obter o diagrama de Bode ESTE É O AMBIENTE ONDE SE DESENHA OBSERVAR: Escala linear para a Magnitude(db) Escala logaritmica para a freqüência

Recordar que: A função de transferência deve ficar na forma: substitui-se s por j:

constrói-se o gráfico de amplitude:

e o de fase: O QUE PODEMOS CONCLUIR DAS DUAS ULTIMA EXPRESSÕES?

PARA TRAÇAR O DIAGRAMA DE BODE DE UMA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA SE PODE TRAÇAR PRIMEIRO O DIAGRAMA DE BODE DE CADA TÉRMINO E DÉSPUES SOMÁ-LOS SEMPRE SE FAZ ASSIM? NÃO NA ATUALIDADE NINGUÉM TRAÇA DIAGRAMAS DE BODE À MÃO, USAM-SE OS COMANDOS DO MATLAB QUE VEREMOS O FINAL

Diagrama de Bode dois diferentes términos elementares:

por que? Ganho K  db  K=1 K<1 K>1

Elementos integrais e derivativos (j)±n  db 1 n90 -n90  Pendiente: ±n20db/dec

JUNTOS OS DOIS PRIMEIROS db 

Elementos de Primeira Ordem

db   -n3 -n45 -n90 -n20 db/dec

Se fossem elementos de primeira ordem no numerador?

Elementos quadráticos (pólos complexos conjugados)

db n 1< 2< 3   3 2 -90 -180 1 pico de ressonância Mr wr -90 -180 1< 2< 3 pico de ressonância Mr wr Freqüência de ressonância

Exemplo: Para fazê-lo com o MATLAB G=tf(5, conv(conv([1 0],[0.2 1]),[0.2 1])); define bode(G) faz o diagrama de bode azul da figura o diagrama rosado o fiz eu

Já aprendemos a obter a estabilidade a partir do diagrama Polar Encontramos se o sistema é ou não estável com o critério do Nyquist Isto é estabilidade absoluta, ou o sistema é estável não é estável Necessitamos algo que nos indique quão estável é o sistema Isto é estabilidade relativa A estabilidade relativa dá a idéia de quão perto ou longe está o sistema do limite de estabilidade Acostuma-se expressá-la em Margem de Ganho e Margem de Fase.

Margem de Ganho: É o valor pelo que terei que multiplicar o ganho que tem o sistema quando  = -180o para que a mesma se faça igual a 1. A -1  Se o sistema é estável, MG > 1. freqüência a qual a fase vale -180

Margem de Fase: É a quantidade de graus sexagesimales de fase negativa que pode adicionar-se ao sistema para que seja –180º quando a amplitude é unitária. M Se se pode aumentar fase negativa, o MF é positivo. Se terá que diminuir fase negativa, o MF é negativo. Se o sistema é estável, MF > 0. freqüência a qual a magnitude vale 1

No Diagrama de Bode: MG em db. MG + , estável MG - , inestável MF en o. MF + , estável MF - , inestável

Exemplo: Do sistema seguinte: + _ r(t) e(t) c(t) Determine o ganho para que o eee a um passo unitário de entrada seja igual ou menor que 0,091 Analise a estabilidade relativa do sistema com o ganho calculado anteriormente.

a) O sistema é Tipo 0 (não tem pólo na origem em seu ftla), portanto: b) Agora

Do gráfico se obtén: MG = 2 db M = 7o Zoom GH=tf(10,conv(conv([1 1],[0.5 1]),[0.2 1])) margin(GH) Do gráfico se obtén: MG = 2 db M = 7o Zoom Segundo o que estabelecemos este sistema é estável

quão estável é? Está a ponto de ser instável? Se você aumentar o ganho o equivalente aos 2 db, o sistema se faz exatamente instável, com oscilações sustentadas

Influência do ganho sobre a estabilidade Aumentando K -1 Aumentando K O aumento do ganho pode levar o sistema ao ponto crítico de estabilidade.

Em desenho de sistemas de controle se traça que: Portanto dizemos Se o sistema tiver uma margem de ganho e uma margem de fase maiores que 0 é estável Se o sistema tem uma margem de ganho maior que 6 db e uma margem de fase entre 30o e 60o tem boa estabilidade relativa