Equações algébricas e transcendentais Aula 4 Processos iterativos; Newton Viète; Secantes; Iteração Linear.

Método Newton Viète É uma outra forma de escrever o método de Newton para polinômios, sendo p(x) = a0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an ; para cada iteração resulta a fórmula de recorrência Exemplo ...

Método das Secantes Este método requer apenas um cálculo de f(x) por iteração e é quase tão rápido quanto o método de Newton. A fórmula envolvida no método das secantes é a mesma que a utilizada no método de Newton-Raphson; o que diferencia os dois métodos são as decisões lógicas que definem cada novo termo da seqüência de aproximações. A sua fórmula de recorrência é dada por Exemplo ...

Características do método de Newton e seus derivados A estimativa da condição inicial no método de Newton é muito importante. Uma boa estimativa é escolher x0 de forma que f(x0)f’’(x0) > 0. Comportamento oscilante é observado quando não há raízes reais, quando a estimativa inicial não for adequada ou quando houver simetria em relação ao eixo dos x, conforme indica a figura abaixo. Ausência de raízes reais Condição inicial inapropriada Segunda derivada nula. Exemplo ...

Método da Iteração Linear (ponto fixo) Dada f(x) = 0, determina-se uma função g(x) tal que x = g(x). Em geral, existem muitas maneiras de expressar g(x), porém nem todas são igualmente satisfatórias. Como se pode ter várias funções g(x), é preciso estabelecer algumas condições para que, com a g(x) escolhida, o método tenha convergência garantida para uma determinada raiz de f(x) = 0. Evitam-se, sempre que possível, formas envolvendo inversas de funções trigonométricas devido a propagação do erro.

Método da Iteração Linear (ponto fixo) Do ponto de vista gráfico, o problema da convergência pode ser ilustrado da seguinte forma:

Convergência Nas figuras anteriores nota-se que a curva 𝑦 2 =𝑔(𝑥)inclina-se numa região próxima de 𝜉, isto é, 𝑔(𝑥) <1 o processo de iteração converge. Teorema: Seja 𝜉∈𝐼 uma raiz da equação 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) contínua e diferenciável em 𝐼. Se 𝑔(𝑥) ≤𝑘<1 para todos os pontos em 𝐼 e 𝑥 0 ∈𝐼, então os valores dados pela equação: 𝑥 𝑛 =𝑔( 𝑥 𝑛−1 ) Convergem para 𝜉.

Método da Iteração Linear (ponto fixo) Exemplo: Determine a raiz positiva de f(x) = ex – [cos(x) + 1]. Escolha g(x) = ln[cos(x) + 1], para evitar o uso de funções do tipo arc sen, arc cos, arc tg, etc, que geralmente conduzem à propagação do erro. Para aproximação inicial x0=1,25, resultam os valores da tabela a seguir : i xi f(xi) 1,2500 2,1750 1 0,2741 -0,6473 2 0,6743 0,1815 3 0,5773 -0,0567 4 0,6087 0,0176 5 0,5991 -0,0054 Portanto, a raiz de f(x) = ex – [cos(x)+1] é 0,5991 . A convergência neste caso é do tipo oscilante.

Exercícios 1. Encontre intervalos tal que f(a) e f(b) tenham sinais opostos para as seguintes funções: a) f(x) = ex – x - 2 b) f(x) = cos(x) + 1 - x c) f(x) = ln(x) – 5 + x d) f(x) = x2 - 10x + 23   2. Comece com o intervalo [a,b] fornecido e use o método da bisseção para encontrar um intervalo de tamanho 0,05 que contenha uma solução da equação dada por: a) f(x) = ln(x) – 5 + x para [a,b] = [3,2;4,0] b) f(x) = x2 - 10x + 23 para [a,b] = [3,2;4,0] e para [a,b] = [6,0;6,8] 3. A função h(x) = x sen(x) é utilizada no estudo de oscilações forçadas sem amortecimento. Encontre o valor de x [0,2] onde a função assume o valor h(x)=1. Use o método da bisseção e depois o da posição falsa. Existem diferenças entre os dois resultados? Explique.

Exercícios 4. Utilize o método da iteração linear para determinar as raízes da equação f(x) = 0 quando: f(x) = ex - 3x f(x) = x2 – x – 2 5. Comece com x0 = 3,1 e use o método da iteração linear para encontrar x1 e x2 das seguintes funções: g(x) = (x + 9/x) / 2 b) g(x) = (18x)(x2 +9) c) g(x) = x3 – 24 g(x) = 2x3 / (3x2 – 9) e) g(x) = 81 / (x2 + 18) 6. Desenvolva um algoritmo em SCILAB para resolver os exercícios 4 e 5 usando o método da iteração linear e o método de Newton. Compare as soluções encontradas em ambos métodos.

Exercícios 7. Considere que as equações do movimento de um projétil sejam a) Comece com x0 = 8 e determine o tempo até que ocorra o impacto. b) Comece com x0 = 9 e determine a distância percorrida até o impacto. Para a) e b) plote o gráfico da solução para todos os tempos usando o software SCILAB (desenvolva um algoritmo para executar isso)

Exercícios 8. Calcular uma aproximação para uma das raízes de f(x) = x3 - sen(x) pelo método da bisseção com pelo menos DIGSE 3.   9. Determine as raízes de f(x) = 2x4 - 2x3 - 2x2 + 2 pelo método da iteração linear. 10. Obtenha a raiz de f(x) = x – cos(x) pelo método da posição. 11. Aplique o método de Newton à equação p(x) = x3 - 2x2 - 3x + 10 com x0 = 1,9. 12. Calcule a menor raiz positiva de f(x) = 4 sen(x) – ex com o método das secantes.

Exercícios 13. Utilizar o método de Newton-Raphson para determinar com no mínimo DIGSE 9.   14. Via método de Newton e das secantes determine os zeros de f(x) = x/2 - sen(x). 15. Calcular todas as raízes de p(x) = x3 + 6x - 1. 16. Seja f(x) = x - 2sen(x). Escolha uma função de iteração g(x) apropriada e calcule uma aproximação para a raiz que está no intervalo [π / 2, 2π / 3]. 17. Determine um intervalo aproximado que contenha a raiz de f(x) = 2x - cosx. Calcule esta raiz com o método da iteração linear e interrompa o processo quando o erro relativo for menor do que 0,05.

Exercícios 18. Utilize o método das secantes para calcular a menor raiz positiva de f(x) = 4sen(x) – ex com 4 dígitos significativos exatos. Indique como se faz a escolha dos pontos iniciais. 19. Seja f(x) = ex – 12 ln(x). Determine suas raízes reais usando o método da iteração linear com pelo menos 3 algarismos significativos exatos.   20. Utilize o método das secantes para encontrar as raízes de a) p(x) = x2 - 2x - 1 b) p(x) = 0,5 – x + 0,5 sen(x) c) p(x) = x3 – x + 2 21. Obtenha os pontos críticos de f(x) = .

Fonte: Material do professor Dr. Régis Quadros; RUGIERO, Márcia A. G. & LOPES, Vera L. R. Cálculo Numérico aspectos Teóricos e Computacionais. 2. Ed. São Paulo, Makron Books do Brasil, 1996.