Aula Teorica 5: Resposta dinâmica dos Sistemas Lineares Conteudo Noções de estabilidade Dinâmica dos Sistemas de 1a ordem Dinâmica dos Sistemas de 2a ordem Sistemas de Ordem Superior

A resposta no tempo de um sistema de controle se divide em duas partes transitória A resposta em estado estável A resposta em estado estável indica onde termina a saída quando o tempo se faz grande Como a massa , a inércia e a indutância são inevitáveis nos sistemas físicos estes sempre necessitam um transiente para responder É um indicador da exatidão do sistema, se a saída para final não coincide com a referência há um erro em estado estável É muito importante quanto se desviam os sistemas da resposta desejada antes de estabilizar-se O estudo da resposta transitória envolve a ambos e os requisitos de desenho também

Sinais de entradas tipicas para obter respostas no tempo em sistemas de controle Problema Entradanos sistemas de controle práticos podem variar de forma aleatória e muitas vezes não se conhecem Exemplo Em um sistema de rastreamento por radar de mísseis anti-aéreos a posição e a velocidade do branco pode variar de forma imprevisível Solução ao problema Estabeleceram-se um conjunto de sinais de prova, mediante as quais se pode predizer o que aconteceria outros sinais

1- Sinais típicos de prova Entrada degrau Ao ter um salto instantâneo inicial revela que tão rápido o sistema responde a entradas bruscas observações Como resultado da discontinuidad do salto, a função contém um espectro com uma banda larga de freqüências, o que é equivalente a um sem número de sinais senoidales com um intervalo de freqüências grandes

2- Entrada rampa Serve para provar como se comportam os sistemas a sinais que variam linealmente com o tempo observação

3- Entrada parabólica Representa um sinal que tem uma ordem mais rápida que a rampa observação

Até aqui Degrau Rampa Tivemos sinais de prova típicas Parábola constante de tempo Tivemos funções de transferências típicas freqüência natural de oscilação razão de a mortização Teremos respostas transitivas típicas

Resposta transitoria de sistemas de primeira ordem Nota: Na aula só demonstraremos a obtenção da resposta ao degrau, fica para trabalho independente a obtenção por parte do aluno da resposta às outras duas entradas Consulta em uma tabela de transformada

Expressão analítica Representação gráfica Valor final Observe Quando o tempo transcorrido é o equivalente a uma constante de tempo Quando o tempo transcorrido é o equivalente a 4 constantes de tempo Valor inicial

Notas importantes Conhece-se como constante de tempo de um sistema, o tempo que a resposta deste sistema a uma entrada degrau alcança o 63,2% do valor final Conhece-se como tempo de estabelecimento , ao tempo que demora a resposta deste sistema entrada degrau em alcançar o 98 % do valor final Existem outros critérios relacionados com o tempo de estabelecimento, associados aos 95% e ao 99% que são menos usados

TPC Os alunos devem obter a resposta analítica e gráfica do sistema de primeira ordem às outras entradas mencionadas em aula Os alunos devem estudar e aprender a entrada de prova nomeada impulso e obter a resposta analítica e gráfica do sistema de primeira ordem para esta entrada

Resposta transitoria de sistemas de segunda ordem Nota: Na aula só demonstraremos a obtenção da resposta ao degrau, fica para trabalho independente a obtenção por parte do aluno da resposta às outras duas entradas Observe Quais são p1 e p2?

Agora bem raízes reais e iguais raízes reais e desiguais raízes complexas conjugadas

Então Se as raízes forem de distinto tipo Transformada-a inversa será também distinta Y (t) (tabela de transformada) raízes complexas conjugadas sub amortecida raízes reais e desiguais sobre amortecida criticamente amortecida raízes reais e iguais

Os sistemas de controle se desenham para que a resposta seja ligeiramente sub amortecida Por isso nos deteremos com maior interesse neste tipo de resposta Tempo de retardo td É o tempo requerido para que a resposta alcance a primeira vez a metade do valor final Ultrapasso máximo Mp indica por quanto excede a resposta ao valor final ao que ela tende Tempo de levantamento tr É o tempo requerido para que a resposta passe do 10 aos 90%, do 5 aos 95% ou do 0 aos 100% de seu valor final Tempo de assentamento ts É o tempo requerido para que a resposta alcance uma fila ao redor do valor final ( de 2 a 5%) Tempo de Pico tp É o tempo requerido para que a resposta alcance o primeiro pico de ultrapasso Se conhecermos todas estas especificações a resposta transitiva fica definitivamente determinadas

Todas as especificações podem obter-se da expressão matemática da resposta de um sistema de segunda ordem típica sub amortecido em função dos valores da razão de amortização e da freqüência natural de oscilação Fazendo esta representação para as raízes complexas conjugadas Parte real Parte imaginária

Tivemos percentual Importante : essa constante de tempo T é a que lhe corresponde à curva envolvente da resposta sub amortecida

Exemplo Conhecendo o diagrama de blocos de um sistema de controle como o que se mostra, determine as especificações da resposta transitiva a entrada degrau unitário Primeiro passo Encontrar a função de transferência que relaciona a entrada e a saída Segundo passo Identificar os valores para a razão de amortização e a freqüência natural

Terceiro passo Calcular as especificações segundo as expressões conhecidas

Observações Importantes +

Algumas ideia Se um sistema é estável, então os pólos que estão longe do eixo jω tem partes reais negativas de valor grande, e os termos exponenciais correspondentes a estes pólos decaem rapidamente a zero. produz decai mais rápido

Se as relações entre as partes reais dos pólos excedem cinco e não existem zeros na vizinhança, então os pólos de malha fechada mais próximos do eixo jω dominarão a resposta transitória. Não Sim o mais distante do eixo jω é chamado DOMINADO. Este pólo chamado DOMINANTE

EXEMPLO: (Sistema de terceira ordem) Resposta ao degrau unitário: Este sistema é dominante de segunda ordem, pois o pólo s= - 10 está muito distante do eixo jω.

Assim Podemos fazer uma aproximação para um sistema de segunda ordem. Sistema de terceira ordem Sistema de segunda ordem. Para desprezar o efeito de um pólo em uma função de transferência, devemos fazer s=0 na parte correspondente a este pólo. No exemplo, temos: a resposta ao degrau unitário é:

A figura abaixo mostra as curvas exata e aproximada: Sistema de segunda ordem. Sistema de terceira ordem

Sempre é assim? Que é estabilidade? Definição Dizia Esta frase condiciona o que segue Que é estabilidade? Definição “Um sistema qualquer é estável se e somente se para toda e qualquer entrada limitada, a saída correspondente também for limitada”.

Retomamos o exemplo Era este Se fosse este Qual é a diferença entre as funções de transferência? Qual é a diferença entre as resposta à entrada degrau? A que conclusão se pode chegar?

“Um sistema linear a malha fechada, invariante no tempo, a parâmetros concentrados é estável se e somente se todos os pólos de sua função de transferência de malha fechada estão no semiplano esquerdo aberto do plano complexo s”. ¡¡¡conceito muito importante!!! Quais sao os pólos de malha fechada? Recordemos que a função de transferência de laço fechado de um sistema é A equação característica: As raízes da equação característica são os pólos de C(s)/R(s)

Concluindo Ao início da aula se traçou que a resposta no tempo tem duas partes, da segunda não falamos, fica para aulas posteriores A resposta no tempo que um sistema oferece muitas vezes não é apropriada segundo as necessidades do processo a controlar portanto terá que modificá-la, isso também é objetivo de aulas posteriores A obtenção das especificações hoje vista se podem obter analiticamente e também simulada no ambiente do MATLAB, ambas as coisas as faremos em aulas posteriores também

Informacao Importante Os estudantes devem obter o Matlab para as proximas aulas