Estatística Aula 14 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Estatística Aula 14 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne Santos de Assis e Christiano Cantarelli Rodrigues

Aula 13 Esperança Matemática Propriedades da Esperança Variância Desvio Padrão Aplicações

Esperança Matemática Um gráfico de barras Um histograma Já tínhamos visto que podemos representar graficamente uma distribuição de probabilidade com Um gráfico de barras Um histograma Para entender o conceito de Esperança matemática ou valor esperado, partiremos de um exemplo discreto com um histograma de probabilidade  descobriremos onde está o Centro dele (CVDOT)  estenderemos o conceito de média para Esperança matemática ou valor esperado  generalizaremos para distribuições contínuas

Esperança Matemática Exemplo histograma de probabilidade Um estudo consiste na escolha aleatória de 14 recém-nascidos e na contagem do número de meninas. Se considerarmos que meninos e meninas são igualmente prováveis, construa a distribuição de probabilidade e calcule a média X f(x) = P(X=x) 0,000 1 0,001 2 0,006 3 0,022 4 0,061 5 0,122 6 0,183 7 0,209 8 9 10 11 12 13 14 histograma de probabilidade Distribuição de probabilidade

Esperança Matemática Onde está a média? Como calculá-la? Lembrando do cálculo de média em dados agrupados ... m = 0.0,000 + 0,001.1 + 0,006.2 + 0,022.3 + 0,061.4 + 0,122.5 + 0,183.6 + + 0,209.7 + 0,183.8 + 0,122.9 + 0,061.10 + 0,022.11 + 0,006.12 + + 0,001.13 + 0,000.14 = 6,993 ≈ 7

Esperança Matemática m CVDOT

Esperança Matemática O que fizemos no exemplo anterior? Vimos que uma distribuição de probabilidade pode ser interpretada como uma distribuição de frequência dos valores do espaço amostral Imaginemos uma população, onde são possíveis vários resultados  N resultados possíveis Podemos fazer: distribuição de frequência de cada resultado Calcular parâmetros  m, s2, s, ...

Esperança Matemática O que fizemos no exemplo anterior? Se quisermos calcular a média m a partir dos dados agrupados Onde a frequência relativa do resultado xi da população é a probabilidade de ocorrência de xi

Esperança Matemática Então … As distribuições de probabilidade são modelos teóricos em que as probabilidades dos valores assumidos pela v.a. podem ser interpretadas como limites de freqüências relativas Podemos, assim, definir, para as distribuições de probabilidade as mesmas medidas de tendência central e de dispersão utilizadas nas distribuições de freqüência Assim como definimos a média de uma distribuição de freqüências como a soma dos produtos dos diversos valores observados pelas respectivas frequências relativas, define-se a média de uma v.a., ou de sua distribuição de probabilidade, como a soma dos produtos dos diversos valores xi da v.a. pelas respectivas probabilidades f(xi)

Esperança Matemática Da média à esperança matemática (ou valor esperado) A média de uma v.a. discreta é o resultado médio teórico para um no infinito de tentativas. Podemos considerar a média como o valor esperado no sentido de que é o valor médio que esperaríamos se as tentativas pudessem continuar indefinidamente Repita o processo de jogar uma moeda cinco vezes, e o no médio de caras é 2,5. Ao jogar uma moeda 5 vezes, o valor esperado do no de caras é também 2,5.

Esperança Matemática Definição A média de uma v.a. X é também chamada de valor esperado, ou esperança matemática, ou simplesmente esperança de X É representada por E(X) e se define como: Estendendo-se o somatório a todos os possíveis valores de X E(X) é também chamada média populacional, denotada usualmente por m

Propriedades da Esperança de uma v.a. Se a e b são constantes e X é uma v.a., então: Demonstração

Propriedades da Esperança de uma v.a. Demonstração

Variância da Variável Aleatória Introdução A média é uma medida de posição de uma v.a. É natural que procuremos uma medida de dispersão da v.a. em relação à média Essa medida é a variância

Variância Definição Demonstração Seja a v.a. X com valores numéricos x1, x2, ..., xn e probabilidades associadas P(x1),P(x2), ..., P(xn) . Definimos como variância de X: Demonstração

Desvio padrão O desvio padrão (s ) é a raiz quadrada positiva da variância O desvio padrão expressa a dispersão na mesma unidade de medida da v.a.

Aplicações No problema da contagem do número de meninas, ache agora a variância e o desvio padrão. Use a regra empírica da amplitude (abaixo) para achar os valores máximos e mínimos usuais Regra empírica da amplitude  baseia-se no princípio de que, para muitos conjuntos de dados, a grande maioria (tal como 95%) dos valores amostrais se localiza a 2 desvios padrões da média 95% dos valores média-2.s média média+2.s X f(x) = P(X=x) x . f(x) x2 x2 . f(x) 0,000 1 0,001 2 0,006 0,012 4 0,024 3 0,022 0,066 9 0,198 0,061 0,244 16 0,976 5 0,122 0,610 25 3,050 6 0,183 1,098 36 6,588 7 0,209 1,463 49 10,241 8 1,464 64 11,712 81 9,882 10 100 6,100 11 0,242 121 2,662 12 0,072 144 0,864 13 0,013 169 0,169 14 196 Total 6,993   52,467 Valor usual mínimo = m – 2 . s = 7 – 2 .1,9 = 3,2 Valor usual máximo = m + 2 . s = 7 + 2 .1,9 = 10,8

Aplicações Continuando o problema anterior, se uma empresa diz ter desenvolvido uma técnica que, supostamente aumenta as chances de um casal ter uma filha. Em um teste preliminar, foram encontrados 14 casais que desejavam ter filhas. Após o uso da técnica, 13 deles tiveram uma filha e um teve 1 filho. A técnica é eficaz ou devemos explicar o fato como resultado aleatório. Em outras palavras, a técnica é eficaz ou poderíamos obter 13 meninas entre 14 bebês apenas por acaso? Forma de solução 1: pela regra empírica, a grande maioria dos valores devem estar entre 3,2 e 10,8. Então 13 é um valor não usual. A técnica parece eficaz, pois é altamente improvável que, ao acaso, haja 13 meninas em 14 bebês Forma de solução 2: Se a probabilidade de nascer 13 ou mais meninas for muito pequena, este valor é não usual. Assim P(13 ou mais meninas) = P(13) + P(14) = 0,001 + 0,000 = 0,001. Então, como a probabilidade é muito baixa, 13 é um valor não usual. A técnica parece eficaz, pois é altamente improvável que, ao acaso, haja 13 meninas em 14 bebês

Aplicações Em um jogo, uma aposta direta funciona da forma seguinte: aposte 50 centavos e escolha um número de 3 dígitos entre 000 e 999. Se os seus 3 dígitos coincidem com os 3 sorteados, você recebe R$ 275,00, com um ganho líquido de R$ 274,50 (porque seus 50 centavos não serão devolvidos). Suponha que você aposte R$ 0,50 no número 007. Qual o valor esperado de ganho ou perda? Solução: há 2 resultados simples: você ganha ou você perde. Há 1.000 possibilidades e você escolheu um número (007) Sua probabilidade de ganhar é 1/1000 = 0,001 Sua probabilidade de perder é 999/1000 = 0,999 A longo prazo, para cada 50 centavos apostados, podemos esperar perder uma média de 22,5 centavos. Embora você não possa perder 22,5 centavos em um jogo individual, o valor esperado de – 22,5 centavos mostra que, numa longa sequência de jogos, a perda média é de 22,5 centavos Evento X f(x) x.f(x) Ganha R$ 274,50 0,001 R$ 0,2745 Perde - R$ 0,50 0,999 - R$ 0,4995 Total - R$ 0,225

Aplicações Uma loja de materiais de construção mantém registros de vendas diárias de furadeiras. O quadro abaixo fornece a quantidade de furadeiras vendidas em uma semana e a respectiva probabilidade. Quantidade 1 2 3 4 5 f(x) 0,1 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1 Se é de R$ 37,00 o lucro por unidade vendida, qual o lucro esperado nas vendas de uma semana? Solução: Calculemos inicialmente E(X), que é o número esperado de aparelhos vendidos em uma semana: E(X) = 0(0,1) + 1(0,1) + 2(0,2) + 3(0,4) + 4(0,2) + 5(0,1) E(X) = 3,0 Para x unidades vendidas, o lucro é 37.x Logo: O lucro é dado por : R$ 111,00 (= 37.3)

Aplicações O número de mensagens enviada por hora por meio de uma rede de computadores tem a seguinte distribuição: 10 11 12 13 14 15 x = nº de mensagens f(x) 0,08 0,15 0,30 0,20 0,20 0,07 Determine a média, a variância e o desvio padrão do número de mensagens enviadas por hora. m = E(X) = 10(0,08) + 11(0,15) + 12(0,30) + 13(0,20) + 14(0,20) + 15(0,07) = 12,5 s2 = 102(0,08) + 112 (0,15) + 122(0,30) + 132(0,20) + 142(0,20) + 152(0,07) – 12,52 s2 = 1,85 s = (1,85)1/2 = 1,36

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