Estatística Aula 11 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Estatística Aula 11 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne Santos de Assis e Christiano Cantarelli Rodrigues

Aula 11 Regra da Multiplicação Probabilidade Condicional Independência de Eventos

Regra da Multiplicação Propriedades Básicas Regra da Multiplicação Estamos interessados na probabilidade de o evento A ocontecer em uma primeira prova e o evento B ocorrer em uma segunda prova Palavra – chave  e Notação P(A e B ) = P(evento A ocorrer na primeira prova e evento B ocorrer na segunda prova)

Vamos supor que as respostas corretas sejam V e c Propriedades Básicas Regra da Multiplicação Exemplo: Supor que em um teste temos duas questões: a 1ª é verdadeiro ou falso e a 2ª possui 5 alternativas (a, b, c, d, e). Qual a probabilidade de que, se uma pessoa responde aleatoriamente as ambas as questões, a 1ª resposta esteja certa e a 2ª resposta esteja certa? Vamos supor que as respostas corretas sejam V e c Queremos P(V e c)

Regra da Multiplicação Propriedades Básicas Regra da Multiplicação 1ª 2ª Resultados possíveis e a b c d Va Vb Vc Vd Ve V Espaço amostral e a b c d Fa Fb Fc Fd Fe F 2 x 5 = 10

Regra da Multiplicação Propriedades Básicas Regra da Multiplicação P(V) P(c) Se vocês prestaram a atenção P(V e C) = P(V) . P(c) Este problema foi resolvido com o auxílio de um diagrama de árvore porque o no de resultados possíveis não foi muito grande Acertar a 2ª questão depende de ter acertado a 1ª ?

Regra da Multiplicação Propriedades Básicas Regra da Multiplicação Pelo menos 1 ... Ache a probabilidade de que, entre várias provas, pelo menos uma forneça um resultado especificado Pelo menos um é equivalente a um ou mais O complementar de se obter pelo menos um de um item particular é não se obter qualquer item daquele tipo

Regra da Multiplicação Propriedades Básicas Regra da Multiplicação Pelo menos 1 ... Exemplo: Ache a probabilidade de uma casal ter, pelo menos, 1 menina entre 3 crianças. Suponha que meninos e meninas sejam igualmente prováveis e que o sexo de uma criança seja independente do sexo de qualquer outro irmão ou irmã Seja A = pelo menos 1 das 3 crianças é menina Evento complementar: = não obter pelo menos 1 menina em 3 crianças = todas as 3 crianças são meninos = menino, menino, menino menino-menino-menino menino-menino-menina menino-menina-menino menino-menina-menina menina-menino-menino menina-menino-menina menina-menina-menino menina-menina-menina

P(pelo menos um ) = 1 - P(nenhum) Propriedades Básicas Regra da Multiplicação Pelo menos 1 ... Para achar a probabilidade de pelo menos um de alguma coisa, calcule a probabilidade de nenhum, então subtraia o resultado de 1 P(pelo menos um ) = 1 - P(nenhum)

Probabilidade Condicional Como será que a probabilidade de um evento muda após sabermos que um outro evento ocorreu? Isso nos leva à idéia de probabilidade condicional A idéia de probabilidade condicional está intimamente relacionada ao fato da ocorrência de um evento afetar ou não a probabilidade de ocorrência de outro evento Uma probabilidade condicional nada mais é do que uma probabilidade calculada não mais a partir do espaço amostral inteiro E, e sim a partir de um subconjunto de E

Probabilidade Condicional Motivação Suponha uma população com N indivíduos Suponha dois eventos: A: o indivíduo é do sexo feminino B: o indivíduo é daltônico Pode-se definir as probabilidades P(A) = Nf / N P(B) = Nd / N Poderíamos estar interessados em saber a probabilidade de ser daltônico dentro da população feminina ou seja: P(B|A) = Ndf / Nf dividindo os dois lados por N:

Probabilidade Condicional Motivação A B A ∩ B Espaço amostral E E A B A ∩ B Na probabilidade condicional, A faz o papel do espaço amostral

Probabilidade Condicional Exemplo da genética Se 2 ervilhas são escolhidas aleatoriamente sem reposição ... Qual a Prob. de que a 1ª tenha vagem verde e 2ª amarela?

Probabilidade Condicional Exemplo da genética 1ª seleção: Há 14 ervilhas, 8 das quais têm vagem verde Restam 13 ervilhas, 6 das quais têm vagem amarela 2ª seleção:

Probabilidade Condicional O ponto chave é que temos que ajustar a probabilidade do 2º evento para refletir o resultado do 1º evento A probabilidade para o 2º evento B tem que levar em conta o fato de que o 1º evento A já ocorreu Notação P(A e B) = P(A) . P(B|A) P (B | A)  lê-se “P de B dado A”

P(A  B) = P(A) . P(B|A) Probabilidade Condicional Formal Ao calcular a probabilidade de ocorrência do evento A em uma prova e do evento B na prova seguinte, multiplique a probabilidade do evento A pela a probabilidade do evento B, mas certifique-se de que a probabilidade do evento B leva em conta a ocorrência prévia do evento A Formal P(A  B) = P(A) . P(B|A)

Probabilidade Condicional Definição Dados dois eventos A e B, com P(A) > 0, chama-se P(B | A) a probabilidade condicional de B dado A (ou probabilidade de B condicionada a A) definida pela expressão Analogamente: (com P(B) > 0)

Probabilidade Condicional Se A e B são disjuntos: A B Se B A : U A B Caso geral: B A Se A B : U B A

Probabilidade Condicional Uma vez que: Uma vez que: e Temos: e Logo:

Probabilidade Condicional Esse resultado é também conhecido como Teorema da Multiplicação Este teorema nos permite escrever uma probabilidade condicional em termos da probabilidade condicional “inversa”, o que é útil quando uma delas for difícil de calcular Em particular:

Probabilidade Condicional Exemplo 1 Um grupo de pessoas inclui 40 com diploma de curso superior, 20 microempresários e 10 que são, ao mesmo tempo, portadores de diploma do curso superior e microempresários. Calcule a probabilidade de alguém ser microempresário sabendo que ele tem diploma de curso superior. Sejam os eventos: A = { pessoa tem diploma de curso superior } B = { pessoa é um microempresário }

Probabilidade Condicional Exemplo 1 Seleciona-se uma das 50 pessoas aleatoriamente. Então: P( A ) = 40/50 , P( B ) = 20/50 e P( A ∩ B ) = 10/50 Considere o seguinte evento: a pessoa é microempresária e sabe-se que ela tem diploma de curso superior A probabilidade deste evento é diferente da probabilidade da pessoa ser microempresária, visto que agora o espaço amostral não consiste mais nas 50 pessoas originais, mas apenas naquelas que possuem diploma de curso superior

Probabilidade Condicional Exemplo 1 A probabilidade condicional de que uma pessoa seja microempresária sabendo-se que ela tem diploma de curso superior é dada por: Observações O exemplo mostra que devemos olhar para as 10 pessoas na interseção dentre as 40 pessoas com diploma de curso superior O nosso espaço amostral, ao calcular a probabilidade condicional, restringe-se às 40 pessoas que têm curso superior, e não mais às 50 pessoas do grupo original

Probabilidade Condicional Exemplo 2 Em uma amostra de 100 funcionários de uma empresa: 35 são homens e fumantes, 28 são homens e não fumantes, 17 são mulheres e fumantes, 20 são mulheres e não fumantes. Qual a probabilidade de um funcionário escolhido ao acaso ser fumante, considerando que ele seja homem?

Probabilidade Condicional Exemplo 2 Sejam os eventos: A = { o funcionário é fumante } B = { o funcionário é homem }

Probabilidade Condicional Exemplo 2 Note que, quando definimos que o evento B correu (o funcionário é homem), restringimos o espaço amostral à ocorrência do evento A (o funcionário é fumante) O novo universo passa a ser o próprio evento B

Probabilidade Condicional Exemplo 2 Utilizando o número de elementos de cada conjunto: P(A | B) = 35/63 = 0,556 Ou empregando a expressão da definição: P(B) = 63/100 = 0.63 P(A ∩ B) = 35/100 = 0.35 P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B) = 0,35/0,63 = 0,556

Probabilidade Condicional Exemplo 3 Ao serem lançados dois dados equilibrados sobre uma mesa, calcule a probabilidade de a soma das duas faces ser 8, sabendo que ocorre face 3 no primeiro dado. Sejam os eventos: A = { a soma das duas faces é 8 } B = { ocorre face 3 no primeiro dado } Total de resultados possíveis no lançamento dos dois dados: 6 x 6 = 36 A = { (2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2) } B = { (3;1), (3;2), (3;3), (3;4), (3;5), (3;6) } (3;5)

Dois eventos A e B são independentes quando se verifica: Independência de Eventos Dois eventos A e B são independentes quando se verifica: e Portanto, se A e B são eventos independentes vale:

Independência de Eventos Dois eventos são independentes se qualquer uma das seguintes afirmações for verdadeira: P(A│B) = P(A) P(B│A) = P(B) P(A ∩ B) = P(A) . P(B)

Probabilidade Condicional Exemplo 4 A tabela abaixo descreve a história de 84 amostras de ar, com base na presença de duas moléculas raras. Faça A denotar o evento que consiste em todas as amostras de ar que contém a molécula 1 e B denotar o evento que consiste em todas as amostras de ar que contém a molécula 2. Calcule P(B) e P(B│A). Molécula 1 Não Sim Molécula 2 32 24 16 12

Probabilidade Condicional Exemplo 4 Resposta: P(B) = 28 / 84 = 0,333 P(A) = 36 / 84 = 0,428 P(B│A) = P(A ∩ B)/P(A) = (12/84) / (36/84) = 12/36 = 0,333 P(A ∩ B) = P(A) . P(B) = (36/84).(28/84) = 0,142 P(A ∩ B) = 12/84 = 0,142

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