César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG Métodos Analíticos para Simulação Dinâmica de Corpos Rígidos Não-penetrantes Autor: David Baraff Fonte:SIGGRAPH 1989 Web:http://www.pixar.com/companyinfo/research/deb/ César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG Objetivo Apresentar de maneira sucinta Método Heurístico utilizado por David Baraff, para Simulação Dinâmica de Corpos Rígidos Não-penetrantes. César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG Heurístico ? Do grego heuristike: achado, descoberta; Relacionado a heurística, ie, uma hipótese de trabalho adotada provisoriamente como idéia diretriz na pesquisa de fatos; Método Heurístico: Técnicas (ex: auto-educação) que servem como ajuda na solução de um problema para o aprimoramento da performance. César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG Roteiro Introdução Motivação Revisão alguns conceitos físicos Simulação utilizando Métodos Analíticos Modelando Contatos Calculando Dinamicamente forças de contato corretamente Solução Heurística Restrições Adicionais Conclusão César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG Introdução Muitos trabalhos utilizam as leis dinâmica Newtoniana para simular sistemas de corpos rígidos (CR); Toda simulação realística de corpos rígidos exige que não haja inter-penetração de dois quaisquer corpos; Foco do “Paper”: Dado um número de corpos rígidos poliédricos, calcular as forças que naturalmente surgem para prevenir a interpenetração. César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG Motivação Moore e Hahn fizeram os primeiros trabalhos (1988) utilizando métodos analíticos p/ cálculo de forças (impulso) entre CR; O método utilizado p/ corpos em repouso, entretanto, era não analítico. Modelo Utilizado p/ corpos em repouso: série de colisões ocorrendo freqüentemente.  Modelo Analítico de forças que não é válido; Platt e Barr utilizaram “Penalty Forces”; e Moore e Wilhelms utilizaram forças elásticas. César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

Motivação (continuação) Métodos Errôneos Vantagens: fácil de implementar; pouco complexidade; e extensível p/ corpos não rígidos. Desvantagens: as simulações apresentam resultados aproximados; a correção da simulação é difícil de se verificar em alguns casos; e requer ajustes para condições diferentes na simulação. César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

Motivação (continuação) Métodos Analíticos Vantagens: dão respostas exatas; produzem E.D.O. que requerem bem menos passos no tempo durante simulação; e a correção da simulação é fácil de se verificar (baseadas diretamente da dinâmica Newtoniana). Desvantagens: -são muito mais complexos de derivar e implementar. César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG Revisão Centro de Massa: Momento Linear: Força: Torque: Momento Angular: Momento de Inércia: César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

Simulação via Métodos Analíticos Tratamento diferenciado entre forças de colisão e forças de contato em repouso. Forças de colisão: forças descontínuas (impulsivas); dimensão mv; e causam descontinuidades na velocidade do CR. Forças de contato: são contínuas em algum intervalo não-nulo; dimensão ma; e não causam descontinuidades na velocidade do CR. César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG Simulador interage na solução de um par de EDO acopladas, via uso do método numérico de Runge-Kutta de 4º Ordem ou Adams-Moulton; Ao integrador é passado todas condições iniciais dos corpos; Métodos Analíticos introduzem descontinuidades nas velocidades dos corpos quando há colisão. Não teremos boa solução se integrarmos sobre estes intervalos... Solução: Devemos descobrir o tempo no qual uma colisão ocorrerá!!! Foi utilizado o método descrito por Moore e Wilhelms. César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG Resolvendo uma Colisão: uma vez determinado o tempo da colisão, o integrador é parado; faz-se o cálculo das novas forças; calcula-se as novas velocidades dos corpos em colisão (novas condições iniciais); e reinicializa-se o integrador. César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG Modelando Contatos Contato:colidindo ou em repouso; Dois corpos A e B se tocam em um número finito de contatos (pontos de contato); pa(to):posição de um ponto de contato de um CR A no instante t0; Sejam dois pontos ‘a’ e ‘b’ dos CR A e B que estão em contato: pa (t0)=p=pb (t0) César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG Características pa(to) e pb(to) : Variáveis no tempo; Variam de acordo com os movimentos independentemente dos CR A e B respectivamente; e indica: colisão; repouso; ou separando-se, César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG Associado a cada ponto de contato: Força (possivelmente nula); e Um vetor unitário normal a superfície . Contatos tipo Vértice-Plano Corpo A: vértice; e Corpo B: plano com normal em pb. Contatos tipo Aresta-Aresta Um corpo é definido como Corpo A arbitrariamente. N é mutuamente perpendicular as arestas em contato e direcionado se afastando de B. Obs.: na ausência de atrito é colinear com . César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

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César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG Pontos de Contato Degenerados Obs: usualmente estes casos existem apenas instantaneamente, e a escolha para n tem pouco efeito na simulação. César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

Pontos de Contato Degenerados Cálculo da intensidade nestes casos é um problema NP-completo (teorema de Palmer); Solução: extensão de um plano local em B, e dá-se o tratamento de contatos tipo Vértice-Plano. Restrição dos Pontos de Contato Pontos extremos; Vértices do segmento de reta; e Polígono de contato das regiões. César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

Restrição Pontos de Contato n: número de pontos de contato; : vetor normal a superfície do iésimo ponto de contato; :intensidade da força do iésimo ponto de contato; César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

Calculando dinamicamente forças de contato corretamente Um vetor é uma força de contato de magnitude correta se: não permite que os corpos interpenetrem-se; a força de contato “empurra” mas não “puxa”; forças de contato ocorrem apenas nos pontos de contato; e visto como uma função do tempo, as forças de contato são contínuas. César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

Restrições p/ Não-Penetrações É suficiente examinar o movimento relativo dos corpos em cada ponto de contato; Seja a função característica: César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG Quem seriam e ? Seja to o instante no qual há o choque entre os CR A e B. -  A e B estão colidindo (nunca acontecerá) -  A e B estão se separando (fi=0) -  se χ”i (to) <0, χi está diminuindo em to e uma interpenetração é eminente, e portanto devemos ter: César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG Exemplo 1: César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG Exemplo 2: César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

Matriz formulação das condições (1) e (2) , para 1≤ i ≤ n (não há inter-penetração); fi ≥ 0, para 1≤ i ≤ n (forcas somente “empurram”); César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG Podemos escrever a representação matricial, portanto, da seguinte forma: César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

Programação Linear (PL) Encontrar um vetor que satisfaz: Mx ≥ c (M é matriz e c é um vetor) que minimiza uma função linear z(x) é um exemplo de um problema típico de PL; Se existem x que satisfazem todas as restrições dizemos que o sistema é realizável e cada x é uma solução realizável; Se x é uma solução realizável que minimiza z, são ditos sistemas limitados e x uma solução ótima. PL é um problema polinomial no tempo; Se, entretanto, é explorado o fato de A ser tipicamente uma matriz esparsa, a solução é O(n); César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

Formulação das condições (3) e (4) Uma f que atenda a e , não será necessariamente correta!!! Exemplo 1: f=mgcos(θ) é a única solução correta, porém f=2mgcos(θ) é solução realizável que previne a inter-penetração, porém acelera incorretamente, afastando o CR A de B. César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG Sabemos que se para o i-ésimo ponto de contato, se então é estritamente crescente e os CR A e B estão se separando. Para atendermos (3) devemos ter: César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG Para 1≤ i ≤ n, nossas restrições passam a ser escritas como: Ou: César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG O termo que envolve a forma é quadrático em fi; Programação Quadrática, diferentemente de PL é um problema NP-difícil de um modo geral; Modelando contatos sem atrito A é positivamente semidefinida (PSD), e programas quadráticos podem teoricamente ser resolvidos em tempo polinomial (não existe tal algoritmo...) Não há porque acreditar que com atrito A continuará sendo PSD... SOLUÇÃO: desenvolvimento de um algoritmo heurístico para este problema... César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG Solução Heurística Uma determinada configuração de corpos tem apenas uma configuração de movimentos corretos. Seja V e C os conjuntos de pontos que estão deixando de existir e não estão deixando de existir, ou seja: V={j | ponto de contato que está sumindo} C={k | ponto de contato que não está sumindo} César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG Sabemos que para qualquer solução correta : Podemos escrever: César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG Exemplo: Seja um sistema quadrático com restrições em quatro pontos de contato, com V={1,3} e C={2,4} César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG Como achar V ? César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 1) Solução mais simples: V=Ø Não existem pontos de contato que estão deixando de existir, e f está sujeito às seguintes restrições: Através de diversas simulações constatou-se que a solução V=Ø é correta para a grande maioria dos casos. César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 2) Predizendo um conjunto não-vazio de V Se for encontrado uma configuração com pontos de contatos que estão deixando de existir, a adivinhação de que V=Ø resultará em um sistema indeterminado. Solução: encontrar uma solução aproximada fa que satisfaça às restrições: Seja o vetor residual: César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG Se fa for uma solução correta, para todos pontos j, que estão deixando de existir, , e para todos os outros pontos k, . 2.1) Encontrando fa Aproximadas A heurística utilizada para encontrar a solução aproximada é: escolha fa que minimiza a seguinte função: , sujeita às seguintes restrições: César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG 2.2) Tratando com Predições Incorretas -Tendo n pontos de contatos, deveríamos testar todas as 2n possibilidades ? - A implementação desenvolvida leva em consideração que pontos deixando de existir ocorrem com pouquíssima freqüência... - Energia é adicionada ao sistema, produzindo resultados incorretos... César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG - ... porém o (d)efeito é mascarado pelo fato de que estas configurações são singulares, ou seja é aplicado apenas por um período pequeno no tempo. - Descobriu-se que, no pequeno intervalo de tempo na qual é aplicado, levando-se em conta que é usualmente uma boa aproximação da solução correta produziu resultados satisfatórios. César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

Restrições Adicionais Restrições Holonômicas (figuras articuladas) podem ser adicionadas de uma maneira consistente; Barzel e Barr mantiveram restrições holonômicas pela introdução de forças de restrição que satisfaziam ao sistema linear Todo o sistema é resolvido conforme descrito anteriormente , à exceção do somatório mínimo das forças, o qual levará em consideração tão somente as restrições não holonômicas das forças. César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG É consistente com a formulação proposta, uma vez que programação linear permite restrições com igualdades; Não estão sujeitos as condições (2); Todo o sistema é resolvido conforme metodologia apresentada, à exceção do somatório mínimo de forças, o qual levará em questão apenas as forças de restrições não-holonômicas; e Utilizado pacote de PL esparsa p/ resolver em O(n). César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG Exemplos César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG

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César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG Conclusão A solução proposta para encontrar as forças de contato entre corpos poliédricos, foi baseada em uma heurística, cuja solução é encontrada via uso de técnicas de Programação Linear; A solução proposta permite trabalhar com restrições holonômicas; O grande esforço computacional do algoritmo é voltado na solução de um sistema linear de desigualdades; e O algoritmo heurístico utilizado ocasionalmente falhará e uma solução aproximada é utilizada. Isto adiciona energia a simulação mas não resulta em nenhum efeito visual insatisfatório. César Candido Xavier - Aluno Mestrado CG