O paralelogramo ABCD da figura tem 18cm de perímetro e os segmentos CM e DM estão contidos nas bissetrizes dos ângulos Ĉ e Ď. A medida de AD é a) 3cm b) 3,2cm c) 3,4cm d) 3,6cm x A M B C D 2x 2P = x + x + x + x + 2x  18 = 6x x = 3

Num trapézio isósceles, as bases medem 8cm e 3cm e os ângulos da base medem 60º. Seu perímetro é a) 20cm b) 21cm c) 22cm d) 24cm 3 cos 60º = 2,5 x x x 2,5 x 1 2 = 60º 3 60º x = 5 2,5 2,5 8 2P = x + x + 8 + 3 2P = 10 + 11 2P = 21

Num losango, um dos ângulos internos é o dobro do outro Num losango, um dos ângulos internos é o dobro do outro. Se a menor de suas diagonais mede x, seu perímetro é a) 3x b) 2 3 x c) 3 2 x d) 4x Eqüilátero a x a x 2P = x + x + x + x = 4x

Na figura, ABCD é um retângulo Na figura, ABCD é um retângulo. E e F são os pontos médios dos lados AD e CD, respectivamente. Podemos concluir que: a) EF = AD b) EF = AB 2 c) EF = BD d) EF = FC D A E B C F

As bases de um trapézio medem 4cm e 12cm As bases de um trapézio medem 4cm e 12cm. As diagonais desse trapézio dividem sua base média em três segmentos adjacentes proporcionais a a) 1, 2 e 1. b) 2, 3 e 2. c) 1, 2 e 3. d) 1, 3 e 1. 4 2 4 2 8 12

As diagonais de um quadrilátero convexo medem 8m e 12m As diagonais de um quadrilátero convexo medem 8m e 12m. Os pontos médios dos lados desse quadrilátero são vértices de um outro quadrilátero. Ele é um a) paralelogramo de 20m de perímetro. b) paralelogramo de 24m de perímetro. c) quadrilátero, não necessariamente paralelogramo, de 20m de perímetro. d) quadrilátero, não necessariamente paralelogramo, de 24m de perímetro. 4 6 8 12 6 4

Em um triângulo, o ponto de encontro das bissetrizes internas, o ponto de encontro das alturas, o ponto de encontro das medianas e o ponto de encontro das mediatrizes dos lados denominam-se, respectivamente, a) circuncentro, ortocentro, baricentro e incentro. b) incentro, ortocentro, baricentro e circuncentro. c) incentro, baricentro, ortocentro e circuncentro. d) circuncentro, baricentro, ortocentro e incentro.

Num triângulo ABC, AB = 6cm e AC = 8cm Num triângulo ABC, AB = 6cm e AC = 8cm. Pelo incentro I do triângulo, traça-se uma paralela a BC, que corta AB em M e AC em N. Calcule o perímetro do triângulo AMN. B A C a 2a 2P = x + y + (8 – y) + (6 – x) 2P = 8 + 6 = 14 6 – x 8 – y 8 6 M N c x b y x y b c 2b 2c

Na figura, M e N são os pontos médios dos lados AB e AC do triângulo ABC. Assinale a afirmativa FALSA. a) MN // BC b) MN = BC 2 c) BP = 2.PN d) MC = AC + BC M N P B C A

A36. Os raios de dois círculos medem 6cm e 8cm A36. Os raios de dois círculos medem 6cm e 8cm. Determine a distância d entre seus centros em cada caso. a) Eles são tangentes internamente. b) Eles são tangentes externamente. c) Um deles é interior ao outro. d) Um deles é exterior ao outro. e) Elas são secantes. a) d = R – r  d = 8 – 6 = 2cm b) d = R + r  d = 8 + 6 = 14cm c) 0  d < R – r  0  d < 2 d) d > R + r  d > 14 e) R – r < d < R + r  2 < d < 14

A37. Dois círculos de raios 3cm e 4cm são tangentes externamente A37. Dois círculos de raios 3cm e 4cm são tangentes externamente. Cada um deles tangencia, internamente, um terceiro círculo de raio 12cm. Calcule o perímetro do triângulo cujos vértices são os centros dos três círculos. 12 – 4 3 + 4 12 – 3 2P = 12 – 4 + 3 + 4 + 12 – 3 = 24

Na figura, AC é um diâmetro do círculo e as retas r e s são tangentes ao círculo em A e B. Podemos afirmar que: a)  = 2 b)  +  = 90º c)  = 3 d)  + 2 = 90º   C s B A P r 90 –  90 –  –2 + 180º +  = 180º  = 2

Os segmentos PA, PB e QR são tangentes ao círculo da figura em A, B e C, respectivamente. Se PA = 8, calcule o perímetro do triângulo PQR. B A P C Q R x 8 – x x 8 – y y y 2P = 8 – y + y + 8 – x + x = 16

Um triângulo ABC está circunscrito a um círculo Um triângulo ABC está circunscrito a um círculo. Os lados AB = 5cm, AC = 8cm e BC = 9cm tangenciam um círculo em M, N e P, respectivamente. Calcule AM. A B C x + y = 5 x + z = 8 y + z = 9 x x M N P x + y = 5 x + z = 8 –y – z = –9 y z y z 2x = 4 x = 2

Tornam-se, ordenadamente, sobre um círculo de centro O, dez pontos A1, A2, A3 ..., A10. Eles dividem o círculo em dez arcos congruentes. Calcule os ângulos internos: a) do triângulo A10A3; b) do quadrilátero A1A3A5A8. A6 A1 A2 A3 A4 A5 A7 A8 A9 A10 A6 A1 A2 A3 A4 A5 A7 A8 A9 A10 36º a) b) 36º x 36º 90º 72º 108º O 72º 90º 2x + 72º = 180º  x = 54º

(Cesgranrio) Em um círculo de centro O, está inscrito o ângulo  (Cesgranrio) Em um círculo de centro O, está inscrito o ângulo . Se o arco AMB mede 130º, o ângulo  mede a) 25º b) 30º c) 40º d) 45º O  A B M 180º 2 130º 2 + 180º + 130º = 360º  = 25º

Na figura, O é o centro do círculo Na figura, O é o centro do círculo. Se a, b e c são as medidas dos ângulos assinalados, então a) b = a + c b) a = b + c c) a + b = 90º + c d) a + c = 90º – b O A B a b c 2a 2a a + b c + 2a = a + b c + a = b  b = a + c

(UFES) Na figura, a medida de , em graus, é b) 54 c) 56 d) 58  32º 58º 2 2 = 58º  2  = 58º

(Mack-SP) Na figura, sabe-se que m(CÂD) = 20º e m(CÊD) = 70º (Mack-SP) Na figura, sabe-se que m(CÂD) = 20º e m(CÊD) = 70º. Então, a medida de AMB é igual a a) 50º b) 45º c) 60º d) 30º O B A E D C M 100º 20º x = 100º – 40º 2 110º x = 30º 50º 70º 40º x

(VUNESP) Sejam A, B e C pontos distintos no interior de um círculo, sendo C o centro do mesmo. Se construirmos um triângulo, inscrito no círculo, com um lado passando por A, outro por B e outro por C, podemos afirmar que este triângulo a) é acutângulo b) é retângulo c) é obtusângulo d) pode ser eqüilátero 90º A B C diâmetro 180º

Na figura, ABC é um triângulo inscrito no círculo, sendo BC diâmetro Na figura, ABC é um triângulo inscrito no círculo, sendo BC diâmetro. A reta t é tangente ao círculo em A;  e  são os ângulos que t forma com AB e AC, respectivamente, e  –  = 38º. O ângulo Ĉ do triângulo ABC mede a) 58º b) 60º c) 62º d) 64º A t B C   128º 90º  –  = 38º  +  = 90º 64º 2 = 128º  = 64º

As retas r e s da figura tangenciam o círculo em A e B As retas r e s da figura tangenciam o círculo em A e B. Então a medida x do ângulo assinalado é: a) 60º b) 65º c) 70º d) 75º P A B s r x 50º 65º 2x 2x = 130º x = 65º

Na figura, PBA e PDC são secantes ao círculo Na figura, PBA e PDC são secantes ao círculo. AB é lado de um quadrado e CD é lado de um Hexágono regular inscritos no círculo. Se o arco AC é o dobro do arco BD, então as medidas do ângulo P e AMC são, respectivamente: a) 30º e 110º b) 35º e 105º c) 36º e 104º d) 40º e 100º P A M C D B a 90º 3x + 90º + 60º = 360º 3x = 210º x = 70º x b a = 140º – 70º 2 = 35º 60º 2x b = 140º + 70º 2 = 105º

Na figura, AB = 8 é diâmetro do círculo e P é o ponto médio de AQ Na figura, AB = 8 é diâmetro do círculo e P é o ponto médio de AQ. O perímetro do triângulo ABQ é a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 A P B Q 60º sen 30º = x 8 4 1 2  8 = x 30º x = 4 4 x O triângulo é eqüilátero 2P = 8  3 = 24 8

As bases de um trapézio isósceles circunscrito a um círculo medem 5 e 9. Calcule a medida de cada um dos lados não-paralelos. 5 x x 2x = 5  x = 2,5 x x 2y = 9  y = 4,5 x + y = 2,5 + 4,5 = 7 y y y y 9

A52. Dois lados consecutivos de um quadrilátero circunscrito a um círculo medem 6cm e 8cm. Calcule as medidas dos outros dois lados do quadrilátero, sabendo que seu perímetro é 30cm. 8 6 – a 2 + a a + b + 2 + a + b + 8 + 6 = 30 2a + 2b = 14 a + b = 7 6 2 + a 6 – a l1 = a + b = 7 l2 = a + 2 + b = 7 + 2 = 9 b a b a

A53. Um quadrilátero convexo está inscrito a um círculo A53. Um quadrilátero convexo está inscrito a um círculo. Dois de seus ângulos internos medem 85º e 113º. A diferença das medidas dos outros dois ângulos internos é a) 23º b) 25º c) 28º d) 32º 85º Dois ângulos opostos de um quadrilátero inscrito são sempre suplementares 85º + x = 180º x = 95º 113º 67º 113º + y = 180º y = 67º 95º 95º – 67º = 28º

Um trapézio está inscrito em um círculo. Então, podemos afirmar que a) ele pode ser um trapézio retângulo. b) a soma das medidas de suas bases é igual à soma das medidas dos lados não-paralelos. c) pelo menos uma de suas diagonais pode passar pelo centro do círculo. d) conhecendo-se a medida de um dos seus ângulos internos, é possível determinar as medidas dos outros três ângulos internos. a a e b são suplementares b

As afirmativas abaixo se referem à possibilidade de polígonos serem inscritos ou circunscritos em um círculo. Assinale a alternativa FALSA. a) Todo triângulo é inscritível e circunscritível. b) Todo retângulo é inscritível mas pode não ser circunscritível. c) Todo losango é inscritível e circunscritível. d) Todo quadrado é inscritível e circunscritível. Um quadrilátero só é inscritível se os ângulos opostos forem suplementares, o que não ocorre em alguns losangos. Não é inscritível

Num quadrilátero ABCD, inscrito em um círculo, os pontos A e C são diametralmente opostos e Ĉ = 2Â. Calcule, em radianos, as medidas dos ângulos internos desse quadrilátero. A B C D  2 a + 2a =  a =  3 a 2a 2a = 2 3 2 3  ; 2  2