Baricentro

Baricentro Razão de Semelhança 2 a a a b 2 b Do baricentro até o lado é 1/3 da mediana completa. Do baricentro até o vértice é 2/3 da mediana toda.

A8. A figura mostra um paralelogramo ABCD A8. A figura mostra um paralelogramo ABCD. Se M é ponto médio de CD e BD = 15, a medida de PB é: a) 8,5 b) 9 c) 10 d) 10,5 A B C D P M 3a 2a a 3a + a + 2a = 15 a = 2,5 PB = 7,5 + 2,5 PB = 10

Bissetriz

Teorema da Bissetriz Interna C A AB BC = AD DC

Teorema da Bissetriz Externa C AB BD = AC CD

O triângulo ABC é isósceles, de base AC O triângulo ABC é isósceles, de base AC. Se AM é bissetriz interna, o valor de x é: a) 13 b) 12 c) 10 d) 9 A B M C x 4 6 x – 4 x x – 4 = 6 4 4x = 6x – 24 2x = 24 x = 12

Os lados de um triângulo medem 20cm, 24cm e 28cm Os lados de um triângulo medem 20cm, 24cm e 28cm. Em quanto se deve prolongar o lado menor para que ele encontre a bissetriz do ângulo externo a ele oposto? a) 120cm b) 112cm c) 108cm d) 100cm 28 20 24 x 28 20 + x = 24 x 28x = 480 + 24x 4x = 480 x = 120

Círculo e Disco

Círculo corda D C O d A B r P

Arco Menor e Arco Maior A B O arco maior arco menor

Toda Perpendicular a uma Corda de um Círculo Traçada de seu Centro, Divide esta Corda ao Meio B r O r

Disco O r P

Uma Reta é Tangente a um Círculo se, e somente se, ela é Perpendicular ao Raio cujo Extremo é o Ponto de Tangência A B r O r

Por um Ponto Exterior a um círculo podem-se Traçar duas, e somente duas, Tangentes ao Círculo B

Ângulos no Círculo

Ângulo Central A O  B

O ângulo inscrito é metade do ângulo central b 2b b B O ângulo inscrito é metade do ângulo central

Ângulo de Vértice Interior b x a 2 b 2 a x = a + b 2

Ângulo de Vértice Exterior b 2 B x P b a a 2 A C a 2 = b + x x = a – b 2

Relações Métricas no Círculo

Segmentos Secantes Internos b 2 C b 2 a 2 P D a 2 b B PA PD = PC PB  PA . PB = PC . PD

Segmentos Secantes Externos P x A a C a 2 B a 2 b D PA PC = PD PB  PA . PB = PC . PD

Segmentos Tangente e Secante P x C a a 2 A a 2 B PA PC = PB  (PC)2 = PA . PB

A21. (PUC – MG) Num círculo de 6m de raio, por um ponto situado a 10m do centro, traça-se uma tangente. O comprimento do segmento da tangente do ponto ao círculo, em metros, mede: a) 6 b) 7 c) 8 d) 16 x 6 4 x2 = 16 · 4 x = 8

A22. Na figura, 0 é o centro do círculo. Seu raio mede: b) 2 3 c) 4,5 d) 5 3 6 x 3 + x x = –6  36 + 72 2 6 · 3 = (6 + x) · x x = –6 + 6 3 2 18 = 6x + x2 x2 + 6x – 18 x = –3 + 3 3 r = 3 – 3 + 3 3 = 3 3

A23. Uma corda de um círculo é perpendicular a um de seus diâmetros e o divide em dois segmentos proporcionais a 1 e 4. A razão entre o comprimento da corda e o diâmetro do círculo é: a) 0,6 b) 0,7 c) 0,8 d) 0,9 4a a x 4a · a = x2 4a 5a = 0,8 2a = x

Polígonos

Diagonais de um Polígono Convexo Diagonal de um polígono é um segmento de reta que tem por extremidades dois vértices não-consecutivos do polígono. A B

Número de Diagonais de um Polígono Convexo Seja n o número de vértices; Cada vértice faz ligação com todos os outros n vértices, menos com seus adjacentes e ele próprio, ou seja, com (n – 3) vértices; Como há n vértices, então podemos fazer n.(n – 3) ligações; A C

Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Em um polígono de n lados traçando-se de um dos vértices todas as diagonais possíveis, o polígono fica dividido em (n – 2) triângulos. Si = (n – 2) . 180º Ângulo Interno de um Polígono Regular Todos os ângulos e todos os lados são iguais. ai = Si n

Soma dos Ângulos Externos de um Polígono ae ai ai + ae = 180º Si + Se = 180º . n Se = 180ºn – (n – 2) . 180º Se = 180ºn – 180ºn + 360º Se = 360º Ângulo Externo de um Polígono Regular ae = 360º n

Áreas

Quadrado Retângulo l h b SQuadrado = l2 SRetângulo = b × h 3 cm 3 cm 5 cm S = 3 × 3 = 9 cm2 S = 5 × 3 = 15 cm2

Paralelogramo Trapézio h b B h b SParalelogramo = b × h STrapézio = (B + b) · h 2 b h

Losango SLosango = D × d 2

SSegmento = SSetor – STriângulo Disco Setor Circular Coroa Circular  r R r r SSetor =  · r2 360º ·  2pCírculo = 2r SCoroa = (R2 – r2) SDisco =  · r · r SDisco = r2 Segmento Circular SSegmento = SSetor – STriângulo

STriângulo Retângulo = b · c a b c h STriângulo = a · h 2 STriângulo Retângulo = b · c 2 l STriângulo = p(p – a)(p – b)(p – c) STriângulo Eqüilátero = l2 3 4

Triângulo Circunscrito a b c r STriângulo Circunscrito = c · r 2 + b · r a · r STriângulo Circunscrito = r · a + b + c 2 STriângulo Circunscrito = P · r

Triângulo Inscrito h a b c STriângulo Inscrito = c · h 2 a 2R = h b  h = a · b 2R STriângulo Inscrito = a · b · c 4R

Triângulo Dado apenas um Ângulo e os Lados Correspondentes H b a  STriângulo = a · H 2 sen  = H b  b · sen  = H STriângulo = a · b · sen  2

Polígonos Regulares Inscritos

Triângulo Quadrado Hexágono 60º a R l/2 30º a R l/2 45º a R l/2

Teoremas

Teorema do Seno H b a C B c sen C = H b sen B = H C sen C · b = H sen B · c = H sen C · b = sen B · c b sen B = c sen C

Teorema do Cosseno H c b  a m b – m c2 = H2 + m2  c2 – m2 = H2 a2 = (b – m)2 + H2 a2 = (b – m)2 + c2 – m2  a2 = b2 – 2bm + m2 + c2 – m2 cos  = m c  cos  · c = m a2 = b2 + c2 – 2bc · cos 

Na figura, AC é um diâmetro do círculo e as retas r e s são tangentes ao círculo em A e B. Podemos afirmar que: a)  = 2 b)  +  = 90º c)  = 3 d)  + 2 = 90º   C s B A P r 90 –  90 –  –2 + 180º +  = 180º  = 2

Os segmentos PA, PB e QR são tangentes ao círculo da figura em A, B e C, respectivamente. Se PA = 8, calcule o perímetro do triângulo PQR. B A P C Q R x 8 – x x 8 – y y y 2P = 8 – y + y + 8 – x + x = 16

Um triângulo ABC está circunscrito a um círculo Um triângulo ABC está circunscrito a um círculo. Os lados AB = 5cm, AC = 8cm e BC = 9cm tangenciam um círculo em M, N e P, respectivamente. Calcule AM. A B C x + y = 5 x + z = 8 y + z = 9 x x M N P x + y = 5 x + z = 8 –y – z = –9 y z y z 2x = 4 x = 2

(UFES) Na figura, a medida de , em graus, é b) 54 c) 56 d) 58  32º 58º 2 2 = 58º  2  = 58º

(Mack-SP) Na figura, sabe-se que m(CÂD) = 20º e m(CÊD) = 70º (Mack-SP) Na figura, sabe-se que m(CÂD) = 20º e m(CÊD) = 70º. Então, a medida de AMB é igual a a) 50º b) 45º c) 60º d) 30º O B A E D C M 100º 20º x = 100º – 40º 2 110º x = 30º 50º 70º 40º x

(VUNESP) Sejam A, B e C pontos distintos no interior de um círculo, sendo C o centro do mesmo. Se construirmos um triângulo, inscrito no círculo, com um lado passando por A, outro por B e outro por C, podemos afirmar que este triângulo a) é acutângulo b) é retângulo c) é obtusângulo d) pode ser eqüilátero 90º A B C diâmetro 180º

Na figura, ABC é um triângulo inscrito no círculo, sendo BC diâmetro Na figura, ABC é um triângulo inscrito no círculo, sendo BC diâmetro. A reta t é tangente ao círculo em A;  e  são os ângulos que t forma com AB e AC, respectivamente, e  –  = 38º. O ângulo Ĉ do triângulo ABC mede a) 58º b) 60º c) 62º d) 64º A t B C   128º 90º  –  = 38º  +  = 90º 64º 2 = 128º  = 64º

As retas r e s da figura tangenciam o círculo em A e B As retas r e s da figura tangenciam o círculo em A e B. Então a medida x do ângulo assinalado é: a) 60º b) 65º c) 70º d) 75º P A B s r x 50º 65º 2x 2x = 130º x = 65º

O triângulo é eqüilátero Na figura, AB = 8 é diâmetro do círculo e P é o ponto médio de AQ. O perímetro do triângulo ABQ é a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 A P B Q 60º sen 30º = x 8 4 1 2  8 = x 30º x = 4 4 x O triângulo é eqüilátero 2P = 8  3 = 24 8

As bases de um trapézio isósceles circunscrito a um círculo medem 5 e 9. Calcule a medida de cada um dos lados não-paralelos. 5 x x 2x = 5  x = 2,5 x x 2y = 9  y = 4,5 x + y = 2,5 + 4,5 = 7 y y y y 9

A52. Dois lados consecutivos de um quadrilátero circunscrito a um círculo medem 6cm e 8cm. Calcule as medidas dos outros dois lados do quadrilátero, sabendo que seu perímetro é 30cm. 8 6 – a 2 + a a + b + 2 + a + b + 8 + 6 = 30 2a + 2b = 14 a + b = 7 6 2 + a 6 – a l1 = a + b = 7 l2 = a + 2 + b = 7 + 2 = 9 b a b a

A53. Um quadrilátero convexo está inscrito a um círculo A53. Um quadrilátero convexo está inscrito a um círculo. Dois de seus ângulos internos medem 85º e 113º. A diferença das medidas dos outros dois ângulos internos é a) 23º b) 25º c) 28º d) 32º 85º Dois ângulos opostos de um quadrilátero inscrito são sempre suplementares 85º + x = 180º x = 95º 113º 67º 113º + y = 180º y = 67º 95º 95º – 67º = 28º

Num quadrilátero ABCD, inscrito em um círculo, os pontos A e C são diametralmente opostos e Ĉ = 2Â. Calcule, em radianos, as medidas dos ângulos internos desse quadrilátero. A B C D  2 a + 2a =  a =  3 a 2a 2a = 2 3 2 3  ; 2  2