7. Técnicas de Projeto de Filtros TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Introdução: Filtro seletor de frequências: Importante classe de sistemas LTI Sistema realizável: Estável e Causal (não necessariamente) Requer complexidade computacional limitada - Realização de filtros contínuos por meio de sistemas digitais:

Classificação dos filtros digitais: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Classificação dos filtros digitais: Quanto à resposta em frequência: PB PA PF RF Quanto a duração da Resposta ao Impulso: IIR FIR Quanto à forma de realização: Recursiva Não-Recursiva DFT

Especificações de um filtro seletor: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Especificações de um filtro seletor:

7.1. Projeto de filtros discretos a partir de filtros contínuos TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 7.1. Projeto de filtros discretos a partir de filtros contínuos Projetos de filtros contínuos estão bem consolidados Possuem formulação matemática fechada (não-iterativo) As técnicas usadas em projetos de filtros contínuos não podem ser diretamente aplicadas p/ filtros discretos. Gabarito: A[dB] Amax Amin p s [rad/s]

7.1.1. Invariância ao Impulso TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 7.1.1. Invariância ao Impulso A resposta ao impulso caracteriza completamente um sistema LTI. Objetivo: Obter um sistema amostrado cuja reposta ao impulso seja uma amostragem da resposta ao impulso de um sistema contínuo que satisfaz as especificações. Procedimento: Gabarito  H(s)  h(t)  C/D  h[n]  H(z) -Butterworth -Chebyshev Inverso -Chebyshev -Cauer (eliptico) -Bessel - Gauss -Legendre - ...

Ex.: Amostragem: Observe que: C/D  TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Ex.: Amostragem: Observe que: C/D 

Comparando com a transformada Z TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Comparando com a transformada Z Concluímos que esta aproximação corresponde à relação:

Análise do mapeamento: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Análise do mapeamento: 1) Suponha: Número real 2) Suponha: Número imaginário puro Circunferência unitária, porém: Há réplica do mapeamento! Mapeamento não unívoco P/

Logo: Ocorre efeito Aliasing! TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Logo: Ocorre efeito Aliasing!

Mapeamento bom p/ filtros com zeros no infinito (PB,PF) TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Conclusão: Mapeamento bom p/ filtros com zeros no infinito (PB,PF) Onde o efeito aliasing é reduzido.

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Invariância ao Degrau Filosofia a mesma da resposta ao impulso TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Invariância ao Degrau Filosofia a mesma da resposta ao impulso Dado H(s) projetado: H(s) C/D  Se G(z) é a resposta ao degrau do sistema discreto: Logo:

Vantagem: Como a função é amostrada TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Vantagem: Como a função é amostrada O efeito do recobrimento é reduzido! PB. Generalização: Invariância à rampa Invariância à parábola Invariância de ordem n

Transformação Z - Casada TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Transformação Z - Casada Consiste no mapeamento direto dos pólos e zeros do plano ‘s’ para pólos e zeros no plano ‘z’ usando a relação: Ex.: Pólos:

7.1.2. Mapeamentos s  z Características desejáveis: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 7.1.2. Mapeamentos s  z Características desejáveis: H(s) racional  H(z) racional S=j mapeado em z=ejt SPLE  dentro do círculo unitário H(s) estável  H(z) estável

Métodos baseados na aproximação da integração numérica: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Métodos baseados na aproximação da integração numérica: ou

TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Forward Euler

Obs.: Melhor a aproximação da integral quanto TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Como : Temos: Obs.: Melhor a aproximação da integral quanto menor for T, isto é, maior for fs

1) H(s) racional gera H(z) racional : OK TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Teste das condições: 1) H(s) racional gera H(z) racional : OK 2) Válido apenas p/ T<<1 3) H(s) estável gera H(z) estável: Falso!

TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Backward Euler

Obs.: Melhor a aproximação da integral quanto TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Como : Temos: Obs.: Melhor a aproximação da integral quanto menor for T, isto é, maior for fs

1) H(s) racional gera H(z) racional : OK TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Teste das condições: 1) H(s) racional gera H(z) racional : OK 2) Válido apenas p/ T<<1 3) H(s) estável gera H(z) estável: OK! Circunferência de raio 1/2

Transformação Bilinear TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Transformação Bilinear Método dos trapézios

TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Como : Temos:

1) H(s) racional gera H(z) racional : OK TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Teste das condições: 1) H(s) racional gera H(z) racional : OK 2) 3) H(s) estável gera H(z) estável: OK!

Porém: p/ s=j z varia sobre a circunferência TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Porém: p/ s=j z varia sobre a circunferência Lembrando Euler: Temos: Logo: Distorção das frequências!

Ex.: Desejo realizar o filtro: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Ex.: Desejo realizar o filtro: Com: Através da transformação Bilinear Sei que há distorção (warping), logo devo projetar o filtro analógico previamente distorcido (pre-warping) de modo a compensar a distorção da Bilinear e o resultado ser o desejado.

TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR No exemplo: ao invés de projetar o filtro analógico p/ 10k e 30k devo projetá-lo p/: Pre-warping

Aproximações usadas p/ projeto de Filtros Analógicos: Butterworth TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Aproximações usadas p/ projeto de Filtros Analógicos: Butterworth Chebyshev Chebyshev Inverso Cauer Bessel Gauss Legendre Multiplicidade n ....

7.2. Projetos de Filtros FIR TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 7.2. Projetos de Filtros FIR São sempre estáveis: Pólos em z=0 posições dos zeros que definem suas características Podem ter resposta de fase perfeitamente linear Pode-se sintetizar filtros com especificações de amplitude arbitrários (não apenas filtros seletores) P/ mesma especificação (gabarito), a ordem do FIR é, em geral, mais elevada do que um IIR (5 a 10 vezes) - aumento da complexidade computacional - Filtros FIR não tem equivalente analógico (contínuo)

Janelamento: “Amostragem no tempo” TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Métodos de Síntese Janelamento: “Amostragem no tempo” Cálculo dos M coeficientes da sua resposta ao Impulso b) “Amostragem em Frequência” Amostra N pontos da sua resposta em frequência e faz-se a IDFT p/ encontrar sua resposta ao impulso c) Métodos de otimização numérica

Síntese por Janelamento TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Síntese por Janelamento Objetivo: Gerar H(z) Sabemos que p/ sistemas FIR: Logo: necessito conhecer h[n] Lembrando: Filtro Ideal -duração infinita -não-causal

O método tem como princípio tornar h[n] finita de TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR O método tem como princípio tornar h[n] finita de Comprimento M e causal, de modo que Truncamento através da utilização de uma janela No domínio frequência: Convolução Periódica No limite: Logo: Quanto > o M melhor será a aproximação

Metodologia: Resposta em Freq. Ideal TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Metodologia: Resposta em Freq. Ideal

TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Escolha da Janela:

Características de W() que influem em TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Características de W() que influem em Largura do Lóbulo Principal: Influencia no tamanho da banda de transição Quanto <a largura do Lóbulo Principal < a banda de transição Controla-se através da escolha de M, tamanho da janela. >M , < Lóbulo principal, < Banda de transição, > complexidade

É a relação entre a amplitude do lóbulo principal e o TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR b) Razão de Ripple: É a relação entre a amplitude do lóbulo principal e o 1 lóbulo secundário. Determina a mínima atenuação da banda de rejeição e o ripple da banda de passagem Controla-se através da escolha da janela. M não influencia nesta característica

Principais tipos de janelas: TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Principais tipos de janelas: Hamming: Retangular: Hanning: Bartlett: Blackman:

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-Escolher o tipo de janela que satisfaça a atenuação TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Procedimento: -Dado um gabarito -Escolher o tipo de janela que satisfaça a atenuação Na banda de rejeição Escolher o M p/ satisfazer a banda de transição Método de tentativa e erro.

Janela de Kaiser Kaiser em 1966 desenvolveu um procedimento próximo TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Janela de Kaiser Kaiser em 1966 desenvolveu um procedimento próximo Do ótimo p/ projeto de filtros FIR baseado em janelamento - Vantagem: Técnica procedural Onde: Io(x) é a função de Bessel modificada de primeira espécie e ordem zero. Série de convergência rápida

Determinados: M,  e , calcula-se w[n] e H(z)=Z{h[n].w[n]} TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Dado o gabarito: Amax Amin p s  Temos: Determinados: M,  e , calcula-se w[n] e H(z)=Z{h[n].w[n]}

Outros tipos de de projetos otimizados: Parks-McClellan TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Outros tipos de de projetos otimizados: Parks-McClellan Compensação da Distorção sen(x)/x do conversor D/A

FIR ou IIR ? 1) 2) 3) 4) Estabilidade 5) Projeto 6) Complexidade TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR FIR ou IIR ? 1) 2) 3) 4) Estabilidade 5) Projeto 6) Complexidade 7) Estruturas 8) Erros de Quantização 9) Filtros Adaptativos