Métodos Numéricos e Estatísticos Prof. Marcone Jamilson Freitas Souza Aula 7: Métodos numéricos para equações diferenciais 1a ordem Passos múltiplos 2a ordem REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

Equações diferenciais de 1a ordem Métodos numéricos são usados quando não é possível obter uma solução geral, ou a forma dela é tão complicada que seu uso não é prático. Uma equação diferencial de 1a ordem tem a forma , e em geral podemos escrevê-la como: Problema do valor inicial - uma equação diferencial - uma condição que deve ser satisfeita pela solução REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos Os métodos que estudaremos partem da idéia de que o espaço da variável independente (x) pode ser discretizado, formando uma rede x0 x1= x0+h x2= x1+h....... h é o passo . O valor da função em cada ponto da rede é calculado a partir de expansões em série de Taylor. REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos Método de Euler ou Euler-Cauchy O valor de y para um passo h é dado pela expansão: Como em geral h é pequeno, suprimimos os termos de ordem O(h2): h2, h3, ..... Resultando na aproximação REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos O que resulta no processo iterativo A omissão dos termos de ordem superior a 2 causa erros de truncagem (que podem ocorrer junto a erros de arredondamento). REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos Exemplo: passo h=0,2 O erro não é (em geral) conhecido. Podemos estimá-lo utilizando um passo h´=2h REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

Método de Euler melhorado (2a ordem) Método chamado de preditor-corretor. REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos Exemplo: o mesmo visto anteriormente REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

Método de Runge-Kutta (4a ordem) Se f(x,y) não depender de y, o método reduz-se à regra de integração de Simpson REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos Comparação entre os métodos REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos Qual o valor mais adequado para o passo h? Se a função f varia muito com y, então h deve ser pequeno, para evitar erros de truncagem. Em geral, adota-se a “proposta” de que h  h/2 se K  0,05 h  2h se 0,01  K h não muda se 0,05  K  0,01 Estimativa de erro: REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

Métodos para eq. dif. de segunda ordem P.V.I. Novamente o problema é obter os valores de yn e yn´ para a seqüência x1 = x0 + h; x2 = x0 + 2h; ... Começamos mais uma vez pelas expansões em série de Taylor da função e de sua derivada: REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos O método mais simples consiste em desprezar os termos em derivadas de ordem y´´´ ou superiores 1o passo: 2o passo: REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos Runge-Kutta-Nyström Valores iniciais: x0, y0, y0´ passo h Saída REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

Equações diferenciais parciais Uma equação é dita quasilinear se for linear nas derivadas mais altas: REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

Equações de diferenças para Eq. de Laplace e Poisson Vamos ver o caso mais simples em duas dimensões (x e y): Laplace Poisson (x-h,y) (x,y) (x+h,y) h h k (x,y-k) (x,y+k) REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos (x,y+k) k h h (x-h,y) (x,y) (x+h,y) (x,y-k) REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos Para as derivadas segundas, desprezando os termos O(h4), temos Juntando as aproximações das derivadas primeiras e segundas, fazendo h=k, obtemos a equação de diferenças correspondente à equação de Poisson: REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos Para f(x,y) = 0 temos a equação de Laplace. h é chamado de o comprimento da malha (mesh size). Equações elípticas - em geral - devem levar em conta problemas de contorno (condições previamente definidas numa dada fronteira - espacial, por exemplo). Casos mais comuns: Dirichlet: se u é definido na fronteira C Neumann: se un=u/n (derivada na direção normal) é definida na fronteira. Para resolver o problema, é necessário criar uma malha.: nós da rede ou da malha (Pij) Fronteira C REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos Exemplo Uma placa de 12 cm de lado tem suas bordas mantidas às temperaturas mostradas na figura. Quais os valores das temperaturas no interior da placa? Será escolhido um comprimento h = 4 cm. u=0 u=0 y 12 P02 P12 u=100 u=100 u=100 R P01 P11 P21 P10 P20 x 12 u=100 u=100 REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos ui,j+1 A equação de transferência de calor é ut = c2(uxx+uyy) Para o regime estacionário ut = 0, a equação se reduz à de Laplace uxx+uyy = 0 Para cada ponto da malha, temos a seguinte equação: ui+1,j + ui-1,j + ui,j+1 + ui,j-1 -4 ui,j = 0 P11: - 4u11 + u21 + u01 + u12 + u10 = 0 - 4u11 + u21 + 100 + u12 + 100 = 0 - 4u11 + u21 + u12 = - 200 ui-1,j ui,j ui+1,j ui,j-1 REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos

REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos - 4u11 + u21 + u12 = -200 u11 - 4u21 + u22 = -200 u11 - 4u12 + u22 = -100 u21 +u12 - 4u22 = -100 Dando como resultados u11 = u21 = 87,5 (88,1) u12 = u22 = 62,5 (61,9) REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos