Capítulo 5 A Distribuição Normal de Probabilidade ESTATÍSTICA APLICADA Capítulo 5 A Distribuição Normal de Probabilidade

Variáveis Aleatórias Contínuas 9

Variáveis Aleatórias Contínuas 1. Variável aleatória Um resultado numérico de um experimento Peso de uma peça (ex.: 115 kg; 156,8 kg etc.) 2. Variável aleatória contínua Número inteiro ou fracionário Obtido por medida Número infinito de valores num intervalo Muito numerosos para listar como variável discreta

Exemplos de Variáveis Aleatórias Contínuas Experimento Variável Valores Aleatória Possíveis Pesar 100 peças Peso 45,1; 78; ... Medir vida da peça Horas 900; 875,9; ... Medir gasto com manut. Gasto 54,12; 42; ... Medir tempo entre Tempo entre 0; 1,3; 2,78; ... chegadas chegadas

Função Densidade de Probabilidade Contínua 1. Fórmula matemática 2. Mostra todos valores, x e freqüências, f(x) f(x) não é probabilidade 3. Propriedades Freqüência (Valor, Freqüência) f(x) f ( x ) dx = 1 x a b todo X (área sob curva) Valor f ( x ) ³ 0, a £ x £ b

Cálculo de Probabilidade em Variáveis Aleatórias Contínuas ( c £ x £ d ) = f ( x ) dx Probabilidade é área sob curva! c f(x) X c d © 1984-1994 T/Maker Co.

Distribuição Uniforme 9

Distribuição Uniforme 1. Resultados igualmente prováveis 2. Densidade de probabilidade 3. Média e desvio padrão f(x) x c d Média Mediana

Exemplo de Distribuição Uniforme Você é o gerente de produção de uma fábrica de refrigerante. Você acredita que quando uma máquina está regulada para 12 oz., na realidade coloca de 11.5 a 12.5 oz. inclusive. Suponha que a quantidade colocada tem uma distribuição uniforme. Qual é a probabilidade que menos que 11,8 oz. seja colocada? SODA

Solução da Distribuição Uniforme f(x) 1.0 x 11,5 11,8 12,5 P(11,5 £ X £ 11,8) = (Base)(Altura) = (11,8 - 11,5)(1) = 0,30

Distribuição Normal 9

Importância da Distribuição Normal 1. Descreve muitos processos aleatórios ou fenômenos contínuos 2. Pode ser usada para aproximar distribuições de probabilidade discretas Exemplo: binomial 3. Base para Inferência Estatística

Distribuição Normal 1. ‘Forma de sino’ e simétrica 2. Média, mediana, moda são iguais 3. Variável aleatória tem intervalo infinito Média Mediana Moda

Função Densidade de Probabilidade f(x) = Freqüência da variável aleatória x s = Desvio padrão populacional p = 3,14159; e = 2,71828 x = Valor da variável aleatória (-¥ < x < ¥) m = Média populacional

Efeito de Variar Parâmetros (m e s)

Cálculo de Probabilidade na Distribuição Normal Probabilidade é área sob curva!

Tabelas da Distribuição Normal Cada distribuição necessitaria sua própria tabela. Distribuições Normais diferem entre si pela média e desvio padrão. Isto é um número infinito!

Padronizar a Distribuição Normal Distribuição Normal Padrão Uma tabela!

Exemplo de Padronização Distribuição Normal Distribuição Normal Padrão

Obtendo a Probabilidade Tabela da Distribuição Normal Padrão (Parte) .02 0,0478 0.1 .0478 Área hachurada exagerada Probabilidades

Exemplo: P(3,8 £ X £ 5) 0,0478 Distribuição Normal Distribuição Normal Padrão 0,0478 Área hachurada exagerada

Exemplo: P(2,9 £ X £ 7,1) 0,1664 Distribuição Normal Distribuição Normal Padrão 0,1664 .0832 .0832 Área hachurada exagerada

Exemplo: P(X ³ 8) 0,3821 Distribuição Normal Distribuição Normal Padrão .5000 0,3821 .1179 Área hachurada exagerada

Exemplo: P(7,1 £ X £ 8) 0,0347 Distribuição Normal Distribuição Normal Padrão .1179 0,0347 .0832 Área hachurada exagerada

Questão Você trabalha no Controle de Qualidade. A vida de uma lâmpada tem uma distribuição normal com m = 2000 horas e s = 200 horas. Qual é a probabilidade que uma lâmpada durará: A. entre 2000 e 2400 horas? B. menos que 1470 horas? Allow students about 10-15 minutes to solve this.

Solução: P(2000 £ X £ 2400) 0,4772 Distribuição Normal Distribuição Normal Padrão 0,4772

Solução: P(X £ 1470) 0,0040 Distribuição Normal Distribuição Normal Padrão .5000 0,0040 .4960

Achando o Valor de Z para Probabilidades Dadas Qual é Z dado P(Z) = 0,1217? 0,1217 Área hachurada exagerada

Achando o Valor de Z para Probabilidades Dadas Qual é Z dado P(Z) = 0,1217? Tabela da Distribuição Normal Padrão (Parte) .01 0,1217 0.3 .1217 Área hachurada exagerada

Achando o Valor de Z para Probabilidades Dadas Qual é Z dado P(Z) = 0,1217? Tabela da Distribuição Normal Padrão (Parte) .01 0,1217 0.3 .1217 Área hachurada exagerada

Achando o Valor de X Para Probabilidades Dadas Distribuição Normal 0,1217 Área hachurada exagerada

Achando o Valor de X Para Probabilidades Dadas Distribuição Normal Distribuição Normal Padrão 0,1217 0,1217 Área hachurada exagerada

Achando o Valor de X Para Probabilidades Dadas Distribuição Normal Distribuição Normal Padrão 0,1217 0,1217 Área hachurada exagerada

Distribuições Amostrais 9

Distribuição Amostral 1. Distribuição de probabilidade teórica 2. Variável aleatória é estatística amostral Média amostral, proporção amostral etc. 3. Resulta de se retirar todas as amostras possíveis de um tamanho fixo 4. Lista de todos possíveis pares [`x, P(`x) ]

Amostragem de Populações Normais 9

Amostragem de Populações Normais Tendência Central Dispersão Distribuição Populacional Distribuição Amostral n = 4 s`X = 5 n =16 s`X = 2,5

Padronizando a Distribuição Amostral da Média Distribuição Normal Padrão

Questão A duração das ligações telefônicas que você recebe tem distribuição normal com m = 8 min e s = 2 min. Se você selecionar uma amostra de 25 chamadas, qual é a probabilidade da média amostral estar entre 7,8 e 8,2 minutos? © 1984-1994 T/Maker Co.

Solução da Distribuição Amostral Distribuição Normal Padrão 0,3830 .1915 .1915

Amostragem de Populações Não-Normais 9

Amostragem de Populações Não-Normais Tendência Central Dispersão Distribuição Populacional Distribuição Amostral n = 4 s`X = 5 n = 30 s`X = 1,8

Teorema do Limite Central 9

Teorema do Limite Central Quando a amostra é grande (n ³ 30) ... a distribuição amostral aproxima-se da normal.