Capítulo 7 Teste de Hipóteses ESTATÍSTICA APLICADA Capítulo 7 Teste de Hipóteses Prof. Paulo Renato de Morais

Conceitos de Teste de Hipóteses

Teste de Hipóteses        População Eu acredito que a idade média da população é 50 (hipótese). População       

Rejeito a hipótese! Ficou longe. Testes de Hipóteses Eu acredito que a idade média da população é 50 (hipótese). Rejeito a hipótese! Ficou longe. População       Amostra aleatória  Média X = 20  

O que é uma Hipótese? 1. Uma afirmação sobre um parâmetro populacional Parâmetro é média, proporção, variância populacional Deve ser feita antes da análise Eu acredito que a idade média desta classe é 25 anos! © 1984-1994 T/Maker Co.

Hipótese Nula 1. O que se quer testar 2. Tem uma séria conseqüência se a decisão errada é tomada 3. Sempre tem um sinal de igualdade: ,  ou 4. Designada por H0 5. Especificada como H0:   Algum valor numérico Escrita com sinal = mesmo se  ou  Exemplo, H0:   50

Hipótese Alternativa 1. Contrário da hipótese nula 2. Sempre tem sinal de desigualdade: , ou  3. Designada por H1 4. Especificada como H1:  < Algum valor numérico Exemplo, H1:  < 50

Passos para se Estabelecer Hipóteses 1. Formule a questão estatisticamente Exemplo: A média populacional é diferente de 50? 1.   50

Passos para se Estabelecer Hipóteses 1. Formule a questão estatisticamente 2. Formule o contrário estatisticamente Devem ser mutuamente exclusivas e exaustivas Exemplo: A média populacional é diferente de 50? 1.   50 2.  = 50

Passos para se Estabelecer Hipóteses 1. Formule a questão estatisticamente 2. Formule o contrário estatisticamente Devem ser mutuamente exclusivas e exaustivas 3. Selecione a hipótese alternativa Tem o sinal , < ou > Exemplo: A média populacional é diferente de 50? 1.   50 2.  = 50 3. H1:   50

Passos para se Estabelecer Hipóteses 1. Formule a questão estatisticamente 2. Formule o contrário estatisticamente Devem ser mutuamente exclusivas e exaustivas 3. Selecione a hipótese alternativa Tem o sinal , < ou > 4. Selecione a hipótese nula Exemplo: A média populacional é diferente de 50? 1.   50 2.  = 50 3. H1:   50 4. H0:  = 50

Distribuição Amostral Idéia Básica Distribuição Amostral H0

Distribuição Amostral Idéia Básica Distribuição Amostral É improvável obter uma média amostral com este valor ... ... se de fato esta é a média populacional 20 H0

Distribuição Amostral Idéia Básica Distribuição Amostral É improvável obter uma média amostral com este valor ... ... portanto, rejeita-se a hipótese que  = 50. ... se de fato esta é a média populacional 20 H0

Nível de Significância 1. Define valores pouco prováveis da estatística amostral se a hipótese nula for verdadeira Chamada região de rejeição da distribuição amostral 2. É uma probabilidade 3. Denotada (alfa) 4. Selecionada no início Valores típicos são: 0,01; 0,05; 0,10

Região de Rejeição (Teste Unilateral) Distribuição Amostral Valor de Ho Estatística Amostral

Região de Rejeição (Teste Unilateral) Distribuição Amostral Região de Rejeição Região de Não-rejeição Valor de Ho Valor Crítico Estatística Amostral

Região de Rejeição (Teste Unilateral) Distribuição Amostral Nível de Confiança 1 - 

Região de Rejeição (Teste Unilateral) Distribuição Amostral Nível de Confiança 1 -  Valor observado da estatística amostral

Região de Rejeição (Teste Unilateral) Distribuição Amostral Nível de Confiança 1 - 

Regiões de Rejeição (Teste Bilateral) Distribuição Amostral Valor de Ho Estatística Amostral

Regiões de Rejeição (Teste Bilateral) Distribuição Amostral Região de Região de Rejeição Rejeição Região de Não-rejeição Valor de Ho Estatística Amostral Valor Valor Crítico Crítico

Regiões de Rejeição (Teste Bilateral) Distribuição Amostral Nível de Confiança 1 - 

Regiões de Rejeição (Teste Bilateral) Distribuição Amostral Nível de Confiança 1 - 

Regiões de Rejeição (Teste Bilateral) Distribuição Amostral Nível de Confiança 1 - 

Regiões de Rejeição (Teste Bilateral) Distribuição Amostral Nível de Confiança 1 - 

Riscos na Tomada de Decisões

Erros na Tomada de Decisões 1. Erro Tipo I Rejeitar uma hipótese nula verdadeira Tem sérias conseqüências Probabilidade de erro Tipo I é (alfa) Chamado nível de significância 2. Erro Tipo II Não rejeitar uma hipótese nula falsa Probabilidade de erro Tipo II é (beta)

Resultados de Decisões H0: Inocente

Resultados de Decisões H0: Inocente

 e  Têm uma Relação Inversa

 e  Têm uma Relação Inversa

 e  Têm uma Relação Inversa Não é possível reduzir ambos os erros!  

Passos do Teste de Hipóteses

Passos para Testar H0 Formule H0 Formule H1 Escolha  Escolha n Escolha teste Estabeleça valores críticos Colete dados Calcule estatística de teste Tome decisão estatística Expresse a decisão

Teste Z Bilateral para a Média (Amostra Grande)

Teste Z Bilateral para a Média (Amostra Grande) 1. Hipóteses: Tamanho da amostra no mínimo 30 (n  30) Se o desvio padrão populacional for desconhecido, use o desvio padrão amostral 2. Hipótese alternativa tem o sinal 

Teste Z Bilateral para a Média (Amostra Grande) 1. Hipóteses: Tamanho da amostra no mínimo (n  30) Se o desvio padrão populacional for desconhecido, use o desvio padrão amostral 2. Hipótese alternativa tem o sinal  3. Estatística de teste Z

Exemplo de Teste Z Bilateral Uma caixa de cereal contém 368 gramas de cereal em média? Numa amostra aleatória de 36 caixas obteve-seX = 372,5. A companhia especificou que  é 15 gramas. Teste ao nível de 0,05. 368 g

Solução do Teste Z Bilateral H0:  = 368 H1:   368   0,05 n  36 Valores Críticos: Estatística de Teste: Decisão: Conclusão: Não rejeitar com  = 0,05 Não há evidência que a média não é 368

Questão Você quer saber se uma empresa está fabricando cabos elétricos de acordo com a especificação do cliente: resistência média à quebra de 70 lb com  = 3,5 lb. Você seleciona uma amostra de 36 cabos e calcula uma média amostral de 69,7 lb. Ao nível de 0,05, há evidência que a máquina não esteja obedecendo a especificação?

Solução do Teste Z Bilateral H0:  = 70 H1:   70  = 0,05 n = 36 Valores Críticos: Estatística de Teste: Decisão: Conclusão: Não rejeitar com  = 0,05 Não há evidência que a média não seja 70

Teste Z Unilateral para a Média (Amostra Grande)

Teste Z Unilateral para a Média (Amostra Grande) 1. Hipóteses: Tamanho da amostra no mínimo 30 (n  30) Se o desvio padrão populacional for desconhecido, use o desvio padrão amostral 2. Hipótese alternativa tem o sinal < ou >

Teste Z Unilateral para a Média (Amostra Grande) 1. Hipóteses: Tamanho da amostra no mínimo (n  30) Se o desvio padrão populacional for desconhecido, use o desvio padrão amostral 2. Hipótese alternativa tem o sinal ou > 3. Estatística de teste Z

Teste Z Unilateral para a Média H0:=0 H1: < 0 H0:=0 H1: > 0 Deve ser significativamente abaixo de  Valores pequenos satisfazem H0 . Não rejeitar!

Teste Z Unilateral: Achando Z Crítico Quanto é Z dado  = 0,025?  = 0,025 

Teste Z Unilateral: Achando Z Crítico Quanto é Z dado  = 0,025?  0,500 - 0,025 0,475  = 0,025 

Teste Z Unilateral: Achando Z Crítico Quanto é Z dado  = 0,025? Tabela da Normal Padrão:   0,500 - 0,025 0,475 .06  = 0,025  1.9 .4750

Teste Z Unilateral: Achando Z Crítico Quanto é Z dado  = 0,025? Tabela da Normal Padrão:   0,500 - 0,025 0,475 .06  = 0,025   1.9 .4750

Exemplo de Teste Z Unilateral Uma caixa de cereal contém mais de 368 gramas de cereal em média? Numa amostra aleatória de 36 caixas obteve-seX = 372,5. A companhia especificou que  é 15 gramas. Teste ao nível de 0,05. 368 g

Solução do Teste Z Unilateral H0:  = 368 H1:  > 368  = 0,05 n = 36 Valor Crítico: Estatística de Teste: Decisão: Conclusão: Rejeitar com  = 0,05 Há evidência que a média é maior que 368

Nível de Significância Observado: Valor p

Valor p 1. Probabilidade de obter uma estatística de teste no mínimo tão extrema (ou do que o valor amostral obtido dado que H0 é verdadeira 2. Chamado nível de significância observado Menor valor de  que faz H0 ser rejeitada 3. Usado para tomar decisões de rejeição Se valor p  , não rejeitar H0 Se valor p < , rejeitar H0

Exemplo do Valor p para o Teste Z Bilateral Uma caixa de cereal contém 368 gramas de cereal em média? Numa amostra aleatória de 36 caixas obteve-seX = 372,5. A companhia especificou que  é 25 gramas. Ache o valor p. 368 g

Solução do Valor p para o Teste Z Bilateral  Valor Z da estatística amostral (observado)

Solução do Valor p para o Teste Z Bilateral Valor p = P(Z  -1,80 ou Z  1,80)  Valor Z da estatística amostral (observado)

Solução do Valor p para o Teste Z Bilateral Valor p = P(Z  -1,80 ou Z  1,80)  Valor Z da estatística amostral (observado)

Solução do Valor p para o Teste Z Bilateral Valor p = P(Z  -1,80 ou Z  1,80) .4641  Da tabela Z: olhar 1,80  Valor Z da estatística amostral (observado)

Solução do Valor p para o Teste Z Bilateral Valor p = P(Z  -1,80 ou Z  1,80)  0,5000 - 0,4641 0,0359 .4641  Da tabela Z: olhar 1,80  Valor Z da estatística amostral (observado)

Solução do Valor p para o Teste Z Bilateral Valor p = P(Z  -1.80 ou Z  1.80) = 0,0718  0,5000 - 0,4641 0,0359 .4641  Da tabela Z: olhar 1,80  Valor Z da estatística amostral (observado)

Solução do Valor p para o Teste Z Bilateral 1/2  = 0,025 1/2  = 0,025

Solução do Valor p para o Teste Z Bilateral 1/2  = 0,025 1/2  = 0,025 (valor p = 0,0718)  ( = 0,05). Não rejeitar.

Calculando a Probabilidade de Erro Tipo II 9

Potência do Teste 1. Probabilidade de rejeitar falsa H0 Decisão correta 2. Designada por 1 -  3. Usada para determinar adequação do teste 4. Afetada por: Valor verdadeiro do parâmetro populacional Nível de significância  Desvio padrão e tamanho da amostra n

Achando a Potência: Passo 1 Rejeitar  n = 15/25 Hipótese: H0: 0  368 H1: 0 < 368 Não Desenhar Rejeitar  = 0,05  = 368  X

Achando a Potência: Passo 2 Rejeitar  n = 15/25 Hipótese: H0: 0  368 H1: 0 < 368 Não Desenhar Rejeitar  = 0,05  = 368  X Situação ‘Verdadeira’: 1 = 360  Especificar

Achando a Potência: Passo 3 Rejeitar  n = 15/25 Hipótese : H0: 0  368 H1: 0 < 368 Não Desenhar Rejeitar  = 0,05  = 368  X Situação ‘Verdadeira’: 1 = 360  Desenhar  Especificar  = 360  X 1

Achando a Potência: Passo 3 Rejeitar  n = 15/25 Hipótese : H0: 0  368 H1: 0 < 368 Não Desenhar Rejeitar  = 0,05  = 368  X Situação ‘Verdadeira’: 1 = 360  Desenhar  Especificar  = 360  X 1

Achando a Potência: Passo 3 Rejeitar  n = 15/25 Hipótese : H0: 0  368 H1: 0 < 368 Não Desenhar Rejeitar  = 0,05  = 368  X Situação ‘Verdadeira’: 1 = 360  Desenhar  Especificar  = 360  X 1

Achando a Potência: Passo 3 Rejeitar  n = 15/25 Hipótese: H0: 0  368 H1: 0 < 368 Não Desenhar Rejeitar  = 0,05  = 368  X Situação ‘Verdadeira’: 1 = 360  Desenhar   1- Especificar  = 360  X 1

Achando a Potência: Passo 4 Rejeitar  n = 15/25 Hipótese : H0: 0  368 H1: 0 < 368 Não Desenhar Rejeitar  = 0,05  = 368  X Situação ‘Verdadeira’: 1 = 360   Desenhar  Especificar  = 360 363,065  X 1

Achando a Potência: Passo 5 Rejeitar  n = 15/25 Hipótese: H0: 0  368 H1: 0 < 368 Não Desenhar Rejeitar  = 0,05  = 368  X Situação ‘Verdadeira’: 1 = 360   Desenhar  = .154   1- =.846 Especificar Tabela Z  = 360 363,065  X 1

Possíveis valores verdadeiros de 1 Curvas de Potência H0:  0 Potência Possíveis valores verdadeiros de 1  = 368 ilustrada

Curvas de Potência H0:  0 H0:  0 Potência Potência Possíveis valores verdadeiros de 1 Possíveis valores verdadeiros de 1  = 368 ilustrada

Curvas de Potência H0:  0 H0:  0 H0:  =0 Potência Potência Possíveis valores verdadeiros de 1 Possíveis valores verdadeiros de 1 H0:  =0 Potência  = 368 ilustrada Possíveis valores verdadeiros de 1

Teste t Bilateral para a Média (Amostra Pequena)

Teste t para a Média (Amostra Pequena) 1. Hipóteses: Tamanho da amostra é menor que 30 (n < 30) População tem distribuição normal Desvio padrão populacional é desconhecido

Teste t para a Média (Amostra Pequena) 1. Hipóteses: Tamanho da amostra é menor que 30 (n < 30) População tem distribuição normal Desvio padrão populacional é desconhecido 3. Estatística de teste T

Teste t Bilateral: Achando os Valores Críticos de t Dado: n = 3;  = 0,10 Tabela de valores críticos de t   gl = n - 1 = 2   /2 = 0,05  /2 = 0,05

Teste t Bilateral: Achando os Valores Críticos de t Dado: n = 3;  = 0,10 Tabela de valores críticos de t   gl = n - 1 = 2   /2 = 0,05  /2 = 0,05 

Exemplo de Teste t Bilateral Uma caixa de cereal contém 368 gramas de cereal em média? Numa amostra aleatória de 25 caixas obteve-se uma média de 372,5 e um desvio padrão de 12 gramas. Suponha uma distribuição normal. Teste ao nível de 0,05. 368 g

Solução do Teste t Bilateral H0:  = 368 H1:   368  = 0,05 gl = 25 - 1 = 24 Valores Críticos: Estatística de Teste: Decisão: Conclusão: Não rejeitar com  = 0,05 Não há evidência que média populacional não é 368

Teste t Unilateral para a Média (Amostra Pequena)

Exemplo de Teste t Unilateral A capacidade média de baterias é no mínimo 140 ampéres-horas? Numa amostra aleatória de 20 baterias obteve-se uma média de 138,47 e um desvio padrão de 2,66. Suponha uma distribuição normal. Teste ao nível de 0,05.

Solução do Teste t Unilateral H0:  = 140 H1:  < 140  = 0,05 gl = 20 - 1 = 19 Valor Crítico: Estatística de Teste: Decisão: Conclusão: Rejeitar com  = 0,05 Há evidência que a média é menor que 140

Teste Z para a Proporção

Teste Z para a Proporção 1. Hipóteses: Dois resultados categóricos População segue distribuição binomial Aproximação pela Normal pode ser usada não contém 0 ou n

Teste Z para a Proporção 1. Hipóteses: Dois resultados categóricos População segue distribuição binomial Aproximação pela Normal pode ser usada não contém 0 ou n 2. Estatística de teste Z para a proporção Proporção populacional suposta

Exemplo de Teste Z para Proporção O sistema atual de empacotamento produz 10% de caixas de cereal defeituosas. Usando um novo sistema, uma amostra aleatória de 200 caixas teve11 defeitos. O novo sistema produz menos defeitos? Teste ao nível de 0,05.

Solução do Teste Z para a Proporção H0: p = 0,10 H1: p < 0,10  = 0,05 n = 200 Valor Crítico: Estatística de Teste: Decisão: Conclusão: Rejeitar com  = 0,05 Há evidência que novo sistema < 10% defeituosas

Teste para a Variância

Teste para a Variância 1. Hipóteses: Amostragem aleatória População tem distribuição normal

Teste para a Variância 1. Hipóteses: 2. Estatística de teste 2 Amostragem aleatória População tem distribuição normal 2. Estatística de teste 2

Exemplo de Teste Bilateral para a Variância A variância da capacidade das baterias produzidas é 4,20 ampéres-horas2? Numa amostra aleatória de 20 baterias obteve-se uma média de 138,47 e uma variância de 7,08. Suponha uma distribuição normal. Teste ao nível de 0,10.

Solução do Teste 2 Bilateral H0: 2 = 4,20 H1: 2  4,20  = 0,10 gl = 20 - 1 = 19 Valores Críticos: 20,05;19 = 30,144 20,95;19 = 10,117 Estatística de Teste: Decisão: Conclusão: Rejeitar com  = 0,10 Há evidência que a variância é diferente de 4,20