ANÁLISE DE SÉRIES DE TEMPO Tendência Determinística e Estocástica Cointegração Modelos Dinâmicos (ARDL) Dinâmica de Curto Prazo O Modelo de Correção de Erros (ECM) Causalidade de Granger Sistemas dinâmicos

Tendência Determinística e Estocástica Modelos com tendência determinística: yt =  + b1t + 2t2 + ... + t E se os parâmetros b1, b2, bn não forem constantes no tempo? Mais ainda, como determinar a sua constância/inconstância no tempo? Hipótese: existência de uma tendência estocástica (aleatória).

TENDÊNCIA ESTOCÁSTICA Mas como a tendência estocástica se manifesta na análise de regressão? Em um modelo dinâmico, temos: yt =  + b1yt-1 + 2yt-2 + ... + t Se a soma dos coeficientes b1, b2, bn for igual a um, temos a chamada persistência de choques sobre a série no tempo. Logo, a tendência não se torna constante e temos uma tendência estocástica.

A tendência estocástica, pela equação descrita anteriormente, recebe um nome especial: raiz unitária. As conseqüências da existência de raízes unitárias nas séries de tempo utilizadas na regressão são: Variância condicional ao tempo nas previsões “n” passos à frente inconstante: previsões se tornam cada vez mais imprecisas em função da distância em relação ao último ponto da amostra. Regressão espúria: coeficientes estimados deixam de ser “verdadeiros”.

Exemplo de Tendência Estocástica Dados artificiais no Excel

TESTES PARA VERIFICAR RAÍZES UNITÁRIAS Hipótese nula: raiz unitária; hipótese alternativa: série estacionária. Dickey-Fuller: consiste em efetuar uma regressão com a variável em diferença e testar a proximidade do coeficiente de um termo em nível em relação a unidade. Phillips-Perron: equação semelhante, estimada com método diferente. Tende a ser mais sensível em relação a quebras estruturais.

A PRESENÇA DE RAÍZES UNITÁRIAS IMPEDE O USO DE REGRESSÕES? Engle e Granger (1987): Se duas séries não-estacionárias formarem um vetor de coeficientes que gerem resíduos estacionários, diz-se que estas séries cointegram. As séries não-estacionárias são, então, ditas integradas de ordem 1 (I(1)), enquanto que as séries estacionárias são ditas integradas de ordem zero (I(0)).

Logo, pelo teorema de Engle e Granger (1987), a presença de raízes unitárias nas séries não impedem, em princípio, o uso das séries sem modificações, pois com cointegração a relação é estatisticamente confiável. Qual o significado econômico de cointegração? Em última instância, se duas variáveis cointegram, é possível afirmar que elas possuem um relacionamento estável e constante de longo prazo. Ou seja, uma regressão simples do tipo: yt = a + bxt + et deve gerar resíduos I(0) se existir uma relação consistente entre yt e xt.

TESTE DE COINTEGRAÇÃO Método de Engle e Granger: estimar a regressão de longo prazo (yt = a + bxt + et) e verificar a presença de raízes unitárias na série de resíduos (et). Cuidado!!! No teste de raiz unitária, os termos determinísticos incluídos (tendência, “dummies”) não podem aparecer na equação que gerou os resíduos. Os valores críticos para os testes de raiz unitária são os de Mackinnon (1991).

O software E-views faz um teste alternativo para verificar a presença de cointegração mais complexo, chamado método de Johansen, usando um sistema de equações para verificar a presença de mais de um vetor de cointegração. Lembre-se: relação de cointegração é vinculado a movimentos de longo prazo entre as variáveis. Os movimentos de curto prazo são estudados através de modelos dinâmicos. Cointegração não reflete causalidade!!! O resultado do teste de cointegração não muda se trocarmos a “explicada” pela “explicativa”. Logo, não é possível inferir relação de causa.

MODELOS DINÂMICOS Relações entre modelos de curto e longo prazos - operadores de defasagens: yt =  + byt-1 + fxt + t yt - byt-1 =  + fxt + t Seja yt-1 = (1-L)yt, então: (1-bL)yt =  + fxt + t yt =  (1-bL)-1 + f (1-bL)-1xt + t (1-bL)-1

O MODELO DINÂMICO GERAL - ARDL Formato do modelo dinâmico geral: yt =  + b1yt-1 + b2yt-2 + ... + f0xt + f1xt-1 + ... + t ou: yt =  + biyt-i + fixt-i+1 + t Elasticidades: curto prazo: f0 longo prazo: fi/(1- bi)

O MODELO DE CORREÇÃO DE ERROS - ECM Note que o modelo geral dinâmico não faz inferência alguma sobre a presença de raízes unitárias nas séries e as suas conseqüências. Todas as variáveis aparecem em nível para a estimação. Para evitar o problema de regressão espúria, o procedimento comum em econometria é estimar o modelo de correção de erros. Seja o modelo dinâmico: yt =  + b1yt-1 + f0xt + f1xt-1 + t

Seja o operador de diferenças: Dxt = xt - xt-1 Então: yt =  + b1yt-1 + f0xt + f1xt-1 + t yt =+b1yt-1+f0xt+f1xt-1+t +(yt-1-yt-1)+(f0xt-1-f0xt-1) yt - yt-1 =  -(1-b1)yt-1+f0xt-f0xt-1+f0xt-1+f1xt-1+t Dyt =  -(1-b1)yt-1 + f0Dxt + (f0+f1)xt-1 + t Dyt = -(1-b1)yt-1+f0Dxt+(1-b1)(1-b1)-1(f0+f1)xt-1+t Dyt =  + f0Dxt - (1-b1)[yt-1 - dxt-1] + t onde: d = (1-b1)-1(f0+f1)

Dyt =  + f0Dxt - (1-b1)[yt-1 - dxt-1] + t Note que o MCE possui termos de longo e de curto prazos, uma vez que o termo entre colchetes não é diferente do resíduo de uma regressão que testa cointegração (relação de longo prazo). O MCE lida com o problema de raízes unitárias também, ao fazer as estimações com variáveis em diferenças. Interpretação de coeficiente: (1-b1) passa a representar a velocidade de ajustamento do modelo em direção ao longo prazo.

CAUSALIDADE DE GRANGER O conceito de causalidade de Granger talvez seja melhor definido como “antecedência”: diz-se que uma variável X causa-Granger uma variável Y se, na média, o evento Y é verificado toda vez que o evento X ocorreu algum período antes. Exemplo de Maddala (1992): se fizermos uma regressão tendo como variável explicada “dias de chuva” e como variável explicativa “meteorologista afirmando que vai chover”, possivelmente encontraremos causalidade de Granger. Todavia, sabemos que o meteorologista não causa a chuva, no sentido comum de “causa”.

yt = +b1yt-1+b2yt-2+ ... +f1xt-1+f2xt-2+ ... + t Teste de Causalidade de Granger: Estima-se o melhor modelo autorregressivo de yt. Acrescenta-se tantas defasagens de xt na equação quanto o desejado, ou seja, yt = +b1yt-1+b2yt-2+ ... +f1xt-1+f2xt-2+ ... + t Testa-se a significância conjunta dos parâmetros de xt-i (f1, f2, ...). Hipótese nula: f1, f2, ...= 0 e Hipótese alterativa: f1, f2, ...0 Estatística de teste: teste “F” que testa a significância conjunta de parâmetros, e não a estatística “t” individual.

SISTEMAS DINÂMICOS Interesse por causalidade em mais de uma direção  Sistema de equações. Exemplo clássico de relação de causa e efeito indefinida: inflação - estoque de moeda (M) A estimação de sistemas busca auferir os resultados de choques em uma das variáveis, considerando os efeitos “diretos” e “indiretos” sobre o sistema econômico como um todo. Estes sistemas têm se mostrado, de um modo geral, bastante importantes nas atividades de previsão.

VETOR AUTORREGRESSIVO (VAR) O VAR nada mais é que um sistema de equações estimado com exatamente o mesmo conjunto de variáveis explicativas para todos os componentes da equação. É possível demonstrar que a estimação de um VAR nestes moldes é igual a estimação por OLS de cada equação individualmente. Desta forma, todos os testes de especificação e estabilidade se aplicam para cada equação do sistema.

xt = ’ + b’1yt-1 + ... + f’1xt-1 + ... + t Como um exemplo, sejam duas variáveis: xt e yt. Um VAR com estas duas variáveis assume o seguinte formato: yt =  + b1yt-1 + ... + f1xt-1 + ... + t xt = ’ + b’1yt-1 + ... + f’1xt-1 + ... + t A única imposição feita é que o número de defasagens seja igual para todas as variáveis do modelo. A presença de raízes unitárias pode trazer os mesmos problemas que causava nas regressões simples. Desta forma, recomenda-se trabalhar com as séries em diferenças.

A propriedade de simulação de choques sobre o sistema é facilmente obtida na maioria dos programas de econometria. A idéia é simular uma inovação dentro de alguma das equações e verificar os seus efeitos de curto e longo prazo sobre as demais variáveis do sistema. O comando “Impulse Response”, no E-views, formaliza estas opções de choques, inclusive disponibilizando os gráficos com os resultados das simulações.