Física Moderna Prof. Dante Mosca CF355 Física Moderna Prof. Dante Mosca Aulas em http://fisica.ufpr.br/CF355 Bibliografia Básica: R. Eisberg e R. Resnick, Física Quântica.

PROGRAMA DE ENSINO PROGRAMA EMENTA Relatividade: O conceito de espaço e tempo absolutos e a dinâmica newtoniana. O princípio da relatividade de Galileu. Relatividade no esquema de Galileu-Newton. Experiências críticas. Transformações de Lorentz-Einstein. Medidas de comprimento e intervalo de tempo. Cinemática relativística. Dinâmica relativística. Equivalência entre massa e energia. Princípio de equivalência. Mecânia Quântica: Descoberta do elétron. Radiação como partícula. Matéria como onda. Modelos atômicos. Equação de Schrödinger. PROGRAMA DE ENSINO O conceito espaço e tempo absolutos e a dinâmica newtoniana: Nas mãos de Newton a mecânica foi fundamentada nos conceitos de espaço e tempo absolutos. O princípio da relatividade de Galileu-Newton: Grandezas relativas e invariantes newtonianos. Transformação das equações da dinâmica de Newton. Experiências críticas: Experiências relacionadas ao éter luminífero. Experiências sobre a propagação da luz.

Transformações de Lorentz-Einstein: Relatividade de acordo com Einstein e a universalidade da velocidade da luz. Relatividade e simultaneidade. Transformação de coordenadas do espaço-tempo. Diagramas de Minkowski. Um invariante do espaço-tempo. Medidas de comprimento e intervalo de tempo: Observadores. Pontos eventos e suas transformações. Medidas de tempo. A contração de Lorentz. Dilatação do tempo. Observação da dilatação do tempo com raios cósmicos (mésons). Intervalo espaço-tempo e causalidade. Cinemática relativística: Transformações de velocidades. Radiações de fontes em movimento rápido. Movimentos acelerados. O problema dos gêmeos. Equivalência entre massa e energia: A “caixa” de Einstein e a equivalência entre massa e energia. Princípio de Equivalência. Descoberta do elétron: Experiências de J. J. Thomson e Millikan. Radiação como partícula: Corpo negro. Efeito fotoelétrico. Espalhamento Compton. Produção de raios X. Produção e aniquilação de pares. Matéria como onda: difração de elétrons. Princípio da incerteza. Modelos atômicos: Modelos de Thomson e Rutherford. Modelo de Bohr do átomo de Hidrogênio. Equação de Schrödinger: Interpretação de Born. Propriedades matemáticas. Equação independente do tempo. Quantização da energia. Poço infinito. Barreira de potencial. Tunelamento. Discussão elementar do oscilador

Programação das provas (40 % conceitual e 60 % problemas) 1ª PROVA – cinco primeiros tópicos em verde: Data 04/10/13 2ª PROVA – quatro tópicos seguintes em azul : Data 13/11/13 3ª PROVA – três últimos tópicos em vermelho : Data 13/12/13 Exame Final: sobre todo o conteúdo das unidades : Dia 181213

O Núcleo Atômico O Modelo de Thomson Experimento de Rutherford/Geiger-Marsden Espalhamento de Rutherford RBS, Quarks, Hadrons ...

“Pudim de ameixas” de Thomson

Ernest Rutherford (1871-1937)

Geiger e Rutherford

Geiger e Marsden

O que são partículas  ?

O experimento ...

Detecção de partículas  ?

Qual seria o resultado esperado?

Proposta de Rutherford ...

Definindo o parâmetro de impacto

O cálculo de Rutherford para a relação entre b e 

Estime a distância mínima entre  e núcleo Dados: Ec=5 MeV Z1=2 Z2=79 =45o e2/40=1,440 eV.nm

Secção de choque total

O que Geiger & Marsden medem não é a secção de choque total !

Cada parâmetro de impacto corresponde uma secção de choque diferente

Um anel de área 2b.db espalha partículas sobre uma “cinta” entre  e -d com simetria axial.

Secção de choque diferencial O número de partículas espalhadas que chega ao detector depende: do número de partículas do feixe, do número de espalhadores no alvo, do volume irradiado, da secção de choque diferencial e da área do detector (ângulo sólido!)

O cálculo ...

O resultado de Rutherford para a secção de choque diferencial

Resultados experimentais

Desvio do resultado de Rutherford para ´s de alta energia http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/nuclear/rutsca3.html#c4

Eisberg, R. M. and Porter, C. E., Rev. Mod. Phys. 33, 190 (1961)

Aplicação moderna: Rutherford Backscattering - RBS

Um problema ... A Eletrodinâmica prevê irradiação da energia e colapso do átomo !!!!

Núcleo atômico O “núcleo” de E. Rutherford, 1911 - 1919 Reações nucleares, Bothe & Becker, 1930 O neutrino, W. Pauli, 1931 O neutron, J. Chadwick, 1932 Radioatividade induzida, Irène & Joliot Curie, 1932 Fissão nuclear, Hahn-Strassmann-Meitner-Frisch, 1938 A fusão nuclear, H. Bethe & E. Fermi, 1938-1942 A Física de Partículas ...

O Neutron J. Chadwick, 1932

Quarks particulas de matéria fundamentais constituintes de prótons e neutrons e outros hadrons

Hadrons n

Categorias de Partículas léptons (elementares) partículas mésons hádrons (quarks) bárions 0, 1, 2, 3, … (bósons) s = 1/2, 3/2, 5/2, ... (férmions) (spin) L = s h

Modelo Padrão 6 leptons: * electron, electron neutrino * muon, muon neutrino * tau, tau neutrino 6 quarks: * d (down), u (up) * s (strange), c (charm) * b (bottom), t (top) 4 intermediate vector bosons: * gluon (nuclear force) * photon (electromagnetic force) * W and Z bosons (weak force) bóson Higgs

O Átomo de Hidrogênio N. Bohr l (nm)

Ef - Ei = hf Ei - Ef = hf

Teoria Clássica do Bohr: ou Postulado: Raio de Bohr

Fórmula de Rydberg Lei de Moseley constante de Rydberg: efeito de blindagem

Espectro de átomo de Hidrogênio Fórmula de Balmer:

Teoria de Schrödinger da Mecânica Quântica Partículas elementares agem como se certos aspectos de seu comportamento fossem governados por uma onda de de Broglie ou função de onda. Schrödinger, 1925

1933 Nobel Laureates in Physics Erwin Schrödinger 1887-1961 Paul A. M. Dirac 1902-1984

Equação de Schrödinger : equação que controla o comportamento da função de onda e a relação entre esse comportamento e o comportamento da partícula.

Construção heurística: - definição clássica para a energia total, i. e Construção heurística: - definição clássica para a energia total, i. e., E = p2/2m + V - hipóteses de de Broglie são verdadeiras: l = h/p e n = E/h ( K = 2p/l e w = 2pn ) - a função de onda tem a forma: Y(x,t) = Y(Kx - wt) tal que Y , Y/x e Y/t são finitas e continuas.

Caso de uma partícula livre num espaço unidimensional: sendo p = ħK e E = ħ w então ħ 2 K2/2m + V(x,t) = ħ w logo a 2Y/x2 + VY = b Y/t tal que a = - ħ 2/2m e b = + i ħ

Postulando operadores: p  - i ħ  E  i ħ /t a validade dessas associações não tem restrição !

Equação da função de onda : - (ħ 2/2m) 2Y/x2 + V Y = i ħ Y/t mas qual Y a interpretação para a função de onda uma vez que Y inclusive é complexa ?

Max Born, 1926 P(x,t) = Y. (x,t) Y(x,t) Max Born, 1926 P(x,t) = Y*(x,t) Y(x,t) 1882 -1970 é a densidade de probabilidade de que a partícula seja encontrada próxima a coordenada x no instante t.

Portanto P(x,t)dx = Y*(x,t) Y(x,t)dx é a probabilidade de que a partícula seja encontrada em uma coordenada entre x e x+dx no instante t.

Filosofia : Previsões da Mecânica Quântica são intrinsecamente estatísticas e a Física é por natureza indeterminada.

Cabe-nos obter valores esperados Se f(r,p,t) é uma grandeza dinâmica de uma partícula associada a função de onda Y(r,t), então o seu valor esperado f é dado por: f =  Y*(r,t) fop(r, -i ħ /r, t) Y(r,t) d3r onde fop é um operador obtido por substituição em f da relação p  -i ħ /r.

O átomo de Hidrogênio Proposição do problema Solucionando a Equação de Schrödinger Funções de onda Probabilidades Números quânticos Níveis de energia

Proposição do problema ħ2 Não há modo de separar as variáveis utilizando coordenadas cartesianas!!

Coordenadas esféricas polares

Equação de Schrödinger para o átomo de Hidrogênio em coordenadas esféricas polares ħ2 Sempre que o potencial V é função apenas de r, é possível separar as variáveis e a Equação de Schrödinger em três equações diferenciais ordinárias !

Rearranjando a Equação de Schrödinger ħ2 A separação de variáveis leva à primeira separação da equação!

Espertamente se propõe que a constante de separação seja igual a m2 A equação azimutal Espertamente se propõe que a constante de separação seja igual a m2 o que leva a :

m : o número quântico magnético solucionando... Nasce o primeiro número quântico do átomo de hidrogênio (Qualquer potencial central tem esta característica!!) da equação azimutal: m : o número quântico magnético

voltando à equação em r e  ... ħ2 Temos agora duas equações separadas para r e : a equação radial e a equação da colatitude (também chamada de polar !!)

Fica para a Quântica I a solução desta equação Surge da equação em  o segundo número quântico do átomo de hidrogênio(novamente, esta solução é válida para qualquer potencial central): l : o número quântico orbital !!

voltando à equação radial ... ħ2 Esta equação leva ao último número quântico do átomo de hidrogênio: n = l+1, l+2,l+3,... o número quântico principal !!! As soluções da autofunções radiais são as Funções associadas de Laguerre!

Resumindo... n o número quântico principal leva a: l, o número quântico orbital, tem valores: m, o número quântico magnético, por conseqüência, assume valores: 2ħ2

Resumindo e reinterpretando Números quânticos: n,l,m níveis de energia momento angular: s,p,d,f,... componente z do L ħ2 ħ

Resumindo

Qual será a probabilidade de encontrar um elétron dentro de uma casca esférica de raio r e espessura dr? É a probabilidade por unidade de comprimento de observação do elétron a uma distância r da origem, independente de  e  !!

Autofunções radiais: 1s, 2s, 3s

Orbital 1s

Autofunções radiais: 2p, 3p, 3d

Orbitais 2s e 2p

Orbitais 3d Configurações : m = -2, -1, 0, 1, 2

Orbitais 4f Configurações : m = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

Funções complexas e funções reais Funções reais: particularmente convenientes em aplicações químicas. Muito usadas!! Conseqüência do fato de que as funções reais tem comportamento cartesiano, muito adequadas para descrever ligações químicas. Funções complexas: importantes quando o elétron sofre a ação de campo magnético!

Densidade de probabilidade para as autofunções l = 2 e l = 6

Comparando função, densidade de probabilidade e densidade de probabilidade radial: Estado 1s

Isso não faz parecer o problema de um elétron numa caixa de potencial uma brincadeira ! E qual é afinal a contribuição das equações de Maxwell ?

Visualizando os orbitais pela internet http://www.shef.ac.uk/chemistry/orbitron/AOs/1s/index.html http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hydsch.html - c2

Partícula livre então - (ħ 2/2m) 2Y = E Y - (ħ 2/2m) 2Y + V(r,t)Y = i ħ Y/t Sendo V(r,t) = 0 e adotando iħ Y/t  E Y então - (ħ 2/2m) 2Y = E Y Y(Kr - wt) = ei(Kr - wt) = e iKr e- iwt - (ħ 2/2m) 2 e iKr = E e iKr

... solucionando para E Auto-função : Y(x) = A sen Kx + B cos Kx A e B são contantes arbitrárias Função de onda : Y(x,t) = [A sen Kx + B cos Kx] e-iEt/ħ

... solução mais geral ... normalização ħ Y ... normalização  P(x,t) dx =  y*(x,t)y(x,t) dx = 1

Porque alguém se preocuparia com poços de potencial na Física?

MOTIVAÇÃO

 x Poços e Barreiras

Equação de Schrödinger Um pouco de matemática ...

Solução geral da equação de Schrödinger :

Operador & autovalor : Valor esperado : = = = = a

Ex.: Partícula numa caixa

Ex. : Degrau de potencial

Caso 1 Para x < 0 E

Para x > 0 Condições de contorno :

Solução geral para E < Vo  x

Caso 2 E > Vo Para x < 0 E Para x > 0 Condições de contorno :

 x Para T ( coeficiente de Transmissão ) R ( coeficiente de Reflexão ) I (coeficiente do fluxo Incidente) R + T = 1  x

Ex. Oscilador harmônico simples V(x) x = =

=

1a derivada 2a derivada Equação de Hermite

Polinômios de Hermite : Função Hipergeométrica confluente :

= Enfim, Solução final : = n = 0, 1, 2, 3, ...

Energia de ponto zero: Princípio de Incerteza w = 2pf

FIM