Computação Gráfica – Modelagem Geométrica Profa. Mercedes Gonzales Márquez

Tópicos Curvas Superfícies Técnicas principais de Modelagem Geométrica

Curvas e Superfícies - Introdução Estuda-se dentro do escopo da Modelagem Geométrica. Curvas são a base, tanto da geração de formas simples, como círculos e elipses, quanto na criação de projetos complexos como automóveis, navios, aeronaves ou até mesmo faces e corpos humanos.

Introdução Curvas e superfícies desempenham um papel importante em várias áreas, como criação de objetos e visualização de fenômenos científicos. Representar uma curva como uma sucessão de linhas retas não é suficiente. O desafio maior é definir uma curva que passe por um determinado conjunto de pontos.

Representação de Curvas Basicamente existem duas formas principais de representar curvas: Por um conjunto de pontos; Por representação analítica.

Representação de Curvas (A) Por Conjunto de Pontos A curva é representada por um conjunto finito de pontos conectados por pequenos segmentos de retas.

Representação de Curvas Para ter uma aparência “natural” deve-se usar um conjunto grande de pontos. A B

Representação de Curvas (B) Representação Analítica Usa uma ou mais equações. Vantagens: Maior precisão; Mais compacta; Não requer área de armazenamento; Facilidade de calcular novos pontos (caso necessário); Facilidade de cálculo de propriedades da curva como área, inclinação, curvatura; Maior simplicidade para ser redesenhada quando sujeita a transformações como escala, rotação, projeções, etc.

Representação de Curvas A representação analítica de curvas pode usar ou não parâmetros, sendo classificados como B.1. paramétricas B.2. não-paramétricas. As formas não-paramétricas podem ser, ainda, B.2.1. explícitas B.2.2. implícitas.

Representação de Curvas B.1 Formas paramétricas As coordenadas são dadas em termos de um (conjunto) de parâmetros. Usa-se um parâmetro (t, , etc.) para definir as coordenadas dos pontos da curva. P(t) = (x(t), y(t)) Exemplos:

Representação de Curvas B.1 Formas paramétricas P(t) = (x(t), y(t)) Exemplos:

Representação de Curvas B.1. Formas paramétricas P(t) = (x(t), y(t)) Exemplos:

Representação de Curvas B.2. Formas não-paramétricas Não há parâmetros e uma coordenada da curva é dada em função da outra, ou seja y = f(x) ou x = f(y) Exemplos: 1) Equação de um semi-círculo de raio 2 2) Equação de uma reta y = 2x – 1 ou x = ½ (y + 1)

Representação de Curvas B.2.1 Forma não-paramétrica explícita : É dada por uma equação do tipo y = f(x), ou seja uma das coordenadas é explicitamente dada em função das outras. Exemplos: 1) Equação genérica explícita de uma parábola: y = ax2 + bx + c 2) Equação de uma reta y = mx + b 3) Polinômios: P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x1 + a0

Representação de Curvas Obtém-se um valor de y para cada valor de x dado.

Representação de Curvas B.2.2. A representação implícitas não tem essa limitação. Nela as coordenadas são relacionadas por uma função. A sua forma é

Representação de Curvas Exemplo: seções cônicas. ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 Essa expressão representa a variedade de curvas planas denominadas seções cônicas. Essas curvas (cinco) são obtidas pelo corte de um cone por um plano, resultando em: círculo, elipse, parábola, hipérbole, reta.

Representação de Curvas

Representação de Curvas Cônica Forma Paramétrica Forma Implícita Elipse x = a cos  y = b sen  Parábola x = at2, y = 2at y2 – 4ax = 0 Hipérbole x = a cosh  y = b senh 

Exercício Faça o seguinte exercício. 1. Use o programa double.c e substitua o quadrado por um círculo. Para desenhar o círculo use uma sequencia de segmentos de linhas que unem pontos obtidos pela representação explícita do círculo (y=+-sqrt(R²-x²)). Use incrementos constantes em x para obter os pontos extremos de cada segmento. 2.Substitua a representação explicíta pela representação paramêtrica (R cos t, R sen t) , com incrementos constantes em t para obter os pontos extremos de cada segmento. Compare os resultados visuais.

Curvas de Bézier É uma técnica de aproximação de curvas. Uma curva de Bézier pode ser gerada por 3, 4, até n + 1 pontos de controle (ajuste para um polinômio de grau n). Geralmente utiliza-se quatro pontos de controle (forma cúbica). A curva passa pelo primeiro e pelo último ponto de controle.

Curvas de Bézier B2 B1 B3 B0 Figura 1

Curvas de Bézier A curva paramétrica de Bézier é definida como: Onde Bi representa cada um dos n+1 pontos de controle considerados e Jn,i (t) são as funções que combinam a influência de todos os pontos (blending functions). Essas funções são descritas pelos polinômios de Bernstein como:

Curvas de Bézier onde n é o grau dos polinômios e: (i = 0, 1, ..., n) são os coeficientes binomiais. Essas funções Jn,i (t) devem satisfazer as condições: Jn,i (t)  0 para todo i entre 0 e 1, isto é 0 ≤ t ≤ 1 e também:

P(t) = (1 – t)2 B0 + 2t (1 – t) B1 + t2B2, Curvas de Bézier Expressões que definem as curvas de Bézier: Para três pontos de controle  polinômios com grau 2. P(t) = (1 – t)2 B0 + 2t (1 – t) B1 + t2B2, onde t inicialmente é 0.

P(t) = (1 – t)3 B0 + 3t (1 – t)2 B1 + 3t2 (1 – t)B2 + t3B3, Curvas de Bézier Expressões que definem as curvas de Bézier: Para quatro pontos de controle  polinômios com grau 3. P(t) = (1 – t)3 B0 + 3t (1 – t)2 B1 + 3t2 (1 – t)B2 + t3B3, onde t inicialmente é 0.

Curvas de Bézier - Algoritmo Material auxiliar para melhor entendimento de curvas e superfícies de Bézier, veja applets java em http://www.dca.fee.unicamp.br/courses/EA978/1s2003/demos/geometry.html Exercício: Faça um programa que dado um número n, permita o ingresso interativo (pelo cliques do mouse) de n+1 pontos de controle e construa a curva de Bézier correspondente. Preste atenção que as coordenadas da cena diferem ligeiramente das coordenadas da tela onde os cliques serão feitos.

Curvas de Bézier - Problemas Falta de controle local : Uma alteração em um ponto no polígono de Bézier acarreta alterações em toda a curva de Bézier. Indesejável quando desejamos fazer ajustes finos. 2. O grau do polinômio cresce com o número de pontos de controle do polígono de controle.

Onde Jni e Kmj são os polinômios de Bernstein. Superfícies Bézier - Generalização da idéia de curva de Bézier. Sejam Bij, i=0,...,m, j=0,...,n, um conjunto de pontos no R3 de tal forma que sua projeção no plano x0y seja formada pelos vértices de mn retângulos de mesmas dimensões. A superfície de Bézier definida no domínio [0,1]x[0,1] é Onde Jni e Kmj são os polinômios de Bernstein.

Superfícies Bézier

Outras representações de Superfícies

Representação Octree: (estrutura de árvore) Envolve o objeto por um cubo que em seguida é subdividido em 8 cubos menores. Cada um deles pode ser : Cheio, vazio ou cheio-vazio. Os nós cheios ou vazios são terminais, enquanto os cheio-vazios não são.

Representação Octree: Exemplo

Representação Octree: Exemplo

Geometria Sólida Construtiva (CSG) Consiste em construir um objeto a partir da combinação operatória (união, interseção e diferença) de dois ou mas sólidos.

Geometria Sólida Construtiva (CSG)

Varredura (Sweeping) Uma superfície é descrita quando uma curva C1 (curva geratriz) é deslocada no espaço, ao longo de uma trajetória dada por uma outra curva C2 (caminho o diretriz). - Varredura translacional (Extrusão ou superfícies geradas por deslocamento)

Varredura (Sweeping) - Varredura rotacional (ou superfícies de revolução)

Malha de Polígonos - Coleções de polígonos (ou faces) que, juntos, formam a “pele” ou “casca” do objeto • Forma rápida e prática para representar objetos Estrutura de Dados Opção A . Lista contígua das coordenadas de todos os vértices que compõem cada face. - Arestas implícitas - Faces explícitas

Malha de Polígonos - Coleções de polígonos (ou faces) que, juntos, formam a “pele” ou “casca” do objeto • Forma rápida e prática para representar objetos

Superfície de Revolução - Tarefa Material auxiliar para melhor entendimento de curvas e superfícies de Bézier, veja programa torus.c, superficies.c e o executável swprj.exe O programa torus.c desenha a superfície chamada torus. O executável swprj.exe permite desenhar uma curva geratriz que dará origem a uma superfície de revolução O programa superfícies.c permite desenhar uma curva de Bézier como curva geratriz e a partir dela obter uma superfície de revolução.