O PLANO ap’ bp’ bp ap IG-UNICAMP© (B) (A) Fonte : PRINCIPE JR, A.R., Noções de Geometria Descritiva V. 1, 36. ed., Sao Paulo : Nobel, 1983. ap bp (B) ap’ bp’ (A)

IG-UNICAMP© ESTUDO DO PLANO Tal como vimos no estudos das retas, um plano pode ocupar várias posições em relação aos planos de projeção, sendo expresso, em consequência, por nomes diferentes.

ESTUDO DO PLANO Planos Projetantes são planos perpendiculares a pelo menos um dos Planos de Projeção. A projeção de faces contidas em Planos Projetantes é reduzida a um segmento de reta no Plano de Projeção ao qual é perpendicular. Se for paralela ao outro Plano de Projeção, será projetada em V.G. no plano ao qual é paralela

ESTUDO DO PLANO (p’) a ap’ ap (p) IG-UNICAMP© ESTUDO DO PLANO (p’) (p) a ap ap’ Traço de um plano é a intersecção deste plano com um outro. Entretanto, empregaremos aqui o termo “TRAÇO DE UM PLANO” para exprimir a intersecção de um plano com os planos de projeção. traço horizontal do plano: reta ap (intersecção do plano a com o plano de projeção horizontal p). traço vertical do plano: reta ap’ (intersecção do plano a com o plano de projeção vertical p’).

ESTUDO DO PLANO (p’) a ap’ ap (p) IG-UNICAMP© ESTUDO DO PLANO (p’) (p) a ap ap’ Em geral um plano possui os dois traços, podendo ENTRETANTO pode possuir somente um quando um plano for paralelo à um dos planos de projeção, neste caso NAO TERÁ TRAÇO NESTE PLANO.

IG-UNICAMP© ESTUDO DO PLANO ap ap’ 1+ 2- T=T’ Quando dois traços são distintos e não paralelos à LT, eles concorrem num mesmo ponto da LT. Em épura, para a determinação do plano são dados a abscissa do ponto T=T’ de concorrência dos traços sobre a LT e os ângulos (1) e (2). Estes ângulos são orientados no sentido trigonométrico e têm a LT como origem. Assim, no exemplo ao lado, o ângulo de ap’ com a LT é contado no sentido da seta “1” e é positivo, enquanto o ângulo de ap com a LT é negativo e contado no sentido da seta 2.

ESTUDO DO PLANO PLANO FRONTAL No espaço Na épura a a1 a1 PV A2 B2 C2 D2 A2 B2 D2 C2 A B C D a B1=C1 PH a1 a1 A1=D1 B1=C1 A1=D1 O plano Frontal é Perpendicular em relação ao PH (portanto, Projetante em relação ao PH) e paralelo ao PV. A sua projeção: Será , uma reta no PH e, Estará em V.G. no PV. Como o plano a é PROJETANTE, toda e qualquer figura que estiver contida nele, terá a projeção no PH coincidente com a1, que é uma reta.

ESTUDO DO PLANO PLANO HORIZONTAL No espaço Na épura a2 a2 a PV a2 A2=D2 B2=C2 a2 B2=C2 A B C D A2=D2 a A1 B1 D1 C1 A1 B1 C1 D1 PH O plano HORIZONTAL é perpendicular em relação ao PV (portanto, é Projetante em relação ao PV) e paralelo ao PH. A sua projecção: Será uma reta no PV. Estará em V.G. no PH. Como o plano a é PROJETANTE, toda e qualquer figura que estiver contida nele,terá a projecção no PV coincidente com (a2), que é uma reta.

ESTUDO DO PLANO PLANO DE PERFIL No espaço Na épura a PV A2=B2 a2 C2=D2 A2=B2 a2 A B C D a C2=D2 PH A1=D1 A1=D1 a1 B1=C1 a1 B1=C1 O plano de PERFIL é Perpendicular em relação ao PV e ao PH portanto, é Projetante em relação tanto ao PV quanto ao PH e dizemos que ele é DUPLAMENTE PROJETANTE. A sua projecção:   Será uma reta no PV. Será uma reta no PH. Como o plano alfa é duplamente PROJETANTE, toda e qualquer figura que estiver contida nele, terá a projeção no PV e no PH coincidente com (a), que é uma reta.

ESTUDO DO PLANO PLANO VERTICAL No espaço Na épura PV C2 D2 A2 B2 B2 A2 D2 C2 A B C D a A1=D1 a1 PH A1=D1 B1=C1 a1 B1=C1 O plano VERTICAL é Perpendicular em relação ao PH (portanto, é Projetante em relação ao PH) e oblíquo ao PV. A sua projecção: Será , uma reta no PH e, Como o plano a é PROJETANTE em relação ao PH, toda e qualquer figura que estiver contida nele, terá a projecção no PH coincidente com (a1), que é uma reta.

ESTUDO DO PLANO PLANO DE TOPO No espaço Na épura PV A2=B2 a2 A2=D2 C2=B2 A B D C a2 a C2=B2 C1 B1 A1 D1 B1 A1 D1 C1 PH O plano de TOPO é Perpendicular em relação ao PV (portanto, é Projetante em relação ao PV) e oblíquo ao PH. A sua projecção: Será , uma reta no PV e, Como o plano a é PROJETANTE em relação ao PV, toda e qualquer figura que estiver contida nele, terá a projecção no PV coincidente com (a2), que é uma reta.

ESTUDO DO PLANO PLANO DE RAMPA No espaço Na épura PV C2 B2 A2 D2 B2 A2 D2 C2 B A D C a2 a B1 D1 C1 A1 D1 B1 a1 PH O plano de RAMPA é Perpendicular em relação ao Plano Auxiliar (3º plano) portanto, é Projetante em relação ao Plano auxiliar e oblíquo em relação ao PV e ao PH. A sua projeção: Será um plano no PV, Será um plano no PH. Como o plano a é PROJETANTE em relação ao Plano Auxiliar, toda e qualquer figura que estiver contida nele, terá a projecção no Plano Auxiliar coincidente com a 3º projecção, que é uma reta.

ESTUDO DO PLANO PLANO QUALQUER No espaço Na épura PV B2 A2 C2 B2 A2 C2 a2 B C A a A1 B1 C1 A1 B1 C1 a1 PH O plano QUALQUER não é Projetante em relação a nenhum dos planos de projecção, portanto será necessário a utilização de métodos descritivos para a determinação da V.G. de qualquer figura pertencente a ele.

POSIÇÕES DO PLANO ap’ ap 1. PLANO QUALQUER 1+ T=T’ 2- IG-UNICAMP© É o plano oblíquo aos dois planos de projeção. Possui dois traços distintos, concorrendo sobre a linha de terra em um mesmo ponto. Sua épura geralmente se apresenta como se vê na figura abaixo. ap’ IG-UNICAMP©

POSIÇÕES DO PLANO ap’ bp’ gp’ bp gp ap 1. PLANO QUALQUER IG-UNICAMP© Entretanto, pela maneira do plano se situar no espaço, a épura pode aparecer em qualquer das posições indicadas na figura abaixo - o que importa no caso de planos quaisquer é o fatos destes possuírem OS DOIS TRAÇOS OBLÍQUOS À LINHA DE TERRA, NÃO IMPORTANDO COMO FIQUEM. POSIÇÕES DO PLANO 1. PLANO QUALQUER IG-UNICAMP©

ESTUDO DO PLANO (p’) (p) a ap’ É o plano PARALELO AO PLANO DE PROJEÇÃO HORIZONTAL. A épura é caracterizada por possuir apenas um traço, O VERTICAL, PARALELO À LINHA DE TERRA. 2. Planos Paralelos aos Planos de Projeção: PLANO HORIZONTAL IG-UNICAMP©

2. Planos Paralelos aos Planos de Projeção: PLANO FRONTAL ESTUDO DO PLANO (p) ap (p’) a É o plano PARALELO AO PLANO DE PROJEÇÃO VERTICAL. A épura é caracterizada por possuir apenas um traço, O HORIZONTAL, PARALELO À LINHA DE TERRA. IG-UNICAMP©

ESTUDO DO PLANO (p) (p’) ap ap’ a É o plano PERPENDICULAR AO PLANO HORIZONTAL DE PROJEÇÃO E OBLÍQUO AO PLANO VERTICAL. A épura é caracterizada por possuir o TRAÇO VERTICAL PERPENDICULAR À LINHA DE TERRA e o HORIZONTAL OBLÍQUO À LINHA DE TERRA. 3. Planos Perpendiculares aos Planos de Projeção: PLANO VERTICAL IG-UNICAMP©

ESTUDO DO PLANO ap ap’ a É o plano PERPENDICULAR AO PLANO VERTICAL DE PROJEÇÃO e OBLÍQUO AO PLANO HORIZONTAL. A épura é caracterizada por possuir o TRAÇO HORIZONTAL PERPENDICULAR À LINHA DE TERRA e o VERTICAL OBLÍQUO À LINHA DE TERRA. 3. Planos Perpendiculares aos Planos de Projeção: PLANO DE TOPO IG-UNICAMP©

ESTUDO DO PLANO ap’ a ap É o plano PERPENDICULAR AOS DOIS PLANOS DE PROJEÇÃO e OBLÍQUO AO PLANO HORIZONTAL. Sua épura é caracterizada por possuir AMBOS OS TRAÇOS EM COINCIDÊNCIA, PERPENDICULARES À LINHA DE TERRA. 3. Planos Perpendiculares aos Planos de Projeção: PLANO DE PERFIL IG-UNICAMP©

ESTUDO DO PLANO ap’ a ap 4. PLANO PARALELO À LINHA DE TERRA NAO HÁ PLANO PARALELO À LINHA DE TERRA - SOMENTE PARALELO À INTERSECÇÃO DELES. Este plano é um plano oblíquo aos dois planos de projeção, numa posição particular. Sua épura é caracterizada por possuir AMBOS OS TRAÇOS PARALELOS À LINHA DE TERRA. IG-UNICAMP©

ESTUDO DO PLANO ap’ a ap 4. PLANO PARALELO À LINHA DE TERRA No caso desta figura, observa-se que o plano está no 1o. diedro, atravessando o 2o e 4o. diedros. Desta forma sua épura é caracterizada por conter o traço vertical acima da LT e o horizontal abaixo da LT. Mas o plano pode estar em outra posição.... IG-UNICAMP©

ESTUDO DO PLANO ap’ a ap IG-UNICAMP© .... atravessando os 1o., 2o. e 3o. diedros. Neste caso a épura terá os dois traços acima da LT. IG-UNICAMP©

ESTUDO DO PLANO ap’ a ap = ap’ 4. PLANO PASSANDO PELA LINHA DE TERRA Neste caso, os traços do plano COINCIDEM coma a LINHA DE TERRA. Este também é o caso do PLANO BISSETOR. Não sendo conhecida a inclinação do plano, este só ficará determinado se conhecermos outros elementos, como um ponto ou uma reta deste plano. VEREMOS ISTO ADIANTE IG-UNICAMP©

RETAS DO PLANO ap’ a ap = ap’ PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO (r) (s) (A) REGRA: “Uma reta pertence ao plano quando possui os seus traços sobre os traços correspondentes do plano”. EXCEÇÃO: um plano que passe pela LT. Um plano pode ou não conter determinadas retas. Ao lado, o plano horizontal (a) de traço ap’ pode não conter a reta vertical (r) pois só há um único ponto comum à reta e ao plano - que é o ponto (A) onde a reta fura o plano. Entretanto, este mesmo plano de traço ap’ pode conter a reta de topo (s), a qual tem seu traço (V) sobre o traço vertical do plano. (A) (r) (s) (V)=V’ IG-UNICAMP©

RETAS DO PLANO A) RETAS DE PLANO QUALQUER PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO IG-UNICAMP© RETAS DO PLANO PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO A) RETAS DE PLANO QUALQUER Um plano qualquer sendo oblíquo aos dois planos de projeção, poderá conter as retas que também sejam oblíquas a eles ou, pelo menos, a um deles. Assim, este plano qualquer poderá conter as seguintes retas: RETA QUALQUER RETA HORIZONTAL RETA FRONTAL RETA DE PERFIL

ESTUDO DO PLANO a) Reta Qualquer ap’ ap’ r’ r’ r r ap ap V’=(V) V’=(V) IG-UNICAMP© ESTUDO DO PLANO a) Reta Qualquer ap’ ap r’ r H’ V V’=(V) T=T’ H=(H) ap’ ap r’ r H’ V’=(V) T=T’ V H=(H) (r) pertence ao plano de traços ap e ap’ pois os seus traços (V) e (H) estão sobre os traços correspondentes àqueles do plano. (r) NÃO PERTENCE ao plano de traços ap e ap’ pois o seu traço (H) NÃO ESTÁ sobre o traço horizontal ap do plano.

ESTUDO DO PLANO ap’ r’ r ap IG-UNICAMP© ESTUDO DO PLANO b) Reta Horizontal: uma reta horizontal não tem traço horizontal. Um ponto comum à projeção horizontal da reta e ao traço horizontal do plano será UM PONTO IMPRÓPRIO, isto é, estará no infinito. Conclui-se que a projeção horizontal da reta deverá ser paralela ao traço de mesmo nome do plano. O traço vertical da reta, por sua vez, deverá estar sobre o traço vertical do plano. ap’ ap r’ r V V’=(V)

ESTUDO DO PLANO ap’ r’ r ap IG-UNICAMP© ESTUDO DO PLANO c) Reta Frontal: uma reta frontal não tem traço vertical. Um ponto comum à projeção vertical da reta e ao traço vertical do plano será UM PONTO IMPRÓPRIO, isto é, a projeção vertical da reta será paralela ao traço vertical do plano. O traço horizontal da reta, por sua vez, deverá estar sobre o traço horizontal do plano. ap ap’ r r’ V’=(V) H’ H

IG-UNICAMP© ESTUDO DO PLANO ap ap’ H=(H) B A A’ B’ V’=(V) (A1) (B1) (H1) d) Reta de Perfil: tratando-se de uma reta de perfil, a épura não indica uma simples vista, nem mesmo se ela pertence ou não a um plano qualquer. Neste caso, opera-se o rebatimento do plano de perfil que contém a reta e determina-se seus traços, os quais, se estiverem sobre os planos de mesmo nome, indicarão que a reta pertence ao plano - caso da figura ao lado.

RETAS DO PLANO B) RETAS DE PLANO HORIZONTAL IG-UNICAMP© RETAS DO PLANO PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO B) RETAS DE PLANO HORIZONTAL Como o plano horizontal é paralelo ao plano horizontal de projeção, este só poderá conter as retas que também sejam paralelas ao plano (p), as quais são: RETA HORIZONTAL RETA FRONTOHORIZONTAL RETA DE TOPO

IG-UNICAMP© ESTUDO DO PLANO k) Reta Horizontal: neste caso a épura se caracteriza pela coincidência da projeção vertical da reta com o traço ap’ do plano. O traço vertical da reta - ÚNICO QUE POSSUI - está sobre o traço ap’ do plano. r’ r V V’=(V) ap’ RETAS DE PLANO HORIZONTAL

IG-UNICAMP© ESTUDO DO PLANO l) Reta Frontohorizontal: não possuindo traços, a reta frontohorizontal de um plano horizontal é caracterizada pela épura abaixo, onde a sua projeção vertical r’ coincide com o traço de mesmo nome no plano ap’. r r’ ap’ RETAS DE PLANO HORIZONTAL

IG-UNICAMP© ESTUDO DO PLANO m) Reta de Topo: sendo a reta de topo caracterizada por possuir a projeção vertical reduzida a um ponto e a projeção horizontal perpendicular à LT, sua épura exibe a projeção vertical puntual r’ sobre ap’, coincidente com seu traço vertical. r V r’=V’=(V) ap’ RETAS DE PLANO HORIZONTAL

RETAS DO PLANO C) RETAS DO PLANO FRONTAL PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO IG-UNICAMP© RETAS DO PLANO PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO C) RETAS DO PLANO FRONTAL Como o plano frontal é paralelo ao plano vertical de projeção (p’), este só poderá conter as retas que forem paralelas ao mesmo plano (p’), que são: RETA FRONTAL RETA FRONTOHORIZONTAL RETA VERTICAL

IG-UNICAMP© ESTUDO DO PLANO x) Reta Frontal: a projeção horizontal da reta (r) coincide com o único traço do plano, que é o traço horizontal ap, Neste traço também está contido o único traço da reta, que é o horizontal (H). r H’ ap r’ H=(H) RETAS DO PLANO FRONTAL

IG-UNICAMP© ESTUDO DO PLANO y) Reta Frontohorizontal: caso simples! - a reta frontohorizontal (r) pertencerá ao plano de traço ap. r ap r’ RETAS DO PLANO FRONTAL

ESTUDO DO PLANO r=(H)=H IG-UNICAMP© ESTUDO DO PLANO z) Reta Vertical: caso simples! - a reta vertical (r) pertencerá a um plano frontal de traço ap. r=(H)=H ap r’ RETAS DO PLANO FRONTAL

RETAS DO PLANO D) RETAS DE UM PLANO PARALELO À LINHA DE TERRA IG-UNICAMP© RETAS DO PLANO PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO D) RETAS DE UM PLANO PARALELO À LINHA DE TERRA Sendo o plano paralelo à LT e oblíquo aos dois planos de projeção, só poderá conter retas paralelas à LT e oblíquas àqueles planos, que são: RETA QUALQUER RETA FRONTOHORIZONTAL RETA DE PERFIL

ESTUDO DO PLANO V’=(V) H’ V H=(H) IG-UNICAMP© ESTUDO DO PLANO a) Reta Qualquer: se os traços da reta estiverem sobre os traços de mesmo nome do plano, a reta pertencerá ao plano. Abaixo temos uma reta (r) qualquer pertencendo a um plano de traços ap e ap’ paralelos à LT. H=(H) ap ap’ r’ r H’ V V’=(V) RETAS DE UM PLANO PARALELO À LINHA DE TERRA

RETAS DO PLANO E) RETAS DE UM PLANO VERTICAL IG-UNICAMP© RETAS DO PLANO PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO E) RETAS DE UM PLANO VERTICAL Sendo o plano vertical perpendicular ao plano horizontal de projeção e oblíquo ao plano vertical, só poderá conter retas que sejam perpendiculares ao plano (p) e oblíquas ao plano (p’), que são: RETA QUALQUER RETA HORIZONTAL RETA VERTICAL

IG-UNICAMP© ESTUDO DO PLANO a) Reta Qualquer: a reta qualquer (A)(B) da figura abaixo pertence ao plano vertical de traços ap e ap’ pois obedece à regra geral de (i) possuir traços sobre os traços correspondentes do plano e, (ii) sua projeção horizontal coincide com o traço de mesmo nome do plano. ap ap’ V’=(V) B’ A’ H’ V B A H=(H) RETAS DE UM PLANO VERTICAL

IG-UNICAMP© ESTUDO DO PLANO b) Reta Horizontal: a reta horizontal (A)(B) da figura abaixo pertence ao plano vertical pois seu único traço (traço vertical) está sobre o traço vertical do plano (ap’) e sua projeção horizontal coincide com o traço ap do plano. ap ap’ V’=(V) B’ A’ V B A RETAS DE UM PLANO VERTICAL

IG-UNICAMP© ESTUDO DO PLANO c) Reta Vertical: a reta vertical (r) da figura abaixo pertence ao plano vertical pois seu traço horizontal (que coincide com a projeção puntual) está sobre o traço horizontal ap do plano e a sua projeção vertical é paralela ao traço vertical do plano. ap ap’ V’=(V) r’ V A r=(H)=H RETAS DE UM PLANO VERTICAL

RETAS DO PLANO F) RETAS DE UM PLANO DE TOPO IG-UNICAMP© RETAS DO PLANO PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO F) RETAS DE UM PLANO DE TOPO Sendo o plano de topo perpendicular ao vertical de projeção (p’) e oblíquo ao horizontal (p), só poderá conter retas que sejam oblíquas ao plano (p) e perpendiculares ao plano (p’), que são: RETA QUALQUER RETA FRONTAL RETA DE TOPO

IG-UNICAMP© ESTUDO DO PLANO a) Reta Qualquer: a reta qualquer (r) da figura abaixo pertence ao plano (a) de topo por possuir seus traços sobre os traços correspondentes do plano. A sua projeção vertical r’ coincide também com o traço ap’ do plano. H=(H) ap ap’ r’ r H’ V V’=(V) RETAS DE UM PLANO DE TOPO

IG-UNICAMP© ESTUDO DO PLANO b) Reta Frontal: Facil !! A reta frontal (s) pertence ao plano de topo pois sua projeção vertical s’ está sobre o traço vertical ap’ do plano e sua projeção horizontal s pertence ao traço horizontal ap do plano. H=(H) ap ap’ s’ s H’ V RETAS DE UM PLANO DE TOPO

IG-UNICAMP© ESTUDO DO PLANO c) Reta de Topo: Facil !! A reta frontal (s) pertence ao plano de topo pois sua projeção puntual s’ está sobre o traço vertical ap’ do plano e sua projeção horizontal s é paralela ao traço horizontal ap do plano. s’=(V)=V’ ap ap’ s V RETAS DE UM PLANO DE TOPO

IG-UNICAMP© ESTUDO DO PLANO Pertinência de ponto e plano: “um ponto pertence ao plano quando pertence à uma reta do plano”. ap’ ap T=T’ Dados o plano qualquer de traços ap e ap’ e o ponto (A), deteminar se o ponto pertence à reta (r). Para a verificação, procede-se da seguinte forma: pela projeção vertical A’ faz-se passar uma reta. V V’=(V) r r’ A’ A Verifica-se que a projeção horizontal A do ponto não está sobre a projeção de mesmo nome da reta. Então, o ponto (A) não pertence à reta (r). A reta (r) pertence ao plano MAS o ponto (A) não pertence à reta (r), e portanto não pertencerá ao plano.

IG-UNICAMP© ESTUDO DO PLANO Se for perpendicular ao plano horizontal (p), para que um ponto a ele pertença, é suficiente que possua sua projeção horizontal sobre o traço horizontal do plano. Seja o ponto (A) pertencendo a um plano (a) frontal e a projeção horizontal do ponto sobre o traço do plano ap do plano. Na épura, estando a projeção A sobre ap, não importa onde esteja a projeção vertical (em A’, A’’, A’’’) - o ponto (A) pertence ao plano. (p) ap (p’) a (A) A A’’’ A’’ A’

ESTUDO DO PLANO ap’ a ap’ ap ap IG-UNICAMP© ESTUDO DO PLANO Se for perpendicular ao plano vertical (p’), para que um ponto a ele pertença, é suficiente que possua sua projeção vertical sobre o traço vertical do plano. Seja o ponto (B) pertencendo a um plano (a) de topo e sua projeção vertical B’ sobre o traço ap’ do plano. Na épura, estando a projeção B’ sobre ap’, não importa onde esteja a projeção horizontal (em B, B1, B2) - o ponto (B) pertence ao plano. ap’ ap B B2 B1 B’ ap ap’ a (B) B’