O que você deve saber sobre Mat-cad-1-top-4 – 3 prova O que você deve saber sobre FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA O crescimento exponencial em alguns casos pode ser vertiginoso; em outros momentos, pode tender lentamente a zero, sem nunca atingi-lo. A função exponencial é fundamental para explicar numericamente desde fenômenos biológicos até fenômenos físicos complexos, como a transmutação radioativa.

I. Potenciação É a multiplicação sucessiva por um mesmo fator. Mat-cad-1-top-4 – 3 prova I. Potenciação É a multiplicação sucessiva por um mesmo fator. O expoente n indica que a base a foi multiplicada por ela mesma n vezes; an é chamado de potência. Exemplos: O crescimento de bactérias em um meio de cultura, número que dobra em períodos regulares. Os juros compostos nas aplicações financeiras Está presente também na fórmula do termo geral de uma progressão geométrica. FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA

I. Potenciação Propriedades das potências Mat-cad-1-top-4 – 3 prova I. Potenciação Propriedades das potências 1. Produto de potências de bases iguais: bc  bd = bc+d bc 2. Quociente de potências de bases iguais: = bcd , com b  0 bd 3. Potência de potência: (bc)d = bcd 4. Potência de produto: (m  n)c = mc  nc mc nc 5. Potência de quociente: = , com n  0 1 bc = 6. Potência de expoente inteiro negativo: b–c = , com b  0 7. Potência de expoente racional: b = bc d , com d  0 8. Potência de expoente irracional: é obtida por aproximação do valor irracional do expoente. FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA

II. Função exponencial Gráficos da função exponencial Mat-cad-1-top-4 – 3 prova II. Função exponencial É qualquer função f:  da forma f(x) = ax, com a > 0 e a ≠ 1. Gráficos da função exponencial f(x) = 2x (3,8) (2,4) O gráfico é crescente, não cruza o eixo x e intercepta o eixo y no ponto (0, 1). (1,2) f(x) = 2x (-1; 0,5) (0,1) FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA

II. Função exponencial Gráficos da função exponencial Mat-cad-1-top-4 – 3 prova II. Função exponencial Gráficos da função exponencial (-3, 8) O gráfico é decrescente, também cruza o eixo y em (0, 1) e não intercepta o eixo x. (-2, 8) (-1, 2) (0, 1) (1; 0,5) FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Simulador: funções Clique na imagem para ver o simulador. Mat-cad-1-top-4 – 3 prova Simulador: funções Clique na imagem para ver o simulador. Professor: utilize o simulador de funções para estudar as características do gráfico da função exponencial, substituindo os valores das constantes. Use-o também para explorar a transladação de gráficos e verificar o que se altera na lei de formação. FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA

II. Função exponencial Equações exponenciais Mat-cad-1-top-4 – 3 prova II. Função exponencial Equações exponenciais A incógnita está no expoente. Para resolvê-las, escrever os dois lados da igualdade como potências de uma mesma base. Chega-se então a: FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Mat-cad-1-top-4 – 3 prova III. Logaritmos Dados dois números positivos a e b, com b ≠ 1, o logaritmo de a na base b é o número c tal que Propriedades dos logaritmos (decorrem das propriedades das potências): O número a é chamado logaritmando. 1. Logaritmo do produto: logb m  n = logb m + logbn 2. Logaritmo do quociente: logb = logb – logb n (n  0) 3. Logaritmo de potência: logb mn = nlogb m 4. Mudança de base: logn m = FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA

dada pela lei f(x) = loga x, Mat-cad-1-top-4 – 3 prova IV. Função logarítmica É qualquer função f:  dada pela lei f(x) = loga x, com a > 0 e a ≠ 1. Gráficos da função logarítmica f(x) = log2 x f(x) = log2 x (8, 3) O gráfico é crescente, cruza o eixo x em (1, 0) e não intercepta o eixo y. (1, 0) (2, 1) (0,5; - 1) FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Gráficos da função logarítmica Mat-cad-1-top-4 – 3 prova IV. Função logarítmica Gráficos da função logarítmica (0,5, 1) O gráfico é decrescente, intercepta o eixo x em (1, 0) e não cruza o eixo y. (1, 0) (2, -1) (4, -2) (8, -3) FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Gráficos da função logarítmica Mat-cad-1-top-4 – 3 prova IV. Função logarítmica Gráficos da função logarítmica Gráficos de uma função exponencial e de uma função logarítmica, numa mesma base, construídos em um mesmo plano cartesiano, são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares: FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA

IV. Função logarítmica Equações logarítmicas Mat-cad-1-top-4 – 3 prova Equações logarítmicas A incógnita está na base de um logaritmo ou em seu logaritmando. Condições de existência do logaritmo: • a base é um número real positivo e diferente de 1; • o logaritmando é um número real positivo. A resolução das equações logarítmicas envolve a transformação da expressão em uma equação exponencial. FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA

IV. Função logarítmica Equações logarítmicas Outra situação: Mat-cad-1-top-4 – 3 prova Equações logarítmicas Outra situação: Da mesma forma, o primeiro passo deve ser a aplicação da definição de logaritmo. Uma vez calculado o valor da potência, pode-se obter a incógnita. FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Mat-cad-1-top-4 – 3 prova 1 (UEG-GO) Certa substância radioativa desintegra-se de modo que, decorrido o tempo t, em anos, a quantidade ainda não desintegrada da substância é S = S0 . 2-0,25t, em que S0 representa a quantidade de substância que havia no início. Qual é o valor de t para que a metade da quantidade inicial se desintegre? EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA – NO VESTIBULAR

a) Quando m = 4, determine os valores de x para os quais f(x) = 0. Mat-cad-1-top-4 – 3 prova 2 (Unesp) Considere a função dada por f(x) = 32x+1 + m . 3x + 1. a) Quando m = 4, determine os valores de x para os quais f(x) = 0. b) Determine todos os valores reais de m para os quais a equação f(x) = m + 1 não tem solução real x. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA – NO VESTIBULAR

RESPOSTA: 3 Mat-cad-1-top-4 – 3 prova (UFJF-MG) EXERCÍCIOS ESSENCIAIS FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA – NO VESTIBULAR

Em uma busca na internet, encontrou a tabela a seguir e, Mat-cad-1-top-4 – 3 prova 4 (Ufal) Uma pessoa necessitava saber o valor do logaritmo decimal de 450, mas não tinha calculadora. Em uma busca na internet, encontrou a tabela a seguir e, através dela, pôde calcular corretamente o que precisava. Determine o valor encontrado. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA – NO VESTIBULAR

Em quantos meses uma dívida no cartão de crédito triplicará de valor? Mat-cad-1-top-4 – 3 prova 5 (UFPE) Suponha que a taxa de juros de débitos no cartão de crédito seja de 9% ao mês, sendo calculada cumulativamente. Em quantos meses uma dívida no cartão de crédito triplicará de valor? (Dados: use as aproximações EXERCÍCIOS ESSENCIAIS .) RESPOSTA: FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA – NO VESTIBULAR

Sabendo que os pontos (a, – ); (b, 0); (c, 2) e (d, ) estão Mat-cad-1-top-4 – 3 prova 8 Sabendo que os pontos (a, – ); (b, 0); (c, 2) e (d, ) estão no gráfico de f, calcule b + c + ad. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA – NO VESTIBULAR

b) Esboce o gráfico das funções f e g apresentadas acima. Mat-cad-1-top-4 – 3 prova 17 1 (UFPR) Em um experimento feito em laboratório, um pesquisador colocou numa mesma lâmina dois tipos de bactérias, sabendo que as bactérias do tipo I são predadoras das bactérias do tipo II. Após acompanhar o experimento por alguns minutos, o pesquisador concluiu que o número de bactérias tipo I era dado pela função f(t) = 2 • 3t + 1, e que o número de bactérias do tipo II era dado pela função g(t) = 3 • 24 – 2t, ambas em função do número t de horas. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS a) Qual era o número de bactérias, de cada um dos tipos, no instante inicial do experimento? b) Esboce o gráfico das funções f e g apresentadas acima. c) Após quantos minutos a lâmina terá o mesmo número de bactérias do tipo I e II? (Use log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47.) RESPOSTA: FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA – NO VESTIBULAR