SISTEMAS LINEARES I Prof. Marlon

1. Equação linear a11x1 + a12x2+ a13x3 + ... + a1nxn = b1 Equação linear é toda equação da forma: a11x1 + a12x2+ a13x3 + ... + a1nxn = b1 em que a11, a12, a13, ... , a1n são números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas; x1, x2,x3, ... , xn, são as incógnitas; e b1 é um número real chamado termo independente (quando b=0, a equação recebe o nome de linear homogênea). Exemplos: 3, 4, -5 e -1  são os coeficientes x1, x2, x3 e x4  são as incógnitas 5  é o termo independente

1. Equação linear Uma equação linear não apresenta incógnitas em expoentes diferente de 1, isto é, não temos incógnitas na forma, x2, xy, x, 1/x, etc. As equações 3x + 2x2 = -3 e -4xy + z = 2, por exemplo, não são lineares.   Uma equação linear cujo termo independente é nulo (b = 0) é chamada equação linear homogênea.

2. Solução de uma Equação linear Uma sequência de números reais (a1, a2, a3,..., an) é solução da equação linear a11x1 + a12x2+ a13x3 + ... + a1nxn = b1 se trocarmos cada xi por ai na equação e este fato implicar que o membro da esquerda é identicamente igual ao membro da direita, isto é, se a igualdade for verdadeira: a11a1 + a12a2+ a13a3 + ... + a1nan = b1 Exemplos: a) Verifique se a sequência (1, 2, 3, -2) é solução da equação 2x1 + 3x2 – x3 + x4 = 3. Resolução: 2.1 + 3.2 – 3 + (-2) = 3 2 + 6 – 3 – 2 = 3 3 = 3 SIM

2. Solução de uma Equação linear b) A equação 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 0, admite como solução a sequência ordenada (a1, a2, a3,..., an), n  N. Resolução: 0.a1 + 0.a2 + 0.a3 + 0.a4 = 0 0 = 0 c) A equação 0x + 0y + 0z + 0t = 2, não admite como solução a quádrupla ordenada (a1, a2, a3,..., an), n  N. Resolução: 0.a1 + 0.a2 + 0.a3 + 0.a4 = 2 0 = 2 Se duas equações têm as mesmas soluções em um mesmo conjunto universo, estas são ditas EQUAÇÕES EQUIVALENTES. Se uma equação linear é homogênea (b = 0) esta sempre admite a solução {0, 0, 0...}, que é dita SOLUÇÃO TRIVIAL ou IMPRÓPRIA.

3. Sistema de Equações lineares É um conjunto de m (m  1) equações lineares nas incógnitas x1, x2, x3, ..., xn. Assim o sistema abaixo é linear: Lembrando a definição de produto de matrizes, podemos representar o sistema na FORMA MATRICIAL.

3. Sistema de Equações lineares EQUAÇÃO MATRICIAL EQUIVALENTE Matriz dos coeficientes A. X = B Matriz dos termos independentes Matriz das variáveis ou incógnitas Equação matricial Exemplos: a) O sistema linear: pode ser escrito na forma:

4. Solução de um Sistema Linear Se o conjunto ordenado de números reais (1, 2, ..., n) for solução de todas as equações do sistema, então será denominado solução do sistema linear. Exemplos: a) Verifique se a terna ordenada (1, 2, 3) é solução do sistema linear: SIM, é solução do sistema (V) (V) (V) Se fizermos a mesma verificação para a terna ordenada (-5, 11, 0), perceberemos que apesar de ela ser solução das duas primeiras equações, na terceira a sentença se torna falsa. Logo, não é solução do sistema.

4. Solução de um Sistema Linear a) O sistema linear: não admite solução, pois a última equação não é satisfeita por nenhuma tripla ordenada.

5. Classificação de um Sistema Linear Os sistemas lineares são classificados de acordo com o número de soluções, da seguinte forma: SISTEMA LINEAR POSSÍVEL Quando admite solução IMPOSSÍVEL Quando não admite solução DETERMINADO (SPD) Quando admite uma única solução INDETERMINADO (SPI) Quando admite mais de uma solução (infinitas soluções)

5. Classificação de um Sistema Linear Exemplos:  S = {3, 1} Somente esta solução, portanto SPD.  S1 = {1, 2}, S2 = {2, 4}, etc., são várias soluções, portanto SPI.  S = ; não existe solução, portanto SI.

6. Sistema Linear Homogêneo Chamamos de sistema linear homogêneo todo sistema em que o termo independente de todas as equações é igual a zero. Exemplos: É fácil notar que um sistema homogêneo admite sempre como solução a sequência (0, 0, 0, ..., 0), esta solução chama-se solução trivial. Se o sistema homogêneo admitir outra solução em que as incógnitas não são todas nulas, a solução será chamada solução não trivial.

7. Matrizes associadas a um sistema Matriz Incompleta: matriz A formada pelo coeficientes das incógnitas do sistema. Matriz Completa: matriz B que se obtém acrescentando à matriz incompleta, uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sistema.

8. Sistema Normal Um sistema é dito normal quando: O número de equações (m) é igual ao número de incógnitas (n). O determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero. Exemplos: Verifique se o sistema linear é normal: Resolução: O sistema possui 3 equações e 3 incógnitas. Vamos calcular o determinante da matriz incompleta: CONCLUSÃO: o sistema é normal

9. Teorema de Cramer Seja S um sistema linear normal (m = n e detA  0), então S possui solução única, e portanto, será Possível e Determinado (SPD). Esta solução será da forma: Onde, D é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e Dxi é o determinante obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes. Exemplos: Resolver o sistema usando a regra de cramer: Resolução: Cálculo de D:

9. Teorema de Cramer Exemplos: Resolver o sistema usando a regra de cramer: Resolução: Cálculo de DX: Cálculo de Dy: Cálculo de Dz:

9. Teorema de Cramer Exemplos: Resolver o sistema usando a regra de cramer: Resolução: Cálculo de x: Cálculo de y: Cálculo de z: Logo, o conjunto solução do sistema é:

10. Teorema de Cramer – Discussão de Sistemas Vamos lembrar que um sistema é classificado de acordo com o número de soluções que ele apresenta. A partir do Teorema de Cramer, podemos classificar um sistema, seguindo o seguinte princípio: Se: Se: Se: A explicação para esse raciocínio é bem simples, pois, por exemplo, se D = 0 e todos os Dx = Dy = Dz ... = 0, no cálculo de x, y e z teríamos:

10. Teorema de Cramer – Discussão de Sistemas Exemplos: Discutir (classificar) o sistema usando a regra de cramer: Resolução: Cálculo de D: Perceba que D  0, e nesse caso, mesmo sem resolver o sistema já sabemos que ele tem uma única solução. Portanto: SPD.

10. Teorema de Cramer – Discussão de Sistemas Exemplos: Discutir (classificar) o sistema usando a regra de cramer: Resolução: Cálculo de D: Perceba que D = 0, e nesse caso, precisaremos calcular Dx, Dy e Dz, e somente depois disso, é que poderemos classificar o sistema. Com base nos valores encontrados, concluímos que SPI.

10. Teorema de Cramer – Discussão de Sistemas Exemplos: Discutir (classificar) o sistema usando a regra de cramer: Resolução: Cálculo de D: Perceba que D = 0, e nesse caso, precisaremos calcular Dx, Dy e Dz, e somente depois disso, é que poderemos classificar o sistema. Nesse caso, já não é mais necessário o cálculo de Dy e Dz, pois sendo Dx  0 e D = 0, concluímos que SI.