Por que acontecem efeitos não lineares? Na óptica, uma onda de luz incide sobre uma molécula, a qual oscila. Esta emite sua própria onda que interfere com a onda original. Esquematizando este processo em termo dos níveis de energia das moléculas: Fotônica 4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção

Por que acontecem efeitos não lineares? Agora, suponha que intensidade é alta o bastante para excitar as moléculas para um estado de alta energia. Esse estado pode se tornar o nível inferior de uma excitação. Esta gera vibrações em todas as freqüências correspondentes a todas diferenças de energia entre estados ocupados. Fotônica 4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção

Óptica não linear é análoga à eletrônica não linear Enviando um único sinal harmônico (“freqüência pura”) para um alto-falante barato, resulta em um sinal de saída truncado, mais parecido com uma onda quadrada. Observando o espectro de freqüencias, observamos um novo conjunto dessas. O que ouvimos é distorção. Fotônica 4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção

Óptica não linear e osciladores não harmônicos Olhando para o dipolo gerador da nova onda, a não linearidade óptica é visualizada através do potencial eletrônico, quando esse deixa de ser um simples potencial harmônico. Exemplo: o movimento vibracional em uma molécula: Para campos fracos, o movimento é harmônico, prevalecendo o regime e fenômenos de óptica linear. Para campos fortes (lasers), ocorre o movimento não harmônico, e outros harmônicos surgem, tanto no movimento, quanto na emissão de luz. Fotônica 4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção

Equações de Maxwell em um Meio Material A polarização induzida, P, contém o efeito do meio: Estas equações podem ser reduzidas à equação de onda escalar: “Equação de Onda não homogênea” Soluções harmônicas; a polarização impõe a freqüência de oscilação (a fonte). Fotônica 4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção

4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção Polarização Linear Para baixas intensidades escrevemos: Desta forma, obtemos: Utilizando o fato que: Simplificando: Com a seguinte solução: onde w = ck and c = c0 /n and n = (1+c)1/2 A polarização induzida apenas modifica o índice de refração. Fotônica 4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção

Equações de Maxwell em um Meio Não Linear A óptica não linear surge quando a polarização é resultante de termos de alta ordem (não lineares!) no campo: P Quais são os efeitos dos termos não-lineares? Considere o segundo termo: 2w = 2o harmônico! Fotônica 4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção

Geração de soma e de diferença de freqüências Suponha que dois feixes de cores estão presentes: Então: SHG SFG DFG dc retificação Fotônica 4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção

Efeitos não-lineares complicados podem ocorrer Processos ópticos não lineares são usualmente denominados: “Processos de mistura de N-ondas" onde N é o número de fótons envolvido (inclusive o emitido). Freqüência da luz emitida Quanto mais fótons (i.e., maior a ordem) porém mais fraco o efeito. Efeitos de ordem muito alta podem ser observados, mas esses requerem alta intensidade. Ainda, se as energias dos fótons coincidem com uma ressonância do meio, o efeito é amplificado. Fotônica 4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção

Polarização Induzida para efeitos não lineares Setas apontando para cima correspondem a absorção de fótons e contribuem com um fator de campo, Ei; Setas apontando para baixo correspondem à emissão de fótons e contribuem com um fator de complexo conjugado do campo: Fotônica 4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção

Resolvendo a equação de onda para ONL Levando em conta a polarização linear e trocando c0 por c. O campo total E contém muitas freqüências discretas, w1, w2, etc. Escrevendo separadamente as equações de onda para cada freqüência, considerando apenas a polarização induzida nesta freqüência: E1 e P1 são os campos elétrico e polarização na freqüência w1. e E2 e P2 são os campos elétrico e polarização na freqüência w2. Fotônica 4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção

Aproximação de Envelope Lentamente Variável Escrevendo o pulso do campo elétrico como o produto de um envelope e uma exponencial complexa: E0(z,t) = E0 (z,t) exp[i(w0 t – k0 z)] Neste caso, consideramos ainda que o envelope do novo pulso não se altera rapidamente. Esta é a Aproximação de Envelope Lentamente Variável. Se d é a escala de comprimento de variçào do envelope, esta aproximação resulta na condição: d >> l Comparndo E0 e suas derivadas: Fotônica 4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção

Aproximação de Envelope Lentamente Variável Fazendo o mesmo no tempo: Se t é a escala de tempo da variação do envelope : t >> T0 onde T0 correponde ao período de um ciclo óptico, 2p/w0. Comparando E0 e suas derivadas temporais: Fotônica 4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção

Aproximação de Envelope Lentamente Variável Repetindo todo o procedimento para a polarização: P (z,t) = P0 (z,t) exp[i(w0 t – k0 z)] Se t é a escala de tempo da variação do envelope : t >> T0 onde T0 correponde ao período de um ciclo óptico, 2p/w0. Comparando P0 e suas derivadas temporais: Fotônica 4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção

Aproximação de Envelope Lentamente Variável Calculando as derivadas: x x Fotônica 4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção

Aproximação de Envelope Lentamente Variável Substituindo os sobreviventes na equação para w0: x Como k0 = w0 / c, os dois útimos termos entre colchetes cancelam-se. Dividindo por 2ik0: Aproximação de Envelope Lentamente Variável Fotônica 4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção

4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção Incluindo dispersão Realizando a tranformada de Fourier, expandindo k(w) em primeira ordem em w, substitui-se c por vg: Dispersão de velodidade de grupo GVD em segunda ordem: Fotônica 4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção

No referencial do envelope (surfando) No sistema de coordenadas: zv = z tv = t – z / vg Transformando as derivadas: SVEA torna-se: x Cancelam-se as derivadas temporais! Canceling terms, the SVEA becomes: We’ll drop the sub- script (v) to simplify our equations. Fotônica 4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção

4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção Vetores de onda de campos elétricos e polarizações não são necessariamente iguais Escolhemos w0 como soma das incidentes w’s: O vetor-k da luz nesta freqüência é: O vetor-k da polarização induzida é: Infelizmente, kp pode diferir de k0! Nem sempre cancela-se exp(-ikz)’s… Fotônica 4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção

4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção Casamento de fase kp não ser o mesmo que k0 é efeito importante de casamento de fase. Ele deve ser considera em todos os problemas de óptica não linear. Se os k’s não casam, a polarização induzida e o campo elétrico gerado se moverão dentro e fora de fase. SVEA: onde: Integrando a SVEA ao longo do comprimento do meio (L) : Fotônica 4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção

4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção Casamento de fase L I Dk large Dk small Portanto: Fotônica 4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção

Dependência espacial senoidal da intensidade de SHG Grande Dk Pequeno Dk Se Dk não é zero, a luz gerada em uma região está fora de fase com a gerada em uma região posterior, causando cancelamento. Fotônica 4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção

4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção Sinc2(DkL/2) Lembrando: Multiplicando e dividindo por L/2: Fotônica 4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção

4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção Sinc2(DkL/2) O campo: Dk E0 A intensidade I Dk Para maximizar a intensidade, Temos que fazer Dk = 0. O casamento de fase. Fotônica 4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção

Casamento de fase = Lei da conservação de fótons Adicionando as freqüências: É o mesmo que a conservação de energia multiplicando-se por h cortado: Somando os k’s conserva-se momentum: Casamento de fase é equivalente às leis de conservação de energia e momentum Fotônica 4. Interação Não Linear da Luz com a Matéria sem Absorção