Testes de Hipóteses Forma mais clássica de inferência estatística Consiste em verificar se a informação estatística é suficientemente significante para rejeitar uma dada hipótese em favor de outra (que é, de fato, o que se pretende comprovar estatisticamente).

Elementos de um teste Hipótese nula (H0: q Q0) Hipótese alternativa (H1: q Q1) Estatística do teste: T(X) Região de rejeição: RR (a hipótese nula é rejeitada quando T(X)  RR). Erro Tipo I: rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira. Erro Tipo II: não rejeitar a hipótese nula quando ela é falsa. Nível de significância (a): probabilidade máxima aceitável de rejeição da hipótese nula, caso ela seja verdadeira.

Definição Um teste baseado na estatística T(X), com região de rejeição RR, para testar H0 vs.H1, tem nível de significância a quando Pq (T(X)  RR) ≤ a, q  Q0 (ou seja, quando a probabilidade de se cometer erro do tipo I é no máximo a). Note que a probabilidade de se cometer erro do tipo II não é considerada na definição.

Exemplo Sejam X1, X2, ..., Xn i.i.d. U[0, q]. Construir um teste de nível de significância 0,05 para testar H0: q = 100 vs. H1: q < 100, baseado em T(X) = max Xi. Se n = 20 e T(X) = 90, a hipótese nula é rejeitada?

Probabilidade de erro tipo II Dado um teste de hipóteses, a probabilidade de erro tipo II quando o valor do parâmetro é igual a q é denotada por b(q). Assim: b(q) = Pq (T(X)  RR), para q Q1 .

Exemplo No exemplo anterior, quais são os valores de b(99), b(95) e b(80)? Qual deveria ser o tamanho mínimo da amostra para que b(95) fosse no máximo igual a 0,1?

Observação Embora a probabilidade de erro tipo II não seja considerada na definição, o objetivo, ao construir um teste, é o de obter o teste que satisfaça a condição de erro tipo I (a) e que tenha a menor probabilidade de erro tipo II (b) possível. Em alguns casos (tipicamente quando os testes são unilaterais), tais testes existem e são chamados de testes uniformemente mais poderosos de nível a.

Testes para distribuição normal X1, X2, ..., Xn i.i.d. N(m, s2) Como no caso de I.C., há quatro casos: Testes para m, com s2 conhecido Testes para s2, com m conhecido Testes para m, com s2 desconhecido Testes para s2, com m desconhecido

Testes para m, com s2 conhecido Testes z Estatística de teste: X Teste bilateral: H0: m = m0 vs. H1: m ≠ m0 Rejeita H0 quando

Testes para m, com s2 conhecido Teste unilateral: H0: m = m0 vs. H1: m > m0 H0: m ≤ m0 vs. H1: m > m0 H0: m = m0 vs. H1: m = m1 (com m1> m0) Rejeita H0 quando

Testes para m, com s2 desconhecido Testes t Estatística de teste: X, S Teste bilateral: H0: m = m0 vs. H1: m ≠ m0 Rejeita H0 quando

Testes para m, com s2 desconhecido Teste unilateral: H0: m = m0 vs. H1: m > m0 H0: m ≤ m0 vs. H1: m > m0 H0: m = m0 vs. H1: m = m1 (com m1> m0) Rejeita H0 quando

Testes para s2, com m conhecido Estatística de teste: S (Xi – m)2 Teste bilateral: H0: s2 = s02 vs. H1: s2 ≠ s02. Rejeita H0 quando S (Xi – m)2 / s02 > c2n(a/2) ou S (Xi – m)2 / s02 < c2n(1–a/2)

Testes para s2, com m conhecido Teste unilateral: H0: s2 = s02 vs. H1: s2 > s02 H0: s2 ≤ s02 vs. H1: s2 > s02 H0: s2 = s02 vs. H1: s2 = s12 (com s12> s02) Rejeita H0 quando S (Xi – m)2 / s02 > c2n(a)

Testes para s2, com m desconhecido Estatística de teste: S (Xi – X)2 Teste bilateral: H0: s2 = s02 vs. H1: s2 ≠ s02. Rejeita H0 quando S (Xi – X)2 / s02 > c2n-1(a/2) ou S (Xi – X)2 / s02 < c2n-1(1–a/2)

Testes para s2, com m desconhecido Teste unilateral: H0: s2 = s02 vs. H1: s2 > s02 H0: s2 ≤ s02 vs. H1: s2 > s02 H0: s2 = s02 vs. H1: s2 = s12 (com s12> s02) Rejeita H0 quando S (Xi – X)2 / s02 > c2n-1(a)

Exemplo Suponha que n = 25, SXi = 550 e SXi2 = 16000. Testar m = 20 vs. m ≠ 20 e s = 10 vs s > 10 ao nível de significância 0,05.

Probabilidade de significância Normalmente, pacotes estatísticos não fornecem diagnósticos em termos de rejeição ou não da hipótese nula. Em lugar disso, eles fornecem a probabilidade de significância ou valor p do teste, que é o menor valor de a para o qual a hipótese nula é rejeitada.

Exemplo Quais são os p-valores dos testes do exemplo anterior?