Estatística Aplicada (Aula 4)

Na aula passada... Distribuição normal de probabilidade Curva normal

Na aula passada... Características da Distribuição Normal

Na aula passada... Características da Distribuição Normal As probabilidades da variável aleatória normal são dadas por áreas sob a curva. A área total sob a curva é 1. Já que a distribuição é simétrica, a área sob a curva, à direita da média, é 0,5 e à direita também.

Na aula passada... Como calcular a probabilidade de qualquer distribuição normal Padronização calcular o valor z

Aula Passada... Exercício 3 O retorno médio diário das ações preferenciais da Vale do Rio Doce (VALE5) no período de 07/03/2006 a 06/03/2007 foi de 0,171% com desvio padrão de 2,127%. Sabendo que esses retornos se distribuem de forma aproximadamente normal, determine: a) A probabilidade de que o retorno da ação num certo dia seja superior a 0,5%. b) A probabilidade de que o retorno da ação num certo dia seja inferior a -0,5%. c) A probabilidade de que o retorno da ação num certo dia esteja entre -0,5% e +0,5%. d) Analisando os resultados obtidos para VALE5 com os de PETR4 (ex. 4), e sabendo que o desvio padrão representa uma medida de risco financeiro, compare os desempenhos das duas ações com relação ao binômio risco/retorno.

Aula de hoje Uso da distribuição normal de probabilidade no gerenciamento de risco Intervalo de confiança Exercícios

Distribuição Normal de Probabilidade Até agora, utilizamos a distribuição normal padronizada (tabela Z) para encontrar a probabilidade de ocorrência de um determinado intervalo de valores. Podemos inverter o raciocínio e, partindo de uma probabilidade, encontrar o valor Z correspondente.

Distribuição Normal de Probabilidade Exemplo: Dado que Z é uma variável aleatória normal padrão, encontre Z para cada uma das situações: A área entre 0 e Z é 0,4750 (Resposta: 1,96) A área à direita de Z é 0,1314 (Resposta: 1,12) A área à esquerda de Z é 0,6700 (Resposta: 0,44) A área entre –Z e Z é 0,9030 (Resposta: 1,66) A área a direita de Z é 0,6915 (Resposta: -0,50) A área à esquerda de Z é 0,2119 (Resposta: -0,80)

Distribuição Normal de Probabilidade A média de preço das ações das empresas que compõe o índice S&P é US$ 30,00 e o desvio padrão é US$ 8,20. Suponha que o preço das ações se distribua normalmente. Qual é aprobabilidade de uma empresa ter um preço de, no mínimo, US$ 40,00 para as suas ações? Qual deve ser o preço das ações para que a empresa seja incluída entre as 10% maiores?

Inferência Estatística

Erro Amostral Deseja-se estimar a média populacional, μ de uma determinada variável, pela média amostral, X. Qual a magnitude do erro que cometemos nesta estimação?

Exemplo O gerente de operações de um grande banco, desejando determinar o tempo médio que os clientes gastam no auto atendimento, realizou a medição do tempo gasto por um grande número de clientes e obteve uma população normalmente distribuída com média de 3,68 minutos e desvio padrão de 0,15 minutos. Se uma amostra de 25 clientes for escolhida ao acaso entre milhares dos que utilizam os auto atendimentos por dia, que resultado podemos esperar para o tempo médio dessa amostra? 3,70 min? 2,00 min? 3,68 min?

Exemplo Qual a probabilidade de uma observação X entre 3,65 e 3,68 min? Qual a probabilidade de se obter uma média amostral X entre 3,65 e 3,68?

Distribuição de médias amostrais

Simulação de populações normais

Exemplo (cont.) Qual a probabilidade de se obter uma média amostral X entre 3,65 e 3,68 min? Logo, 34,13% de todas as amostras possíveis de tamanho igual a 25 teriam uma média amostral entre 3,65 e 3,68 minutos

Exemplo Como esses resultados seriam alterados se a amostra contivesse 100 clientes, ao invés de 25?

Intervalo de confiança Ao invés de determinar a proporção de médias amostrais que espera-se que caiam dentro de um certo intervalo, o gerente de operações está interessado em encontrar um intervalo simétrico em torno da média populacional que incluísse 95% das médias amostrais. Deseja-se determinar uma distância acima e abaixo da média μ que contenha uma área especificada da curva normal

Intervalo de confiança

E se não conhecemos μ? Se, para cada amostra de tamanho n, construirmos um intervalo de confiança como mostrado acima, 95% dos intervalos conterão a média populacional.

Intervalo de confiança Média populacional desconhecida A satisfação dos clientes de uma instituição financeira pode ser avaliada através de um score, que segue uma distribuição aproximadamente normal, com média desconhecida. Sabe-se, de estudos anteriores, que o desvio padrão desse score é 10. Sorteada uma amostra de 50 clientes, obteve-se um score médio (amostral) de 70. Qual o intervalo de 95% de confiança para o score médio populacional?

Intervalo de confiança

Margem de Erro A margem de erro será tão menor, quanto maior for o tamanho da amostra (n) e o desvio padrão populacional

Estatística Aplicada (Aula 5)

Associação e variáveis quantitativas Conduziu-se um estudo visando analisar a relação entre o preço das ações preferenciais da Petrobrás (PETR4) e o preço do barril de petróleo (BRENT) no mercado internacional. Para tanto considerou-se o preço médio trimestral da cada variável de 2003 a 2007.

Associação e variáveis quantitativas Diagrama de dispersão: representação gráfica que permite a visualização do comportamento conjunto das duas variáveis; Coeficiente de correlação linear: valor numérico que mede a intensidade da associação linear existente entre as duas variáveis; Regressão: Desenvolvimento de modelos para a previsão de valores de uma variável resposta baseados em valores de pelo menos uma variável explicativa; Regressão linear simples: apenas uma variável explicativa Regressão linear múltipla: duas ou mais variáveis explicativas

Diagrama de dispersão

Coeficiente de correlação Coeficiente de correlação linear Medindo a força da associação

Coeficiente de correlação Interpretando o valor de r

Coeficiente de correlação

Modelos lineares Uma vez verificada a existência de uma relação entre a cotação de PETR4 e o preço do petróleo, deseja-se desenvolver um modelo para estimar a cotação de PETR4 em função do preço do barril do petróleo

Modelos Lineares Estimativa da cotação de PETR4

PETR4 = 0,9294 * (Barril Petróleo) + 23,761 Modelos Lineares Equação estimada Se o preço do Barril de petróleo for 86,00, qual será a projeção do preço da PETR4? PETR4 = 0,9294 * (Barril Petróleo) + 23,761 PETR4 = 0,9319 * (86) + 23,761 = 103,69

Coeficiente de determinação R2 = proporção da variabilidade de y em torno da média que é explicada pelo modelo (reta de regressão) Significa que 86,61% da variação nos preços de PETR4 em torno da média de preços de PETR4, pode ser explicado pela variabilidade na cotação do petróleo através do modelo de regressão. Somente 13,39% da variabilidade da amostra nos preços de PETR4 pode ser explicado por fatores diferentes daquele considerado no modelo de regressão linear.

Correlação e regressão Correlação não implica relação de causa e efeito. A análise de r deve vir acompanhada do diagrama de dispersão, pois a associação pode não ser linear. O modelo bem ajustada não garante previsibilidade Existência de valores aberrantes (outliers)

Calculo do Beta

Medidas de risco relativo