Teorema Fundamental da Trigonometria

Demonstração ... 1 cos sen 1 -1 · sen θ θ )θ cos θ

Continuação... sen 1 1 sen θ )θ -1 1 cos cos θ -1

Continuação... )θ 1 sen θ cos θ Utilizando o teorema de Pitágoras h2 = c2 + c2, temos : C M P Q D

Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo )θ Cateto Adjacente Cateto Oposto Hipotenusa

Continuação ... Seno de θ Cosseno de θ Tangente de θ Cossecante de θ Cotangente de θ Secante de θ Cossecante de θ Tangente de θ Cosseno de θ Seno de θ Relação no Triângulo Retângulo Ente Trigonométrico

Na Circunferência Trigonométrica sen tg · tg θ sen θ )θ cos cos θ

Continuação ... cossec θ cotg cotg θ · )θ secante θ

Arcos Notáveis sen tg cos 90° 180° 270° 0°/360° 120° 240° 300° 60° tg 90° 180° 270° 0°/360° 120° 240° 300° 60° 135° 225° 315° 45° 30° 150° 210° 330°

Tabela de Entes Trigonométricos ...

Exercícios Resolvidos

Que tal fazermos um teste para verificação do que foi apresentado? Observem a figura ao lado 1) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que o sen a vale: a) b/c b) a/c c) c/b d) c/a e) a/b

2) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que a tg a vale: a) b/a b) b/c c) c/b d) a/b e) a/c

3) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que tg a .cotg a vale: a) 1/a b) 1/c c) 1/b d) 0 e) 1

sen2 q + cos2 q = 1 portanto 4) Se a = 3b, podemos dizer então, que sen2 a + cos2 a vale: a) b2 / a2 b) 9c2 / b2 c) 0 d) 1 e) (c2 + b2) / 9a2 Pelo teorema fundamental da trigonometria, temos que: sen2 q + cos2 q = 1 portanto

5) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que sec2a - 1 vale: a) tg2a b) cotg2a c) - 1 d) 0 e) 1

6) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que cossec2a - 1 vale: a) tg2a b) cotg2a c) - 1 d) 0 e) 1

Seja um triângulo ABC qualquer Lei dos Senos Seja um triângulo ABC qualquer ) ( A B C a c b temos :

Seja um triângulo ABC qualquer Lei dos Cossenos Seja um triângulo ABC qualquer ) ( A B C a c b temos :

Continuação ... Curiosidade : Quando um dos ângulos do triângulo é reto, por exemplo, Â= 90°, temos : Sabe-se que cos 90° = 0, logo ... Temos, portanto ... Teorema de Pitágoras

Gráficos das funções trigonométricas y x sen x 1 -1 • 0° 540° 720° 450° 630° 360° 270° 180° -180° -90° 90°

• Continuação ... y cos x 1 x -1 0° 540° 720° 450° 630° 360° 270° 180° -180° -90° 90°

Continuação ... y x tg x • 0° 360° -90° 90° 180° 270° 450° 540° 630°

• • • • • • • • • • • Continuação ... cossec x y 1 x -1 0° 540° 720° 450° 630° 360° 270° 180° -180° -90° • 90° • • • •

• Continuação ... y sec x 1 x -1 0° 540° 720° 450° 630° 360° 270° 180° -180° -90° 90°

Continuação ... y x cotg x 0° 360° 90° 180° 270° 450° 540° 630° 720° •

• Integração por Substituição trigonométrica Demonstrando o Caso I ... C M P Q D

Trigonometria Algumas Aplicações

O exemplo clássico da Sombra Parte Prática O exemplo clássico da Sombra Para que possamos medir (aproximadamente) a altura de um prédio, sem a necessidade de subir ao terraço, ou utilizar equipamentos sofisticados, seria necessário somente 2 elementos. São eles: uma distância um ângulo Observe a seguir . . .

Conhecendo a distância d que vale 50 metros e o ângulo a que vale 30°, podemos dizer então que: temos que: portanto:

A inclinação de uma rampa Exemplo 1 A inclinação de uma rampa

Uma rampa com inclinação constante, (como a que existe em Brasília) tem 6 metros de altura na sua parte mais elevada. Um engenheiro começou a subir, e nota que após ter caminhado 16,4 metros sobre a rampa está a 2,0 metros de altura em relação ao solo. Será que este engenheiro somente com esses dados e uma calculadora científica conseguiria determinar o comprimento total dessa rampa e sua inclinação em relação ao solo?

Como poderíamos resolver essa situação? Como sugestão, faremos um “desenho” do que representa essa situação. Observemos: Comprimento total da rampa 6 metros 16,4 metros 2 metros q solo

Observemos o triângulo retângulo em destaque . . . Temos em relação ao ângulo q: hip = 16,4 metros c.o. = 2 metros 16,4 metros hip c.o. q 2 metros c.a.

Como: hip = 16,4 metros c.o. = 2 metros 16,4 metros hip c.o. q c.a. Obs.: quando dizemos que arcsen a = 1/2 , podemos transformar essa igualdade em uma pergunta: “qual é o arco, cujo seno vale 1/2?”, a resposta seria dizer que a = 30°.

Em nosso exercício, chegamos a conclusão que: sen q = 0,121951219512, logo podemos encontrar o ângulo q, com o auxílio da calculadora que normalmente utiliza as funções ASIN ou SIN-1, então, devemos digitar 0,121951219512 e a opção acima de sua calculadora. Se o processo foi realizado corretamente, deverá ser encontrado o valor 7,00472640907, que iremos considerar como aproximadamente 7°. Encontramos assim, a inclinação da rampa!

Um alpinista muito ágil, percorre um trajeto passando pelos pontos A e B. Não se sabe ao certo o que ocorreu, mas ele conseguiu com o material apropriado chegar a conclusão das medidas abaixo mencionadas. Quando chega até a árvore ele percebe que o único caminho que o levará até o ponto C é escalando-a. (a altura da árvore é representada por h - despreze a largura do tronco) Se sua velocidade média é de 0,2 m/s, quantos minutos ele demorou para sair do ponto A e chegar ao ponto C? ( )

Solução: Resumidamente, temos o triângulo ao lado que representa nosso desafio.

Igualando o h das equações ( I ) e (II) Como

Agora com o valor das medidas temos condição de determinar quanto ele percorreu do ponto A até o ponto C, observe: v = 0,2 m/s De A até C ele percorreu 30 + 17 + 17 = 64 metros 30 metros