Capítulo 4 As distribuições de probabilidade mais importantes em controle estatístico de qualidade (CEQ): atributos Sumário 4.1 Introdução 4.2 Distribuição binomial 4.3 Exemplo da distribuição binomial em aceitação por amostragem 4.4 Desvio padrão aproximado da distribuição binomial 4.5 Distribuição Poisson 4.6 Questões para discussão e exercícios 4.7 Referências

4.1 Introdução Embora as variáveis mensuráveis sejam extremamente importantes na área de CEQ, existe outro tipo de variável também importante e tem que ser considerada com atenção especial porque com elas as equações de variabilidade são diferentes. Variáveis discretas assumem valores inteiros. Se aplicar erradamente fórmulas da distribuição normal às variáveis discretas, qualquer análise subsequente estará sob suspeita. Se responder que tem 25 e meio elementos numa amostra, então tem algo errado, pois meia peça observada não existe.

4.2 Distribuição binomial (população infinita) Para calcular a probabilidade de ocorrer certo número de defeituosas (sucessos?) numa amostra (população infinita) temos que ter o tamanho da amostra (n), a probabilidade (p) de uma peça ser defeituosa (talvez do histórico da empresa ou de uma garantia), e o resultado (d) de número de defeituosas que apareceram na amostra. n! significa uma operação fatorial, por exemplo, 3! = 3*2*1 = 6. Numa amostra de 100 = n peças, qual é a probabilidade de ter 4 = d peças não conformes na amostra se historicamente a taxa de rejeição da fábrica é apenas 1%. Este tipo de questão é a base de inspeção (aceitação) por amostragem e hoje em dia aparece em contratos legais entre clientes e fornecedores. Vamos clarificar isso com um exemplo.

4.3 Exemplo da distribuição binomial em aceitação por amostragem Uma unidade fabril de pregadores de roupa produziu um lote de tamanho 40.000. O tamanho do lote é muito grande e pode ser considerado infinito, pré-requisito para utilizar a distribuição binomial. Aleatoriamente são escolhidos 100 pregadores para formar uma amostra representativa da população. A taxa de pregador defeituoso da fábrica é historicamente 0,8% (um pouco abaixo de 1%, 8/1000 = p). No entanto, 8 = d dos pregadores da amostra de tamanho 100 não funcionam e então são considerados defeituosos. P(8) = 186.087.894.300*(0,008)8 (0,992)100-8 = = 0,0000015 = 15/10.000.000 = 1,5 PPM rejeição do lote

As normas para amostragem do ABNT, NBR 5426 Figura 4.1 – As probabilidades P(d) para valores de d do exemplo dos pregadores (n=100; p=0,008) Em contratos entre fornecedores e compradores o seguinte plano de amostragem, PL(40.000; 100; 2; 3), quando o lote tem tamanho 40.000, e o tamanho da amostra fica em 100. Se até 2 pregadores defeituosos são encontrados na amostra ainda o lote é aceito, mas com 3 ou mais defeituosos é rejeitado. As normas para amostragem do ABNT, NBR 5426

4.4 Desvio padrão aproximado da distribuição binomial = 8,0 desvios padrão Desvio padrão como percentagem d/n

4.5 Distribuição Poisson

4.6 Questões para discussão e exercícios Uma unidade fabril de compressores para equipamento médico produziu um lote de tamanho 1000. Aleatoriamente são escolhidos 25 compressores para formar uma amostra e testar se a taxa defeituosa do lote é no máximo 4% em conformidade com o contrato acordado. Dois dos compressores da amostra não são aceitáveis. Este fato é suficiente para rejeitar o lote como defeituoso demais? O fato é que dois compressores defeituosos na amostra ainda dando uma percentagem de defeituosas igual a 8% não são evidencia suficientemente contundente para rejeitar o lote. Pôr que? Resposta: A função de probabilidade binomial para calcular as probabilidades associadas a esta questão dá um resultado de 19%. P(2) = [25!/2!*23!]*0,042*0,9623 = 0,19 Isso significa que em aproximadamente 20% das amostras de tamanho 25 haverá dois compressores ruins respeitando a percentagem histórica de defeituosas em 4%. Nessas circunstâncias que parecem nada fora do comum, amostras com dois defeituosas são esperadas, e jogar fora um lote de 1000 com fracas evidências como isso aumenta o risco de rejeitar um lote bom e assim ser errado. O fato é que o Estatístico condena lotes quando as probabilidades são bem menos, ate mesmo 1% ou menos. Se fosse utilizada a distribuição Poisson a resposta é praticamente igual, 18%.

4.7 Referências NBR 5426 - Planos de amostragem e procedimentos na inspeção por atributos. Associação Brasileira de Normas Técnicas - ABNT