Ajustamento de Observações 1 – Introdução 2 – Distribuição Multidimensional 3 – Ajustamento Direto 4 - Teste de Hipóteses 5 – Teoria dos Erros 6 - Método dos Mínimos Quadrados 7 – Modelo Paramétrico

2 – Distribuição Multidimensional Em diversas situações, descrevemos os resultados de experimento através de duas ou mais variáveis aleatórias.

2 – Distribuição Multidimensional A distribuição de probabilidade para uma va n-dimensional é dada por [ X, p(X)], onde X é o vetor : Onde Xj é uma va unidimensional

2 – Distribuição Multidimensional Exemplo ( Bussab, 2006) : Vamos estudar a composição de famílias com três crianças, quanto ao sexo.

2 – Distribuição Multidimensional Desta maneira, vamos definir : X = número de meninos Y = 1, se o primeiro filho for homem 0, se o primeiro filho for mulher Z = número de vezes em que houve variação do sexo entre um nascimento e outro dentro da mesma família.

2 – Distribuição Multidimensional Suponha que possíveis composições tenham a mesma probabilidade conforme o quadro Eventos Probabilidade X Y Z HHH 1/8 3 1 HHM 2 HMH MHH HMM MHM MMH MMM

2 – Distribuição Multidimensional As distribuições unidimensionais são x 0 1 2 3 p(x) 1/8 3/8 3/8 1/8 y 0 1 p(y) 1/2 1/2 z 0 1 2 p(z) 1/4 1/2 1/4

2 – Distribuição Multidimensional Média (caso unidimensional) Exemplo : Seja X o número de filhos homens E(X) = M = 0(1/8) + 1(3/8) + 2(3/8) + 3(1/8)= 12/8 = 1,5 Exemplo : E(Y) = 0 (1/2) = 1(1/2) = ½ = 0,5

2 – Distribuição Multidimensional Média (caso bidimensional)

2 – Distribuição Multidimensional Exemplo : Seja a distribuição conjunta de X e Y (x, y) p(x,y) (0,0) (1/8) (1,0) (2/8) (1,1) (1/8) (2,0) (1/8) (2,1) (2/8) (3,1) (1/8)

2 – Distribuição Multidimensional Outra maneira de apresentar uma tabela de dupla entrada X/Y 0 1 2 3 p(y) 0 1/8 2/8 1/8 0 1/2 1 0 1/8 2/8 1/8 1/2 p(x) 1/8 3/8 3/8 1/8 1 E(XY) = 0 (1/8) + 0(0) + 0(2/8) + 1(1/8) + 0(1/8) + 2(2/8) + 0(0) + 3(1/8) = 8/8 = 1

2 – Distribuição Multidimensional Podemos verificar que E(XY) ≠ E(X) E(Y) pois E(XY) = 1 E(X) E(Y) = 1,5 (0,5) = 0,75 Desta maneira podemos afirmar que X e Y são dependentes. Quando X e Y são independentes, temos E(XY) = E(X) E(Y)

2 – Distribuição Multidimensional Covariância entre Duas Variáveis É o valor médio do produto dos desvios de X e Y em relação às suas respectivas médias Cov (X, Y) = E[ (X- E(X)) (Y-E(Y))] ou Cov (X, Y) = E(XY) – E(X) (E(Y)

2 – Distribuição Multidimensional Exemplo: Vamos calcular Covariância entre X e Y Cov (X, Y) = E(XY) – E(X) (E(Y) Cov (X,Y) = 1 – 1,5 (0,5) = 0,25 Portanto as variáveis X e Y são correlacionadas. Quando X e Y são independentes, Cov (X, Y) = 0 Porém, se Cov(X, Y) = 0 não significa que as variáveis sejam independentes

2 – Distribuição Multidimensional Matriz de variância e covariância Quando i = j temos a variância da variável unidimensional. Quando i ≠ j temos a covariância entre as duas variáveis.

2 – Distribuição Multidimensional Exemplo ( Dalmolin, 2002) : Calcular a matriz de variância-covariância onde as probabilidades : 0,1 e 0,2 são associadas aos pontos da distribuição através das circunferências (circunferência maior – maior probabilidade). Os valores de (x e y) são dados a seguir

2 – Distribuição Multidimensional

2 – Distribuição Multidimensional E(X) = 10(0,1) + 15(0,2) + 15(0,1) + ... + 30(0,1) = 20 E(Y) = 6(0,1) + 8(0,2) + ...+ 14(0,1) = 10 Var(X) = (10-20)2 (0,1) + (15-20)2 (0,2) + ... + (30-20)2 (0,1) = 35 Var (Y) = (6-10)2 (0,1) + ... + (14-10)2 (0,1) = 5,6 Cov (X,Y) = E(XY) – 20(10) E(XY) = 10(6) (0,1) + 15(8)(0,2) + ... + 30 (14)(0,1) = 210 Cov (X,Y ) = 210 – 200 = 10

2 – Distribuição Multidimensional Desta maneira, temos :