Sistemas de numeração romano II III X XX XXX C CC CCC M MM MMM 1 2 3 10 20 30 100 200 300 1000 2000 3000 IV 4 (5 – 1) VI 6 (5 + 1) DC LXX V DC LXX V DC LXX V (675) 600 + 70 + 5 I V X L C D M 1 5 10 100 1000 50 500

Sistema de numeração indo-arábico D U D U D U 2 2 2 5 5 5 5 2 5 1 5 5 2 2 5 1 grupo de 10 mais 5 ou 1 dezena e 5 unidades: 15 5 unidades 5 unidades 2 unidades 20 (10 × 2) 50 (10 × 5) 2 dezenas ou 20 unidades 1 dezena ou 10 unidades 5 dezenas ou 50 unidades 200 (10 × 20) 500 (10 × 50) 5000 (10 × 500) 25: o valor posicional do 2 é 20 unidades 52: o valor posicional do 2 é 2 unidades Características 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 (dígito ou algarismos)

Sistema de numeração indo-arábico Ordens e classes A área do Brasil é de aproximadamente 8 515 692 quilômetros quadrados (km2) 8 5 1 5 6 9 2

As várias representações de um número natural Como podemos representar o número natural 8 547 403? 8 000 000 + 500 000 + 40 000 + 7 000 + 400 + 00 + 3 8×1 000 000 + 5×100 000 + 4×10 000 + 7×1 000 + 4×100 + 0×10 + 3 Com palavras: oito milhões, quinhentos e quarenta e sete mil, quatrocentos e três. Com palavras e algarismos: 8 milhões, 547 mil, 403. 219,3 mil 2,15 milhões 219,3 mil 219 300 2,15 milhões 2 150 000 219 mil 2 milhões

Sequência dos números naturais Ordem nos números naturais 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... Maior que (>), menor que (<), igual a (=). 8 < 9 10 > 6 325 > 305 240 < 251 Números consecutivos 10 e 11 são dois números naturais consecutivos Reta numerada 5, 6 e 7 são três números naturais consecutivos 2 012, 2 013, 2 014 e 2 015 são quatro números naturais consecutivos

Sequências especiais de números naturais Sequência dos números naturais pares 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, ... Sequência dos números naturais ímpares 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, ... Números naturais e Geometria: a sequência dos números quadrados perfeitos 1 = 1 × 1 4 = 2 × 2 9 = 3 × 3 16 = 4 × 4 25 = 5 × 5

Conjunto dos números naturais ( ) Um conjunto é uma coleção qualquer de objetos. Exemplos: conjunto dos números pares entre 5 e 13: {6, 8, 10, 12}; conjunto dos números ímpares entre 90 e 100: {91, 93, 95, 97, 99}; O conjunto numérico formado pelos números naturais é representado pelo símbolo . = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, ...} O conjunto numérico formado pelos números naturais diferentes de zero é representado pelo símbolo *. * = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, ...}

Números naturais e raciocínio combinatório Usando as letras A e B e os algarismos 1 e 2, podemos formar placas com duas letras (com ou sem repetição) e dois algarismos (sem repetição).

Algoritmos da adição Algoritmo usual C D U 3 3 0 + 4 8 3 parcela 1 3 3 0 + 4 8 3 parcela parcela Termos da adição 8 1 3 soma ou total Algoritmo da decomposição 330 + 483 Simplificando 330 300 + 30 + 0 330 + 483 483 400 + 80 + 3 700 + 110 + 3 800 + 10 + 3 700 110 3 800 10 3 813 813

Ideias associadas à adição Juntar quantidades: Joana estuda no 6o ano B. Em sua escola há 358 meninos e 536 meninas. Qual é o total de alunos dessa escola? C D U 1 3 5 8 + 5 3 6 8 9 4 Acrescentar uma quantidade a outra já existente: Vimos que na escola de Joana há 894 alunos. Se 87 novos alunos forem matriculados, quantos alunos a escola passará a ter? C D U 1 1 8 9 4 + 8 7 9 8 1

Propriedades da adição Propriedade comutativa 10 + 20 = 20 + 10 C D U C D U 1 1 1 1 7 4 7 6 + 5 3 2 8 5 3 2 8 + 7 4 7 6 1 2 8 4 1 2 8 4 5 328 + 7 476 = 7 476 + 5 328 = 12 804

Propriedade associativa CASA DA MOEDA DO BRASIL / MINISTÉRIO DA FAZENDA (10 + 5) + 2 10 + (5 + 2) 15 + 2 = 17 10 + 7 = 17 Portanto: (10 + 5) + 2 = 10 + (5 + 2) Propriedade do elemento neutro 10 + 0 = 0 + 10 = 10

Algoritmo de subtração Algoritmo usual: C D U 6 Minuendo 5 7 2 ‒ 4 4 5 1 Subtraendo Termos da subtração 1 2 7 Diferença ou resto Obs.: Em , a subtração só poderá ser efetuada quando o minuendo for maior ou igual ao subtraendo.

Relação fundamental da subtração: minuendo – subtraendo = diferença é equivalente a diferença + subtraendo = minuendo Exemplos de aplicações: Se o subtraendo é 95 e a diferença é 37, vamos determinar o minuendo. minuendo – 95 = 37 equivalente a 37 + 95 = minuendo 132 Se uma das parcelas de uma adição é 89 e a soma é 121, vamos determinar a outra parcela. “? + 89 = 121” equivale a “? = 121 – 89”. Logo, a outra parcela é 32. Considerando que n representa um número natural, vamos determinar o seu valor. n – 8 = 15 “n – 8 = 15” equivale a “15 + 8 = n”. Portanto, n = 23. 23

Ideias associadas à subtração C D U Tirar uma quantidade de outra: 1 Norberto tem 227 reais e vai comprar uma calça de R$ 55,00. Com quanto ele ainda vai ficar? 2 2 7 ‒ 5 5 1 1 7 2 Completar quantidades: C D U Juvenal tem 359 reais na poupança e quer comprar uma televisão de R$ 600,00. Quanto falta para ele pode comprar o televisor? 5 9 6 0 0 ‒ 3 5 9 1 1 2 4 1 Comparar quantidades: Compare os pontos de Angélica com os pontos dos demais. C D U C D U 8 1 8 9 5 ‒ 1 2 7 8 1 2 1 8 8 ‒ 1 8 9 5 1 10 1 1 Felipe: 1 278 pontos Jorge: 2 188 pontos Angélica: 1 895 pontos 6 1 7 2 9 3

Expressões numéricas envolvendo adição e subtração 10 + 20 – 5 + 3 = 8 – {4 + [9 – (12 – 5)] – 1} = = 30 – 5 + 3 = = 8 – {4 + [9 – 7] – 1} = = 25 + 3 = 28 = 8 – {4 + 2 – 1} = = 8 – {6 – 1} = = 8 – 5 = 3

Algoritmo da multiplicação Algoritmo usual: Algoritmo por decomposição: C D U + 4 × 10 + 2 3 4 × 3 1 fator fator 20 + 8 1 2 produto 100 + 40 120 + 48 12 × 14 168 48 + 12 168

Ideias associadas à multiplicação Adicionar parcelas iguais 1 Qual é o valor do telefone ao lado, que está sendo vendido na loja “Barateria”? 2 6 × 3 SÉRGIO DOTTAR JR. / ARQUIVO DA EDITORA 7 8 Disposição retangular 8 5 Quantas carteiras há nesta sala de aula? 8 × 5 = 40 MAURO SOUZA / ARQUIVO DA EDITORA

Ideias associadas à multiplicação Número de possibilidades ou combinações: Numa lanchonete há 4 tipos de suco: laranja, abacaxi, melancia e uva. Eles são servidos em copos de 3 tamanhos: pequeno, médio e grande. Quantas são as possibilidades de escolha ao pedir um suco? FOTOS: ABACAXI – R. GINO SANTA MARIA / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES; LARANJA – VOLODYMYR KRASYUK / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES; MELANCIA – ALEX STAROSELTSEV / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES; UVAS: GYORGY BARNA / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES; COPOS – SÉRGIO DOTTA JR. / ARQUIVO DA EDITORA 4 × 3 = 12 Copos Número de frutas

Proporcionalidade: 1 rolo 50 m 3 × 3 × 3 rolos 150 m 5 × 5 × SÉRGIO DOTTAR JR. / ARQUIVO DA EDITORA 3 × 3 × 3 rolos 150 m 5 × 5 × 15 rolos 750 m

Propriedades da multiplicação Propriedade comutativa: Propriedade do elemento nulo: 5 × 3 = 15 Em toda multiplicação que tem o zero como um dos fatores, o produto é zero. ou 3 × 5 = 15 10 × 3 = 3 × 10 30 30 Por exemplo: 6 × 0 = 0 e 0 × 4 = 0. Propriedade do elemento neutro: Propriedade associativa: O número 1 é o elemento neutro da multiplicação. Exemplos: (6 × 15) × 20 = 6 × (15 × 20) 1 × 5 = 5 12 × 1 = 12 90 × 20 = 6 × 300 7 × 1 = 7 Propriedade distributiva: 1 800 = 1 800 5 × (12 + 25) = 5 × 12 + 5 × 25 6 × (18 – 13) = 6 × 18 – 6 × 13

Algoritmo da divisão Algoritmo usual: D U Dividendo 7 8 3 Divisor 1 8 7 8 3 Divisor 1 8 2 6 Quociente Resto D U

3 garrafas não serão embaladas. Ideias associadas à divisão Repartir igualmente: D U Um pai de família quer repartir igualmente 84 balas entre as 6 crianças que frequentam sua casa. Com quantas balas cada criança ficará? 8 4 6 2 4 1 4 Resto 0 (divisão igual) D U “Medida” ou quantas vezes uma quantidade cabe em outra: C D U Em uma fábrica de refrigerante, embalam-se 6 garrafas em uma caixa. Quantas caixas são necessárias para embalar 195 refrigerantes? 1 9 5 6 3 garrafas não serão embaladas. 1 5 3 2 3 D U

Relação fundamental da divisão q quociente × divisor + resto = dividendo 190 7 50 27 1 27 × 7 + 1 = 190

Expressões numéricas envolvendo as quatro operações 20 – (18 – 2 × 24 : 3) = (6 × 5 – 2) : (15 – 16 : 4 + 3) × 2 = = 20 – (18 – 48 : 3) = = (30 – 2) : (15 – 4 + 3) × 2 = = 20 – (18 – 16) = = 28 : (11 + 3) × 2 = = 20 – 2 = 18 = 28 : 14 × 2 = = 2 × 2 = 4

Geometria: sólidos geométricos, ângulos e polígonos LEE PRINCE / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES NATALIE TEPPER / ARCAID / CORBIS / LATINSTOCK DIEGO CAZOLA / PULSAR IMAGENS JAMES STEIDL / SHUTTERSTOCK / GLOWIMAGES SOLVIN ZANKL / VISUALS UNLIMITED / CORBIS / LATINSTOCK M. C. ESCHER / M. C. ESCHER FOUNDATION

Sólidos geométricos Cilindro Cubo Esfera Pirâmide GJERMUND ALSOS / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES STUDIO DMM PHOTOGRAPHY, DESIGNS & ART / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES Esfera Pirâmide MONKEY BUSINESS IMAGES / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES KULISH VIKTORIIA / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES

Cone Prisma Paralelepípedo SÉRGIO DOTTA JR. / ARQUIVO DA EDITORA NICK BAROUNIS / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES SÉRGIO DOTTA JR. / ARQUIVO DA EDITORA Paralelepípedo DAINIS / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES

Poliedros e corpos redondos Os sólidos geométricos que têm faces planas chamam-se poliedros. Os que possuem uma parte não plana, arredondada, chamam-se corpos redondos. Poliedros muitos faces

Poliedro paralelepípedo vértice aresta MAGICOVEN / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES face Caso particular do paralelepípedo: cubo O cubo é um paralelepípedo com todas as arestas com medidas iguais. VON SCHONERTAGEN / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES DMITRY MELNIKOV / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES LOSKUTNIKOV / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES vértice face aresta

Prismas Pirâmides vértice aresta face lateral base vértice aresta ZORAN KARAPANCEV / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES base

Superfície lateral não plana Principais corpos redondos Veja alguns exemplos de corpos redondos: vértice Superfície lateral não plana base base Esfera Cilindro Cone

Ponto, reta e plano CASA DE TIPOS / ARQUIVO DA EDITORA Ponto: o centro do campo e as marcas de pênaltis nos dão a ideia de um ponto. B A C Reta: as linhas que delimitam o campo, as áreas ou a que divide o campo nos dão a ideia de reta. B A A B

Ponto, reta e plano CASA DE TIPOS / ARQUIVO DA EDITORA Plano: imagine o gramado se expandindo em todas as direções e você terá uma ideia do que seja um plano.

RIDO / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES Ângulos SALVADOR GARCIA GIL / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES ACERVO DO AUTOR / ARQUIVO DA EDITORA RIDO / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES Em matemática, consideramos ângulos a figura geométrica formada por duas semirretas de mesma origem. A H R Indicamos o ângulo ou .

Giros e ângulos ângulo reto ângulo raso CASA DE TIPOS / ARQUIVO DA EDITORA

Ângulo reto ou ângulo de um quarto de volta 1 000 WORDS / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES LEE SANGTEK / EASYPIX BRASIL CASA DE TIPOS / ARQUIVO DA EDITORA Ângulo agudo e ângulo obtuso agudo obtuso

Retas paralelas e retas concorrentes Rua 9 Rua 8 Rua Samambaia Avenida 20 PAULO MANZI / ARQUIVO DA EDITORA As ruas 8 e 9 são paralelas, pois elas sempre mantêm a mesma distância uma da outra. A rua Samambaia cruza as ruas 8 e 9, portanto a rua Samambaia é concorrente às ruas 8 e 9. Posições relativas de duas retas distintas contidas em um mesmo plano Retas paralelas Retas concorrentes perpendiculares Retas concorrentes oblíquas

Regiões planas e contorno Regiões planas têm apenas duas dimensões (comprimento e largura). ELAINE HUDSON / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES altura largura comprimento comprimento EDGAR LOPES / FOLHAPRESS altura

As regiões planas do tangram O tangram é um quebra-cabeça chinês que tem 7 regiões planas. Há diversas regiões planas que podem ser feitas com o tangram.

Polígonos Toda linha fechada formada apenas por segmentos de reta que não se cruzam recebe o nome do polígono. São polígonos: Não são polígonos:

Há muitos outros tipos de polígonos. C Elementos de um polígono Dado um polígono qualquer, temos: D Quatro vértices: os pontos A, B, C e D. Quatro lados: os segmentos de reta , , , e . Quatro ângulos internos, que apresentamos assim: , , e . A B Tipos de polígonos Triângulo Quadrilátero Pentágono Hexágono Há muitos outros tipos de polígonos.

Os três ângulos internos Triângulos O polígono tem três vértices, três lados e consequentemente três ângulos internos. A C B Classificação dos triângulos quanto aos ângulos Triângulo acutângulo Triângulo retângulo Triângulo obtusângulo Os três ângulos internos são agudos. Tem um ângulo interno reto e dois agudos. Tem um ângulo interno obtuso e dois agudos.

São exemplos de quadriláteros: Quadriláteros são polígonos de quatro lados, quatro vértices e quatro ângulos internos. C B D A São exemplos de quadriláteros:

São polígonos que têm as medidas de seus lados iguais e, portanto, Polígonos regulares Link para ambiente online São polígonos que têm as medidas de seus lados iguais e, portanto, todos os ângulos com a mesma abertura. triângulo regular (equilátero) quadrilátero regular (quadrado) pentágono regular hexágono regular heptágono regular octógono regular