Variáveis Aleatórias Uma variável aleatória associa um número real a cada resultado de um experimento aleatório. Mais precisamente…

Variáveis Aleatórias Uma variável aleatória é uma função (mensurável) X: W  R que associa um número real a cada resultado de um experimento aleatório.

Exemplos de variáveis aleatórias Moeda honesta lançada 3 vezes W = {ccc, cck, ckc, …} X = número de caras Y = número de transições Quando se observa cck: X = 2 Y = 1

Exemplos de variáveis aleatórias Moeda honesta lançada 3 vezes W = {ccc, cck, ckc, …} X = número de caras Y = número de transições x 1 2 3 P(X=x)

Exemplos de variáveis aleatórias Moeda honesta lançada 3 vezes W = {ccc, cck, ckc, …} X = número de caras Y = número de transições x 1 2 3 P(X=x) 1/8 3/8 função de massa de probabilidade (fmp) de X

Exemplos de variáveis aleatórias Moeda honesta lançada 3 vezes W = {ccc, cck, ckc, …} X = número de caras Y = número de transições y 1 2 P(Y=y)

Exemplos de variáveis aleatórias Moeda honesta lançada 3 vezes W = {ccc, cck, ckc, …} X = número de caras Y = número de transições y 1 2 P(Y=y) 1/4 2/4

Função de Distribuição Acumulada A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória X é a função FX: RR definida por FX(x) = P(X ≤ x)

Função de Distribuição Acumulada Exemplo: x 1 2 3 P(X=x) 1/8 3/8 1 7/8 1/2 1/8 1 2 3 Se x < 0: P(X≤x) = 0 Se 0 ≤ x <1: P(X≤x) = P(X=0) = 1/8 Se 1 ≤ x <2: P(X≤x) = P(X=0 ou X=1) = 1/8 + 3/8 = 1/2

Função de Distribuição Acumulada Roleta numerada continuamente de 0 a 10 X = prêmio ganho 0, se x < 0 P(X ≤ x) = x/10, se 0 ≤ x ≤ 10 1, se x > 10 1 10

Função de Distribuição Acumulada Lança moeda honesta; se tirar cara, gira roleta numerada continuamente de 0 a 10 X = prêmio ganho

Função de Distribuição Acumulada Lança moeda honesta; se tirar cara, gira roleta numerada continuamente de 0 a 10 X = prêmio ganho 0, se x < 0 P(X ≤ x) = ½ + ½ x/10, se 0 ≤ x ≤ 10 1, se x > 10 1 10

Tipos de Variáveis Aleatórias Discretas FX(x) = xi  x P(X = xi) (Absolutamente) Contínuas FX(x) = xi  x fX(x) dx (onde fX(x) é a densidade de probabilidade de X) Mistas FX(x) = xi  x P(X = xi) + xi  x fX(x) dx (Há outras, mais patológicas …)

Exemplo 10 P(X = 0) = ½ 0, se x < 0 fX(x) = 1/20, se 0  x  10

Propriedades da F.D.A. FX é não-decrescente lim x– FX(x) = 0, lim x+ FX(x) = 1 lim xa+ FX(x) = F(a) (continuidade à direita)

Função de Distribuição Acumulada A f.d.a. caracteriza completamente a distribuição de qualquer v.a. (ou seja, conhecendo a f.d.a. podemos obter a probabilidade de qualquer evento envolvendo a v.a.) P(X = 2) = P(X = 3) = P(X < 3) = P(1  X  3) =

Principais Distribuições Discretas Bernoulli Binomial Geométrica Hipergeométrica Poisson

Principais Distribuições Contínuas Uniforme Exponencial Normal (e associadas: c2, t, F)

Bernoulli Espaço amostral binário (sucesso-fracasso, sim-não, 1-0) X = 1, com probabilidade p X = 0, com probabilidade 1–p Notação: X  be(p)

Binomial Sequência de n experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso X = número de sucessos

Binomial Sequência de n experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso X = número de sucessos Cada uma das seqüências com k sucessos e n–k fracassos tem probabilidade pk (1–p)n-k . Logo: Notação: X  B(n, p)

Geométrica Sequência de experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso X = lançamento em que ocorre o primeiro sucesso.

Geométrica Sequência de experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso X = lançamento em que ocorre o primeiro sucesso. X = k  k–1 fracassos seguido de um sucesso Notação: X  G(p)

Hipergeométrica Urna com N bolas, sendo B brancas, de onde são extraídas n bolas, sem reposição. X = número de bolas brancas extraídas Notação: X  HG(N, B, n)

Exemplo Amostra de tamanho n extraída de uma população com N indivíduos, dos quais b são favoráveis a um candidato. Qual é a distribuição do número de pessoas favoráveis ao candidato na amostra?

Exemplo Amostra de tamanho n extraída de uma população com N indivíduos, dos quais B são favoráveis a um candidato. Qual é a distribuição do número de pessoas favoráveis ao candidato na amostra? Resposta: HG(N, B, n)

Exemplo Amostra de tamanho n extraída de uma população com N indivíduos, dos quais b são favoráveis a um candidato. Qual é a distribuição do número de pessoas favoráveis ao candidato na amostra? Resposta: HG(N, B, n) Mas, se n << N, aproximadamente B(n, B/N)

Distribuição de Poisson Em média, um site de internet tem l = 0,5 acessos por segundo. Qual é o modelo apropriado para a distribuição do número de acessos efetuados em um segundo?

Distribuição de Poisson Discretizar 1 segundo em n intervalos de duração 1/n Como o número de usuários é grande, é razoável considerar a existência de acessos neste intervalos como eventos independentes, cada um com probabilidade p. Para que o número médio de acessos por minuto seja igual a l, deve-se ter np = l.

Distribuição de Poisson

Distribuição de Poisson Caso limite da distribuição binomial, quando n e np se mantém constante Acessos a sites Chegadas de consumidores a um banco Número de erros tipográficos em um texto Número de partículas radioativas emitidas

Exemplo No caso da página de internet, qual é a probabilidade de que haja pelo menos um acesso em um dado segundo?

Exemplo No caso da página de internet, qual é a probabilidade de que haja pelo menos um acesso em um dado segundo? P(X>0) = 1– P(X=0) = 1 – e-0.5 = 0,395

Exemplo Qual é a distribuição do número de acessos em um minuto?

Exemplo Qual é a distribuição do número de acessos em um minuto? Poisson (30) Em geral, o número de acessos em um intervalo de duração t tem distribuição Poisson (lt)

Esperança Idéia: a esperança (ou valor esperado) de uma v.a. é o valor médio que se espera obter ao se repetir um experimento aleatório um grande número de vezes.

Esperança Exemplo: Quem acerta um dos 25 grupos no jogo do bicho ganha 18 vezes o valor apostado. Qual é o ganho esperado para quem aposta R$ 1,00?

Esperança Exemplo: Quem acerta um dos 25 grupos no jogo do bicho ganha 18 vezes o valor apostado. Qual é o ganho esperado para quem aposta R$ 1,00? Ganha-se 17 com probabilidade 1/25 -1 com probabilidade 24/25 Após um grande número n de apostas, o ganho médio é, aproximadamente:

Esperança O valor esperado de uma v.a. discreta X é: EX = Si xi. P(X=xi) (ou seja, a média dos valores assumidos por X, ponderados por sua probabilidade) EX pode ser um número real, +, – , ou não estar definida.

Esperança finito EX  R – EX = – + EX = + EX não definido

Paradoxo de S. Petersburgo Jogo em que chance de vitória é 1/3, mas cuja aposta é 1:1. Estratégia: jogar até vencer, sempre dobrando o valor da aposta. Variáveis aleatórias de interesse: X = ganho quando se aposta 1. N = número de apostas até a saída. Y = ganho na saída.

Paradoxo de S. Petersburgo X = –1, com prob. 2/3 1, com prob. 1/3 EX = –1/3. N é finito com prob. 1 Y = 1

Paradoxo de S. Petersburgo Mas seja C o capital usado até a vitória

Propriedades E(aX + b) = aEX + b Mas, em geral, E(g(X))  g(E(X)) Exemplo: Y = X2 EX = (–1).0,2.(–1)+0.0,4+1.0,4 = 0,2 EY = 0.0,4+1.0,6 = 0,6 Note que EY = 02.P(X=0) + 12 .P(X=1) + (–1)2 .P(X=–1) X p –1 0,2 0,4 1 Y p 0,4 1 0,6

Propriedades Para X discreta: E(g(X)) = Si g(xi) P(X=xi) (Law of the unconscious statistician)

Propriedades E(X+Y) = EX + EY (sempre!) E(XY) = EX EY, se X e Y são independentes

Exemplo Urna com 10 bolas, das quais 4 são brancas. Cinco bolas são retiradas. Qual é o número esperado de bolas brancas retiradas: com reposição? sem reposição?

Variância Var(X) = E(X–EX)2 = E(X2) –(EX)2

Propriedades Var(aX+b) = a2 Var(X) Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)

Propriedades Se X1, X2, …, Xn são independentes, então Var(X1 + X2 +…+ Xn ) = Var(X1) + Var(X2) + …+ Var(Xn)

Exemplo X ~ binomial(p)

Variáveis Aleatórias Contínuas F(x) = -x f(t) dt f  0 é a densidade de X P(a < X < b) = ab f(t) dt -+ f(t) dt = 1 f(x) = F’ (x) P(x–/2 < X < x+/2 )   f(x)  x

Exemplo Seja X a abscissa de um ponto escolhido ao acaso no triângulo da figura. Qual é a densidade de X? 1 1

Solução 1 x 1

Outra solução 1 x 1

Esperança discreta: contínua: mista:

Principais Distribuições Contínuas Uniforme Exponencial Gama Normal (e associadas: c2, t, F)

Distribuição Uniforme fX 1/(b-a) a b 1 FX a b

Distribuição Exponencial De volta ao exemplo do site na Internet. Qual é a distribuição do tempo de espera X até a ocorrência do primeiro acesso? X > t se e só se o número de acessos em [0, t] é igual a 0 Logo, P(X>t) = P(N = 0), onde N~Poisson(lt) Portanto, P(X>t) = e-lt

Distribuição Exponencial X tem distribuição exponencial com parâmetro l quando FX (x) = 1–e – lx, para x >0 Ou seja, fX(x) = le – lx , para x > 0

Exemplo O tempo de vida, em meses, de um componente tem distribuição exponencial de parâmetro l = 0,5. Qual é a probabilidade de que um componente novo dure pelo menos 2 meses? Dado que um componente usado já tem 1 mês de vida, qual é a probabilidade de que ele dure pelo menos mais dois meses?

Processo de Poisson Tempo entre chegadas consecutivas independentes, com distribuição exponencial (l) Número de chegadas em intervalos disjuntos independentes e com distribuição Poisson (lt), onde t é o comprimento do intervalo

Exemplo Os acidentes em uma rodovia ocorrem de acordo com um Processo de Poisson de taxa 2 acidentes por dia Número médio de acidentes por semana? Número médio de dias sem acidentes por semana? Intervalo médio entre acidentes? Probabilidade de que haja 2 acidentes na 2a e 1 na 3a? Probabilidade de que o primeiro acidente em um certo dia só ocorra depois das 12 horas?

Distribuição Normal A distribuição normal padrão é a distribuição da variável aleatória Z de densidade Notação: Z ~ N(0, 1) EZ = 0, Var Z = 1

Distribuição Normal Uma variável X tem distribuição normal com parâmetros m (média) e s2 (variância) quando é da forma X = sZ + m, onde Z~N(0,1) Notação: X~N(m, s2)

Distribuição Normal Qual é a densidade da distribuição X~N(m, s2)? De modo geral, qual é a densidade de g(X), onde g é uma função inversível e X é uma v. a. de densidade f?

Transformando uma v. a. A densidade de Y = g(X) é dada por onde x é tal que g( x) = y.

Transformando uma v.a. Caso particular: Se X tem densidade f, então Y = aX + b (a>0) tem densidade X= Y/2 X Y = 2X Y

Densidade da distribuição normal A densidade da v.a. X com distribuição normal N(m, s2) é

Exemplo As notas dos alunos em um teste têm distribuição normal com média 70 e desvio padrão 10. Se um aluno for escolhido ao acaso, qual é a probabilidade de que sua nota seja maior que 85? Qual é a nota correspondente ao percentil 95%?

V. A. Multidimensionais Exemplo: moeda honesta lançada 3 vezes X = número de caras Y = número de transições Qual é a probabilidade de que X = 2 e Y =1? x 1 2 3 P(X=x) 1/8 3/8 y 1 2 P(Y=y) 1/4 2/4

V. A. Multidimensionais Não se pode responder (em geral) a partir das distribuições individuais (marginais) de X e Y. Pode-se responder com base na distribuição de (X, Y), também chamada de distribuição conjunta de X e Y.

Distribuição Conjunta w X Y ccc 3 cck 2 1 ckc kcc ckk kck kkc kkk

Distribuição Conjunta w P X Y ccc 1/8 3 cck 2 1 ckc kcc ckk kck kkc kkk X Y 1 2 3

Distribuição Conjunta w P X Y ccc 1/8 3 cck 2 1 ckc kcc ckk kck kkc kkk X Y 1 2 3 1/8 - 2/8 P(X=2 e Y =1) = 2/8

Distribuição Conjunta A distribuição conjunta de X = (X1, X2, ..., Xn) completamente caracteriza probabilidades envolvendo X1, X2, ..., Xn e quaisquer subconjuntos delas (distribuições marginais).

Distribuição Conjunta X Y 1 2 3 1/8 - 2/8

Distribuição Conjunta X Y 1 2 3 1/8 - 1/4 2/8 1/2 3/8

Função de Distribuição Acumulada A distribuição conjunta de X = (X1, X2, ..., Xn) é completamente caracterizada pela sua função de distribuição acumulada. FX1, X2, ... Xn (x1, x2, ..., xn) = P(X1  x1, X2  x2, ..., Xn  xn) Exemplo FX1(x1) = ?

Função de Distribuição Acumulada A distribuição conjunta de X = (X1, X2, ..., Xn) é completamente caracterizada pela sua função de distribuição acumulada. FX1, X2, ... Xn (x1, x2, ..., xn) = P(X1  x1, X2  x2, ..., Xn  xn) Exemplo FX1(x1) = limx2 , ..., xn FX1, X2, ... Xn (x1, x2, ..., xn)

Tipos de distribuição conjunta Discretas Quando existe um conjunto enumerável A = {x1, x2, ...} tal que P(X  A) = 1. Neste caso, P(X  B) = xi  B P(X = xi)

Tipos de distribuição conjunta Discretas Quando existe um conjunto enumerável A = {x1, x2, ...} tal que P(X  A) = 1. Neste caso, P(X  B) = xi  B P(X = xi) Contínuas Quando existe uma função de densidade f tal que Neste caso:

Exemplo Um ponto (X, Y) é escolhido no quadrado unitário com densidade proporcional a x+y. Qual é a função de densidade? Qual é a probabilidade de que X seja menor que 1/2?

Propriedades Esperança de funções de v.a. multidimensionais E(g(X)) = Si g(xi) P(X=xi) (discreta) E(g(X)) = Rn g(x) fX(x) dx (contínua) Casos particulares: EX = R2 x fX,Y(x,y) dy dx E(X+Y) = R2 (x+y) fX,Y(x,y) dy dx = = R2 x fX,Y(x,y) dy dx + R2 y fX,Y(x,y) dy dx = EX +EY

Propriedades Em geral, E (XY)  EX EY Mas E(XY) = EX EY se X e Y são independentes.

Observação X, Y independentes  E(XY) = EX EY E(XY) = EX EY  X, Y independentes não correlacionadas

Covariância e Correlação Cov(X, Y) = E(X–EX)(Y–EY) = = E(XY) – EX EY r(X, Y) = Cov(X,Y)/s(X)s(Y) Teorema: –1 ≤ r(X, Y) ≤ 1