Intenção das Pesquisas de Intenção de Voto Carlos Alberto de Bragança Pereira Dep Estatística / IME / USP – Titular Núcleo de BioInformática - Diretor
Requião80546% Dias78745% Indecisos1056% B/N533% Amostra17501 P(R>O)67,40%Exato 68,18%Normal
Pesquisa IBOPE 24/09/06
Verossimilhança A função de verossimilhança considerando uma amostra de um processo multivariado de Bernoulli é
Probabilidade de 2º Turno Lembrando que a verossimilhança é uma função do parâmetro, podemos normalizar essa função para que se torne uma densidade de probabilidade Dirichlet de ordem 5 ou dimensão 4. Os parâmetros dessa distribuição são os elementos do seguinte vetor (942;662;221;101;81)
Probabilidade de 2º Turno Usando as propriedades matemáticas da Dirichlet temos:
População População = Conjunto de todas as Unidades cujas características desejam- se conhecer. {u 1, u 2,..., u M }
Parâmetro Parâmetro = Conjunto de todas as características de interesse associadas as unidades populacionais. {v 1,v 2,...,v M } De interesse: V= v 1 +v v M
Notação Considerem-se 3 possibili- dades para os v i ´s. v i =(1,0,0) se i vota em Lula. v i =(0,1,0) se i vota em Alkimim. v i =(0,0,1) se i vota em outros. O interesse: V= v 1 +v v M = (L,A,O) : L (A) [O]= Total de votos de Lula (Alkimim) [outros].
Amostra Amostra = Conjunto de to- das de unidades populacio- nais onde os valores de v foram obtidos {(I i,I i v i ): i=1,...,N} I i =1 (0) se i (não) está na amostra.
Estatística Tamanho da Amostra = n = I 1 +I I N. Total amostral T=I 1 v I N v N Média amostral = T/n = m, o vetor de proporções amostrais.
Planejamento amostral Distribuição amostral = P{I 1,I 2,...,I N }. Seja p i = Pr{I i =1} = E{I i } Assim, E{T} = p 1 v p N v N Se p i = c então, E{T}=cV; isto é T/c é uma estimativa não viciada de V.
A crítica A distribuição de seleção, a distribuição do vetor I’ = (I 1,I 2,...,I N ) independe do valor do parâmetor de interesse V. A amostragem completamente casual de n elementos produz P{I’}=n/N
A alternativa (v 1,v 2,...,v M ) parâmetro (u 1,u 2,...,u M ) rótulo {(u i,v i ): i=1,...,N} que tem a mesma distribuição de {(u k,v i ): k,i=1,...,N}
Conseqüência Existe um parâmetro 0< P = (p L,p A,p O )<1 com p L +p A +p O =1 tal que qualquer que seja a unidade i, conhecido o valor de P, as variáveis v, sendo iid teriam a seguinte distribuição: Pr{v i =(1,0,0)|P} = p L ; Pr{v i =(0,1,0)|P} = p A ; Pr{v i =(0,0,1)|P} = p O ;
Modelo alternativo Como temos permutabilidade, podemos considerar as primeiras n unidades como nossa amostra e escrever o total amostral como X = v 1 +v v n = (l,a,o). A verossimilhança é simplesmente Lik(P|X) P X.
Exemplo 1 Consideremos o caso onde X=(60,45,45) a função de verossimilhan- ça neste caso seria Lik(P|X) (p L ) 60 (p A ) 45 (p O ) 45
Modelo marginal Na comparação dos dois candidatos, teríamos que: p LA = p L /(p L +p A ) ~ B(61,46) (0,57) o que implica que a probabilidade que Lula ganhe de Alkimim é 93% [0,4765;0,6625] IC 95%
3 extratos Estado 1 - X 1 =(90,90,120) Estado 2 - X 2 =(100,54,46) Estado 3 - X 3 =(60,45,45) Pais – X = 0,5X 1 +0,3X 2 +0,2X 3
LEGENDA DAS FIGURAS cidade 1: amostra n = 300. Tem 50% da população do país. cidade 2: n = 200. Tem 30% pop do país cidade 3: n = 150. Tem 20% do país. X1 ou p1 é Lula X2 ou p2 é Alckimin X0 ou p0 = 1-p1-p2 é outros exemplo 1: X1 = (X11, X21, X01) = (132, 81, 87) X2 = (X12, X22, X02) = (40, 120, 40) X3 = (X13, X23, X03) = (60, 45, 45) Z = 0.5*p|X *p|X *p|X3 F01 - densidade de Z em p1 e p2 e região de 95% de credibilidade F02 - ampliacao de f01 na região de interesse. F03 - somente p|X1 cidade 1 separada e regiao 95% credibilidade
F01
F02
F03
exemplo 2: X1 = (90, 90, 120) X2 = (100, 54, 46) X3 = (60, 45, 45) F09 - densidade z de p1 e p2 e regiao 95% F10 - idem F09 ampliada F11, F13 e F15 - p|x1, p|X2 e p|X3 F12, F14, F16, F17 são ampliações
F09
F10
F11
F12
F13
F14
F15
F16
F17
EXEMPLO
Gráficos – Região 1 Dirichlet(41,36,41)
Curvas de nível
Região de Credibilidade
Marginal de p1 Beta(41,77) I.C. = (0.262 ; 0.434)
Marginal de p2 Beta(36,82) I.C. = (0.224 ; 0.389)
Gráficos – Região 2 Dirichlet(36,54,45)
Curvas de nível
Região de Credibilidade
Marginal de p1 Beta(36,99) I.C. = (0.194 ; 0.342)
Marginal de p2 Beta(54,81) I.C. = (0.318 ; 0.483)
Gráficos – Região 3 Dirichlet(21,21,31)
Curvas de nível
Região de credibilidade
Marginal de p1 Beta(21,52) I.C. = (0.187 ; 0.393)
Marginal de p1 Beta(21,52) I.C. = (0.187 ; 0.393)
Gráficos Geral 0,2*Dirichlet(41,36,41) + 0.5*Dirichlet(36,54,45) + 0.3* Dirichlet(21,21,31)
Curvas de nível
Região de credibilidade
Marginal de p1 0.2*Beta(41,77) + 0.5*Beta(36,99) + 0.3*Beta(21,52) (*) I.C. = (0.193 ; 0.399) (*) esta parte não sei se está certa
Marginal de p2 0.2*Beta(36,82) + 0.5*Beta(54,81) + 0.3*Beta(21,52) I.C. = (0.215 ; 0.471)