Sistemas Realimentados Análise no Espaço de Estados

Conteúdo FT no Espaço de Estados Equações Invariantes no Tempo Resultados Úteis para Análise Vetorial-Matricial Controlabilidade Observabilidade

FT no Espaço de Estados Por que representar uma FT no Espaço de Estados? Muito útil para representar sistemas de vários graus de liberdade; Há muitas técnicas disponíveis para obter um sistema nesta representação; É adequada para o processamento computacional.

FT no Espaço de Estados Representações tratadas aqui: Forma controlável; Forma observável; Forma diagonal; e Forma canônica de Jordan.

FT no Espaço de Estados Representação do Espaço de Estados em formas canônicas Considere um sistema definido por: onde u é a entrada do sistema e y é a saída. Podemos reescrever o sistema como segue:

FT no Espaço de Estados Forma Canônica Controlável

FT no Espaço de Estados Forma Canônica Observável

FT no Espaço de Estados Considere que o polinômio do denominador da FT acima envolve somente raízes distintas. Logo, podemos reescrever a FT como segue:

FT no Espaço de Estados Forma Diagonal

FT no Espaço de Estados Agora, considere o caso em que o polinômido do denominador da FT acima envolve múltiplas raízes. Por exemplo, se p1=p2=p3, então ou

FT no Espaço de Estados Forma Canônica Jordan

FT no Espaço de Estados Exemplo 1: Considere o sistema dado por Obtenha a representação no espaço de estados nas formas canônicas controlável, observável e diagonal.

Controlável

Observável

Diagonal

FT no Espaço de Estados Os Autovalores de uma Matriz Quadrada A, são as raízes da equação característica dada por Como exemplo, seja então

FT no Espaço de Estados Diagonalização de um Matriz Quadrada Se uma matriz quadrada A com autovalores distintos é dada por

FT no Espaço de Estados Diagonalização de um Matriz Quadrada Então, a transformação x=Pz, onde Transformará A em uma matriz diagonal dada por D=P-1AP.

FT no Espaço de Estados Diagonalização de um Matriz Quadrada Isto é

FT no Espaço de Estados Diagonalização de um Matriz Quadrada Se a matriz quadrada A envolve autovalores múltiplus, então a diagonalização é impossível. Por exemplo, Resulta na forma canônica de jordan.

FT no Espaço de Estados Exemplo 2: Considere a seguinte representação no espaço de estados onde

FT no Espaço de Estados Então, os autovalores de A são Logo, os autovalores são todos distintos! Se definirmos um conjunto das nova variáveis de estado z1, z2 e z3 pela transformação onde

FT no Espaço de Estados Então em resulta em:

FT no Espaço de Estados ou

FT no Espaço de Estados ou ainda

FT no Espaço de Estados Da mesma forma em resulta em:

FT no Espaço de Estados Invariancia dos Autovalores: Para provar a invariancia dos autovalores sob uma transformação linear, precisamos mostrar que os polinômios característicos são idênticos. Sabendo que o determinante de um produto é o produto dos determinantes, temos que: Logo, os autovalores foram mantidos após a transformação linear!

FT no Espaço de Estados Transformação de modelos usando o Matlab:

FT no Espaço de Estados Transformação de modelos usando o Matlab:

FT no Espaço de Estados Transformação de modelos usando o Matlab:

Equações Invariantes no Tempo O objetivo agora é obter a solução geral da equação de estado linear e invariante no tempo. Primeiro consideraremos o caso homogêneo e depois o não homogêneo. Equação homogênea: seja Supondo uma solução do tipo Que substituida na equação acima fica como segue: Logo,

Equações Invariantes no Tempo Coeficientes: Solução homogênea: Série de Taylor

Equações Invariantes no Tempo Considerando agora a equação vetorial-matricial Análogo ao caso escalar, supomos a seguinte solução: Que substituída na equação vetorial-matricial, leva a De modo que

Equações Invariantes no Tempo Coeficientes Solução homogênea Matriz exponecial: cada elemento da matriz é uma série de Taylor.

Equações Invariantes no Tempo Propriedades da Matriz Exponencial: muito importante na análise por espaço de estados de sistemas lineares.

Equações Invariantes no Tempo Propriedades da Matriz Exponencial: muito importante na análise por espaço de estados de sistemas lineares. Prova:

Equações Invariantes no Tempo Propriedades da Matriz Exponencial: muito importante na análise por espaço de estados de sistemas lineares. Em particular, se s=-t, então O que prova que a inversa de eAt é e-At. Uma vez que a inversa de eAt sempre existe, então a matriz exponencial é não singular.

Equações Invariantes no Tempo Propriedades da Matriz Exponencial: muito importante na análise por espaço de estados de sistemas lineares.

Equações Invariantes no Tempo Transformada de Laplace na solução de equações de estado homogênceas: Seja Cuja transformada de laplace é Cuja transformada inversa de laplace aplicada à última equação resulta em

Equações Invariantes no Tempo Transformada de Laplace na solução de equações de estado homogênceas: Aplicando a mesma abordagem à equação vetorial-matricial Com transformada de laplace resultando em Cuja transformada inversa de laplace resulta em

Equações Invariantes no Tempo Matriz de Transição de Estado: considerando a equação de estado Podemos escrever a solução homogênea como Onde a matriz de transição de estados Φ(t) é uma matriz quadrada com as mesmas dimensões de A, sendo a solução de: e

Equações Invariantes no Tempo Matriz de Transição de Estado: Como e , então: Observe que Se todos os autovalores de A são distintos, então

Equações Invariantes no Tempo Matriz de Transição de Estado: Se todos os autovalores de A são distintos, então Se A possui algum autovalor com multiplicidade como, por exemplo

Equações Invariantes no Tempo Propriedades das Matrizes de Transição de Estado:

Equações Invariantes no Tempo Exemplo: Obtenha a matriz de transição de estado, e sua inversa, do seguinte sistema Solução:

Equações Invariantes no Tempo Solução:

Equações Invariantes no Tempo Solução:

Equações Invariantes no Tempo Solução: Como Φ-1(t)= Φ(-t), então

Equações Invariantes no Tempo Solução das equações de estado não homogêneas: Seja , o qual podemos reescrever como Multiplicando ambos os lados por e-At, temos Integrando no intervalo de 0 a t, temos

Equações Invariantes no Tempo Solução das equações de estado não homogêneas: Resposta à condição inicial Resposta à entrada u(t)

Equações Invariantes no Tempo Solução das equações de estado não homogêneas: Seja agora a qual pode ser reescrita como onde

Equações Invariantes no Tempo Solução das equações de estado não homogêneas: Multiplicando ambos os lados por e-At, temos Integrando no intervalo de 0 a t, temos

Equações Invariantes no Tempo Abordagem por transformada de Laplace aplicada a equações de estado não homogêneas Seja Cuja transformada de Laplace é Como então Logo, aplicando a transformada inversa de laplace à última equação, obtemos:

Equações Invariantes no Tempo Solução em termos de x(t0) Exemplo: Solução: como

Equações Invariantes no Tempo Solução:

Resultados Úteis para Análise Vetorial-Matricial Teorema de Cayley-Hamilton: Seja A uma matriz quadrada de ordem n, cuja equação característica é O teorema estabelece que tal equação característica também pode ser obtida como

Resultados Úteis para Análise Vetorial-Matricial Cálculo de eAt – Método I: Se A é diagonalizável, então Se A é não diagonalizável, então ela pode ser transformada na forma canônica de Jordan, de modo que

Resultados Úteis para Análise Vetorial-Matricial Cálculo de eAt – Método I: Se A é diagonalizável, então Se A é não diagonalizável, então ela pode ser transformada na forma canônica de Jordan, de modo que

Resultados Úteis para Análise Vetorial-Matricial Cálculo de eAt – Método I: Exemplo

Resultados Úteis para Análise Vetorial-Matricial Cálculo de eAt – Método I: Exemplo

Resultados Úteis para Análise Vetorial-Matricial Cálculo de eAt – Método II: Pela transformada de Laplace Exemplo: utilize os métodos I e II para calcular a eAt, onde Pelo Método I:

Resultados Úteis para Análise Vetorial-Matricial Cálculo de eAt – Método II: Pela transformada de Laplace Exemplo: utilize os métodos I e II para calcular a eAt, onde Pelo Método II:

Resultados Úteis para Análise Vetorial-Matricial Vetores Linearmente Independentes: Os vetores x1, x2,...,xn são distos linearmente independentes se Como c1, c2,...,cn são constantes, então De modo recíproco, x1, x2,...,xn são ditos linearmente dependentes, se e somente se, xi pode ser descrito como uma combinação linear de xj, onde i≠j, isto é

Resultados Úteis para Análise Vetorial-Matricial Vetores Linearmente Independentes: Exemplo: Os vetores São linearmente dependentes, uma vez que Já os vetores são linearmente independentes, uma vez que implica em

Resultados Úteis para Análise Vetorial-Matricial Vetores Linearmente Independentes : Posto =2≠ n=3 Determinante nulo Posto = n=3 Determinante não nulo

Controlabilidade Definição: Um sistema é dito controlável no instante t0 se for possível, por meio de um vetor de controle não limitado, transferir o sistema de qualquer estado inicial x(t0) para qualquer outro estado, em um intervalo de tempo finito. Controlabilidade completa de estado de sistema de tempo contínuo: Considere o sistema de tempo contínuo Tal sistema será dito de estado controlável em t=t0 se for possível construir um sinal de controle não limitado que transfira o sistema deum estado inicial para qualquer estado final, em um intervalo de tempo finito t0≤t≤t1. Se todo estado é controlável, então o sistema será considerado de estado completamente controlável.

Controlabilidade Considerando a solução para , sendo t0=0, dada por Aplicando a definição dada de controlabilidade completa de estado, temos ou Como então

Controlabilidade Definindo então

Controlabilidade Se o sistema for de estado completamente controlável, então, dado qualquer estado inicial x(0), Deverá ser satisfeita. Para isso, a matriz nxn deverá ser de posto completo (posto n).

Controlabilidade O resultado obtido pode ser estendido para o caso onde o vetor de controle u tem dimensão r, de modo que o sistema passa a ser descrito como De modo que a condição para controlabilidade completa de estado requer que a matriz nxnr (matriz de controlabilidade) tenha posto n (n vetores coluna linearmente independentes).

Controlabilidade Exemplo: Considere o sistema dado por de modo que Logo, o sistema não é de estado completamente controlável!

Controlabilidade Forma alternativa de condição de controlabilidade completa de estado: Considere o sistema definido por Se os autovalores de A são distintos, então é possível encontrar uma matriz de transformação P de modo que: Vamos definir x=PZ, de modo que

Controlabilidade Exemplo: Considere o sistema dado por de modo que Logo, o sistema é de estado completamente controlável!

Controlabilidade Condição de controlabilidade completa de estado no plano s: Se houver pelo menos um cancelamento de termos da função de transferência, implicando em perda de grau de liberdade do sistema, então o sistema não é completamente controlável. Exemplo: Considere a seguinte função de transferência Observe que o termo s+2,5 é cancelado, de modo que o sistema perde um grau de liberdade, tornando-o não completamente controlável. A mesma conclusão pode ser obtida escrevendo a FT na forma de equação no espaço de estado é de posto 1≠n=2.

Controlabilidade Controlabilidade de Saída: Podemos desejar controlar a saída, em vez de controlar o estado do sistema. A controlabilidade completa de estado não é necessária e nem suficiente para controlar a saída do sistema, de modo que é necessário uma definição aparte sobre controlabilidade de saída. Considere o sistema Tal sistema será considerado de saída completamente controlável se for possível construir um vetor de controle u(t) não limitado que transfira qualquer saída inicial y(t0) para qualquer saída final y(t1) em um intervalo de tempo finito t0≤t≤t1. Logo, o sistema é de saída completamente controlável se e somente se a matriz mx(n+1)r tem posto m.

Controlabilidade Sistema não Controlável: é aquele que possui um subsistema que é fisicamente desconectado da entrada. Estabilidade: Para sistemas parcialmente controláveis, se os modos não controláveis forem estáveis e os modos instáveis forem controláveis, o sistema será considerado estabilizável. Por exemplo, o sistema definido por Não é de estado controlável. O modo estável que corresponde ao autovalor -1 não é controlável. O modo instável que corresponde ao autovalor 1 é controlável. Logo, esse sistema pode ser feito estável pelo uso de uma realimentação apropriada. Assim, o sistema é estabilizável.

Observabilidade Definição: Um sistema é dito observável no instante t0 se, com o sistema no estado x(t0), for possível determinar esse estado a partir da observação da saída durante um intervalo de tempo finito. Considere o sistema sem excitação, dado por Tal sistema será considerado completamente observável se todo estado x(t0) puder ser determinado pela observação de y(t) durante um intervalo de tempo finito t0≤t≤t1. Portanto, o sistema será completamente observável se cada transição do estado puder afetar cada elemento do vetor de saída.

Observabilidade O conceito de observabilidade é muito importante porque, na prática, algumas das variáveis de estado de um sistema não são acessíveis por medição direta, dificultando o controle por realimentação de estados. Observabilidade completa de sistemas de tempo contínuo: Considere o sistema descrito por O vetor de saída , onde Logo, ou

Observabilidade Portanto, se o sistema é completamente observável, então, dada a saída y(t) durante um intervalo de tempo 0≤t≤t1, x(0) é unicamente determinado por Isto requer que a matriz nmxn seja de posto n.

Observabilidade Condição de Observavilidade Completa: O sistema descrito por É completamente observável se e somente se a matriz nxnm (matriz de observabilidade) for de posto n.

Observabilidade Exemplo: Considere o sistema descrito por é controlável e observável? Solução: Uma vez que o posto da matriz é 2, então o sistema é completamente controlável. Para a controlabilidade de saída, analizamos o posto da matriz Como tal posto é igual a 1, então o sistema é de saída completamente controlável.

Observabilidade Exemplo: Considere o sistema descrito por é controlável e observável? Solução: Para analizar a condição de observabilidade, examinamos o posto da matriz O qual é igual a 2, de modo que o sistema também é completamente observável.