Prof. Marcone Sotéro marcone.sotero@pplt.joaquimnabuco.edu.br Método Dedutivo Prof. Marcone Sotéro marcone.sotero@pplt.joaquimnabuco.edu.br

Método Dedutivo Demonstramos implicações e equivalências pelo método das tabelas-verdade. Problema: O nvmero de linhas cresce muito rapidamente, à medida que aumenta o nvmero de proposições simples envolvidas no argumento. Com 10 proposições a tabela necessita de 1024 linhas, e com 11, o nvmero de linhas vai a 2048!

Método Dedutivo O método dedutivo também é um método para demonstração de implicações e equivalências. Como utilizar Aplicando propriedades, leis e regras apresentadas até aqui.

Método Dedutivo Demonstrar a implicação: P ^ Q => P Regra da Simplificação P ^ Q  P Condicional ~(P ^ Q) v P De Morgan (~P v ~Q) v P Associatividade (~P v P) v ~Q 3º Excluído (Tautologia) V v ~Q V

Método Dedutivo Demonstrar a implicação: (P  Q) ^ ~Q => ~P (Modus Tollens) (P  Q) ^ ~Q Condicional (~P v Q) ^ ~Q Distributividade (~P ^ ~Q) v (Q ^ ~Q) (Contradição) (~P ^ ~Q) Simplificação ~P ~P => ~P

Método Dedutivo Demonstrar a implicação: (P  Q) ^ ~Q => ~P (Modus Tollens) (P  Q) ^ ~Q Condicional (~P v Q) ^ ~Q Distributividade (~P ^ ~Q) v (Q ^ ~Q) (Contradição) (~P ^ ~Q) (~P ^ ~Q)  ~P ~(~P ^ ~Q) v ~P P v Q v ~P P v ~P v Q V v Q

Forma Normal das Proposições Diz-se que uma proposição está na forma normal (FN) se e somente se, quando muito, contém os conectivos ~, v,^. Exemplos: ~P ^ ~Q ~(~P v ~Q) (P ^ Q) v (~Q v R)

Forma Normal das Proposições Há duas espécies de FN para uma proposição: –Forma Normal Conjuntiva (FNC) –Forma Normal Disjuntiva (FND) São vteis em aplicações, principalmente em circuitos elétricos.

Forma Normal Conjuntiva (FNC) Diz-se que uma proposição está na FNC se e somente se são verificadas as seguintes condições: Está na FN; Não existe dupla negação; A disjunção não tem alcance sobre a conjunção (não há componentes do tipo P v (Q ^ R) ).

Forma Normal Conjuntiva (FNC) Exemplos: ~P ^ ~Q ~P ^ Q ^ R (~P v Q) ^ (~Q v ~R)

Forma Normal Conjuntiva (FNC) Determinar a FNC da proposição P  Q v ~R (P  (Q v ~R)) ^ ((Q v ~R)  P) Condicional (~P v (Q v ~R)) ^ (~(Q v ~R) v P) De Morgan (~P v (Q v ~R)) ^ ((~Q ^ R) v P) Distributividade (~P v (Q v ~R)) ^ ((P v ~Q) ^(P v R)) (~P v Q v ~R) ^(P v ~Q) ^(P v R)

Forma Normal Disjuntiva (FND) Diz-se que uma proposição está na FND se e somente se são verificadas as seguintes condições: Está na FN; Não existe dupla negação; A conjunção não tem alcance sobre a disjunção (não há componentes do tipo P ^ (Q v R)).

Forma Normal Disjuntiva (FND) Exemplos: ~P v Q P v (~Q ^ R) (~P ^ Q) v (P ^ Q ^ R)

Forma Normal Disjuntiva (FND) Determinar a FND da proposição (P  Q) ^ (Q  P) (~P v Q) ^ (~Q v P) ((~P v Q) ^ ~Q) v ((~P v Q) ^P) (((~P ^ ~Q) v (Q ^ ~Q)) v ((~P ^ P) v (Q ^ P))) (~P ^ ~Q) v (Q ^ ~Q) v (~P ^ P) v (Q ^ P)

Argumentos Exemplificando, a “condicional associada” ao argumento: P ^ ~Q, P  ~R, Q v ~S ├ ~(R v S) é: (P ^ ~Q) ^ (P  ~R) ^ (Q v ~S)  ~(R v S) e o “argumento correspondente” à condicional: (P  Q v R) ^ ~S ^ (Q v R  S)  (S  P ^ ~Q) P  Q v R, ~S, Q v R  S ├ (S  P ^ ~Q)

Argumentos Argumentos válidos fundamentais ou básicos: Adição (AD) P ├ P v Q Simplificação (SIMP) P ^ Q ├ P Conjunção (CONJ) P, Q ├ P ^ Q Absorção (ABS) P  Q ├ P  (P ^ Q) Modus Ponens (MP) P  Q, P ├ Q Modus Tollens (MT) P  Q, ~Q ├ ~P

Argumentos Argumentos válidos fundamentais ou básicos: P v Q, ~P ├ Q Silogismo Disjuntivo (SD) P v Q, ~P ├ Q Silogismo hipotético (SH) P  Q, Q  R ├ P  R Dilema Construtivo (DC) P  Q, R  S, P v R ├ Q v S Dilema Destrutivo (DD) P  Q, R  S, ~Q v ~S ├ ~P v ~R

Regras de Inferência Os argumentos básicos são usados para fazer inferências, e por isso chamam-se também regras de inferência. Regras de Inferência permitem gerar formas de argumentos numa série de etapas simples e precisas de raciocínio chamada prova ou derivação. Cada etapa numa derivação é uma instância de uma das regras de inferência.

Regras de Inferência Para escrever uma regra, utiliza-se a forma padrão: premissas sobre um traço horizontal e, em seguida, a conclusão sob o mesmo traço. –Regra da Adição (AD): P ____ P v Q –Regra Modus Ponens (MP): P  Q _____ Q

Regras de Inferência Exemplos de usos das regras de inferência: Regra Modus Ponens: Permite deduzir Q (conclusão) a partir de P  Q e P (premissas): a) (1) ~P  ~Q (2) ~P (3) ~Q (1) X ≠ 0  X + Y > 1 (2) X ≠ 0 (3) X + Y > 1

Regras de Inferência Regra do Silogismo disjuntivo: Permite deduzir da disjunção P v Q de duas proposições e da negação ~P (ou ~Q) de uma delas a outra proposição Q (ou P) : a) (1) (P ^ Q) v R (2) ~R (3) (P ^ Q) (1) X = 0 v X = 1 (2) X ≠ 0 (3) X = 1