Análise de Decisão Aplicada a Gerência Empresarial – UVA Grafos - V Bibliografia: GOMES, Carlos – Apendice C Prof. Felipe Figueira www.felipefigueira.com xreeve@yahoo.com

Conceitos Básicos A teoria dos grafos é um ramo da matemática que estuda as relações entre os objetos de um determinado conjunto. G(V,A) onde V é um conjunto não vazio de objetos denominados vértices e A é um conjunto de pares não ordenados de V, chamado arestas. Se as arestas têm uma direção associada (indicada por uma seta na representação gráfica) temos um grafo direcionado, grafo orientado ou digrafo. Um grafo com um único vértice e sem arestas é conhecido como o grafo trivial ou "o ponto".

Conceitos Básicos Geometricamente, um grafo é um conjunto de pontos (vértices ou nós) conectados por linhas (arestas). V = {v1, v2, ..., vn} |V| = n A = {a1, a2, ..., am} |A| = m G = (V, A) vértices arestas

Conceitos Básicos Um grafo direcionado (digrafo ou quiver) consiste de: - um conjunto V de vértices, - um conjunto A de arestas e - mapas s, t : A → V, onde s(a) é a fonte e t(a) é o alvo da aresta direcionada e. Um grafo não direcionado (ou simplesmente grafo) é dado por: - uma função w : A → P(V) que associa a cada aresta um subconjunto de dois ou de um elemento de V, interpretado como os pontos terminais da aresta.

Problema do caixeiro viajante O problema do caixeiro-viajante consiste na procura de um circuito que possua a menor distância, começando em qualquer cidade, entre várias, visitando cada cidade precisamente uma vez e regressando à cidade inicial.

Conceitos Básicos Uma aresta conecta dois vértices; esses dois vértices são ditos como incidentes à aresta. A valência (grau) de um vértice é o número de arestas incidentes a ele, com loops contados duas vezes. A ordem de um grafo é dada pela cardinalidade do conjunto de arestas. Cadeia (percurso) é a sequência de arestas adjacentes que ligam dois vértices.

Conceitos Básicos Dois vértices são considerados adjacentes ou vizinhos se existe uma aresta entre eles. Grafo é conexo quando se consegue estabelecer um caminho de qualquer vértice para qualquer outro vértice de um grafo. Grafo simples é um grafo não direcionado, sem laços e que existe no máximo uma aresta entre quaisquer dois vértices (sem arestas paralelas). No grafo de exemplo, (1, 2, 5, 1, 2, 3) é um caminho com comprimento 5, e (5, 2, 1) de comprimento 2.

Conceitos Básicos Grau de saída - o número de arestas saindo de um vértice. Grau de entrada - o número de arestas entrando em um vértice. O grau de um vértice é igual à soma dos graus de saída e de entrada. Grafo completo é o grafo simples em que, para cada vértice do grafo, existe uma aresta conectando este vértice a cada um dos demais. Ou seja, todos os vértices do grafo possuem mesmo grau. Kn: grafo completo com n nós número de arestas: n(n-1)/2.

Conceitos Básicos Grafo nulo é o grafo cujo conjunto de vértices é vazio. Grafo vazio é o grafo cujo conjunto de arestas é vazio. Grafo trivial é o grafo que possui apenas um vértice e nenhuma aresta. Grafo regular é um grafo em que todos os vértices tem o mesmo grau.

Conceitos Básicos Multigrafo é um grafo que permite múltiplas arestas ligando os mesmos vértices (arestas paralelas). Laço (loop) é uma aresta que conecta um vértice a ele mesmo Pseudografo é um grafo que contém arestas paralelas e laços. Ciclo (ou circuito) é um caminho que começa e acaba com o mesmo vértice. Ciclos de comprimento 1 são laços. No grafo de exemplo, (1, 2, 3, 4, 5, 2, 1) é um ciclo de comprimento 6.

Conceitos Básicos Um ciclo simples é um ciclo que tem um comprimento pelo menos de 3 e no qual o vértice inicial só aparece mais uma vez, como vértice final, e os outros vértices aparecem só uma vez. Um grafo chama-se acíclico se não contém ciclos simples.

Conceitos Básicos Caminho de a : Sequência P de vértices e arestas alternados, tais que cada aresta é incidente ao nó (vértice) anterior e ao nó posterior. P é um ciclo ou circuito. Caminho simples: cada vértice aparece exatamente uma vez. Comprimento de um caminho: número de arestas. Caminhos disjuntos em vértices/arestas: não têm vértices/arestas em comum.

Conceitos Básicos Árvore: grafo conexo sem circuitos. Floresta: grafo cujas componentes conexas são árvores. Um caminho é uma árvore? Sim!

Árvores de voos

Menor escala de Árvores de voos

Caminho Euleriano É um caminho em um grafo que visita cada aresta apenas uma vez. Com caso especial o Caminho Euleriano começa e termina no mesmo vértice. Precisam ter grau par. Um grafo G conexo possui caminho Euleriano se e somente se ele tem no máximo dois vértices de grau ímpar, que são justamente a entrada e saída.

Pontes de Königsberg - Kaliningrado, na Rússia Possibilidade de atravessar todas as pontes sem repetir nenhuma.  Transformou os caminhos em retas e suas intersecções em pontos, criando possivelmente o primeiro grafo da história. Percebeu que só seria possível atravessar o caminho inteiro passando uma única vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou dois pontos de onde saísse um número ímpar de caminhos.

Caminho Hamiltoniano Caminho Hamiltoniano ou caminho rastreável é um caminho que visita cada vértice exatamente uma vez. Um grafo é Hamilton-conectado se para cada par de vértices existe um caminho Hamiltoniano entre os dois vértices.

Conceitos Básicos Matriz de adjacência: Uma linha para cada nó Uma coluna para cada nó aij = 1  (i , j )  A aij = 0  (i , j )  A a23 1 2 3 4 a12 a13 a24 a34

Matriz de incidência nó-arco: Conceitos Básicos Matriz de incidência nó-arco: Uma linha para cada nó Uma coluna para cada aresta a1 1 2 a4 a3 a2 a5 4 3

Matriz de incidência nó-arco: Conceitos Básicos Matriz de incidência nó-arco: Uma linha para cada nó Uma coluna para cada aresta a1 1 2 a4 a3 a2 a5 4 3

Charles Chaplin “A vida é uma peça de teatro que não permite ensaios. Por isso, cante, chore, dance, ria e viva intensamente, antes que a cortina se feche e a peça termine sem aplausos”.