Professor : Neilton Satel Aula de Matemática Professor : Neilton Satel 02 de setembro 2014 Bom dia!

POLÍGONO é figura plana limitada por uma linha poligonal fechada, ou seja, os polígonos precisam ser figuras fechadas. POLÍGONO vem do grego e quer dizer muitos (poly) e ângulos (gon).

Polígonos Definição Chama-se polígono toda linha poligonal fechada simples juntamente com os pontos da região interna que essa linha determina. As figuras a seguir são polígonos As figuras a seguir não são polígonos 3

São polígonos convexos São polígonos côncavos Polígonos convexos e polígonos côncavos Polígonos convexos Polígonos côncavos Um polígono se diz convexo quando o segmento de reta que une dois pontos quaisquer de sua região interna está sempre contido nela. Um polígono se diz côncavo quando existem dois pontos de sua região interna tais que o segmento de reta por eles determinado não está contido nela. A A B B São polígonos convexos São polígonos côncavos

Elementos de um polígono Polígonos Elementos de um polígono No polígono ABCDE ao lado temos que: Os segmentos são os lados do polígono; A Os pontos A, B, C, D, E são os vértices do polígono; E B Os segmentos são as diagonais do polígono; são os ângulos do polígono; D C Nota: Diagonal de um polígono é o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos desse polígono.

Num polígono regular destacamos: Polígonos Polígonos regulares Chama-se polígono regular a todo polígono que tem todos os lados congruentes e todos os ângulos congruentes (ângulos que possuem a mesma medida). A Num polígono regular destacamos: E B O O centro É o ponto que dista igualmente de todos os vértices do polígono. (Na figura ao lado é o ponto O.) D C M

Polígonos Nome dos polígonos De acordo com o número de ângulos, o polígono recebe um nome especial. Veja, no quadro abaixo, o nome de alguns polígonos: Número de lados Nome 3 Triângulo 9 Eneágono 4 Quadrilátero 10 Decágono 5 Pentágono 11 Undecágono 6 Hexágono 12 Dodecágono 7 Heptágono 15 Pentadecágono 8 Octógono 20 Icoságono

Polígonos Soma das medidas dos ângulos internos: Soma das medidas dos ângulos externos: Ângulos internos de um polígono regular: Ângulos externos de um polígono regular: Número de diagonais de um polígono: 8

hipotenusa2 = cateto2 + cateto2 Triângulos ― classificação Quanto aos ângulos Quanto aos lados Acutângulo: possui três ângulos agudos. Equilátero: três lados de mesma medida. Obs.: os três ângulos internos têm medidas de 60º. Retângulo: possui dois ângulos agudos e um ângulo reto. Obs.: pode ser aplicado o teorema de Pitágoras: hipotenusa2 = cateto2 + cateto2 Isósceles: dois lados de mesma medida. Obs.: os ângulos opostos aos lados congruentes também são de mesma medida. Obtusângulo: possui dois ângulos agudos e um obtuso. Escaleno: três lados de medidas diferentes entre si. 9

Quadriláteros São polígonos de quatro lados em que a soma das medidas dos ângulos internos é 360º. Quanto aos ângulos Quanto às diagonais Quanto aos lados Paralelogramo Ângulos opostos congruentes e ângulos adjacentes suplementares. Encontram-se no seu ponto médio. Lados opostos congruentes. Retângulo Quatro ângulos retos. São congruentes. Losango São perpendiculares entre si e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos do losango. Quatro lados congruentes. Quadrado Encontram-se no seu ponto médio e são congruentes. 10

Quadriláteros Os trapézios são quadriláteros que têm apenas um par de lados paralelos, chamados base maior e base menor. Trapézio retângulo É todo trapézio que tem dois ângulos retos. Nele, um dos lados que não é base é perpendicular às duas bases. Trapézio isósceles É todo trapézio que tem dois lados não paralelos congruentes. 11

Ângulos em uma circunferência Ângulo central: É um ângulo que tem como vértice o centro da circunferência e seus lados passam por pontos pertencentes a ela. Ângulo inscrito: É um ângulo que tem como vértice um ponto da circunferência e cujos lados passam por dois outros pontos da circunferência, determinando nela duas cordas. Ângulo de segmento: É um ângulo que tem como vértice um ponto da circunferência, um lado secante à circunferência e outro tangente a ela. Se um ângulo central e um ângulo inscrito em uma circunferência tem o mesmo arco, então a medida do ângulo central é o dobro da medida do ângulo inscrito.

Relações métricas na circunferência Segmento secante e segmento tangente a partir de um mesmo ponto: Cruzamento de duas cordas: Dois segmentos secantes a partir de um mesmo ponto: 13

Polígonos regulares inscritos na circunferência Polígono regular é aquele que possui todos os lados (l) congruentes e todos os ângulos congruentes. Apótema (a) é um segmento com uma extremidade no centro da circunferência e outra no ponto médio de um dos lados do polígono. Ele também equivale ao raio da circunferência inscrita ao polígono. Raio da circunferência circunscrita (r) é o segmento com uma extremidade no centro da circunferência e a outra na própria circunferência. 14

Áreas: medidas de superfície Área do quadrado, do retângulo e do paralelogramo Quadrado Retângulo Paralelogramo 15

Áreas: medidas de superfície Área do triângulo Área do triângulo com o auxílio da trigonometria Área do triângulo sendo conhecido os três lados Área do triângulo equilátero Área do triângulo 16

Áreas: medidas de superfície Área do trapézio e do losango Trapézio Losango 17

l Áreas: medidas de superfície Área de polígonos regulares (l) lado do polígono (a) apótema (n) número de lados do polígono (p) semiperímetro l 18

l Áreas: medidas de superfície Área do círculo e do setor circular 19

Resolução de triângulos quaisquer Resolução de triângulos retângulos a = hipotenusa b = cateto oposto ao ângulo a c = cateto adjacente ao ângulo a 30º 45º 60º sen cos tg 20