Perímetros Perímetro de um polígono O perímetro é obtido calculando-se a soma das medidas de comprimento de seus lados. Exemplo: PAULO MANZI / ARQUIVO DA EDITORA 73 m 100 + 73 + 100 + 73 = 346 m 100 m

Comprimento da circunferência (perímetro do círculo) C = . d diâmetro raio C = 2 r centro 7,222 cm

Equivalência de perímetros 5 cm 5 cm 8 cm 3 cm 4 cm 2 cm 4 cm 7 cm 3 cm Os polígonos têm equivalência de perímetros, pois todos eles têm perímetro igual 20 cm.

Área é a medida de uma superfície. Área de uma superfície Área é a medida de uma superfície. Exemplo: Equivalência de áreas

Uma curiosa forma de cálculo de área Pontos da fronteira e pontos interiores Exemplo: f: número de pontos da fronteira i: número de pontos interiores f = 9 i = 6

A fórmula procurada Escreva f 11 Exemplo: Multiplique f por Some i a esse número + 4 ou Subtraia 1 do resultado – 1 ou A = – 1

Fórmulas para o cálculo de áreas Área de uma região retangular ℓ a (medida da largura ou da altura) ℓ ℓ b (medida do comprimento ou da base) ℓ A = b . a A = ℓ . ℓ ou A = ℓ2 Área de uma região limitada por um paralelogramo a (medida da altura) A = b . a b (medida da base)

Área de uma região triangular altura a base b Área de uma região poligonal regular Para determinar a área de uma região poligonal regular de n lados, decompomos essa região em n regiões triangulares e, em seguida, determinamos a área total. a A = n . b

Área de uma região limitada por um losango Área do triângulo: d A = 2 . = d . =

Área de uma região limitada por um trapézio Links para ambiente online base menor b B B a altura base maior B b b Área do paralelogramo: (B + b) . a A =

Volume de um sólido geométrico Equivalência de volumes Os volumes das duas formas geométricas são iguais, portanto elas são equivalentes em seus volumes.

Fórmulas para o cálculo da medida de volume Volume de um paralelepípedo c b a V = a . b . c

Volume de um prisma qualquer O volume de um prisma qualquer é igual ao produto da área da base pela medida da altura. a a B (área) B (base) V = B . a

Volume de uma pirâmide área da base altura V = a c b

Planificações de formas geométricas espaciais (ou sólidos geométricos)

Poliedros regulares Poliedros regulares são aqueles cujas faces são regiões poligonais regulares iguais e, nos quais, para todo vértice, converge o mesmo número de arestas. Têm como contorno um polígono regular Exemplos:

C B A D E As figuras A, B e D são poliedros, enquanto as figuras B e E não são, pois têm partes arredondadas. sem reentrância com reentrância Os poliedros A e C são convexos, pois não têm reentrâncias, e o poliedro D não é convexo porque tem reentrância. Entre os poliedros convexos, temos os poliedros regulares. No caso apenas o poliedro A é regular, pois é o único entre os dois convexos que tem regiões poligonais regulares iguais.

Algumas representações de sólidos geométricos no plano Malha pontilhada

Malha quadriculada Link para ambiente online

Malha triangular

Vista lateral esquerda Vistas de um sólido geométrico Vista de baixo Vista de cima Vista lateral direita Vista lateral esquerda Vista de frente Vista de trás

Perspectiva: outra representação de figuras tridimensionais no plano Perspectiva é a representação dos objetos como eles são vistos. É uma representação tridimensional.

Desenho em perspectiva PF LH PF LH

Representação em perspectiva na linha do horizonte LH PF

Medidas de tendência central Média aritmética Você já estudou esse conteúdo; vamos relembrar com um exemplo? 2 3,5 1 2,5 9 3 1 10 Calculamos a média aritmética das notas efetuando: 2 + 3,5 + 1 + 2,5 + 9 + 3 + 1 + 10 8 MA = MA = MA = 4,0 Logo, a média aritmética das notas dos oito alunos na competição de dança foi 4,0.

Média aritmética ponderada Você lembra de que dependendo da importância atribuída a cada dado, podem ser associados a ele certos fatores de ponderação (pesos)? Vamos ver um exemplo! Em um concurso para cães, os participantes foram julgados de acordo com determinados requisitos, e para cada um deles foi atribuído um peso: beleza: peso 1; destreza: peso 2; porte: peso 3. Douglas levou seu cão Machado e obteve: beleza: 7,5 destreza: 9 porte: 7 Calculando a média aritmética ponderada tem-se: = = Média = 7,75 1 + 2 + 3 Assim, a média aritmética ponderada de Machado foi 7,75.

Mediana Há situações em que dentro de um conjunto de dados há valores muito menores ou muito maiores que os demais, resultando em uma média que não representa a realidade do conjunto. Nesses casos, é conveniente utilizar a mediana. No exemplo abaixo, tem-se a altura em centímetros de cinco adolescentes. Liz 165 cm 168 cm 171 cm 157 cm 152 cm Cris Rô Ju Ma MAURO SOUZA / ARQUIVO DA EDITORA

Vamos colocá-las em ordem crescente! ILUSTRAÇÕES: MAURO SOUZA / ARQUIVO DA EDITORA A mediana é o valor do meio... ... então a mediana é 165 cm! Escrevemos Me = 165.

Vamos colocá-las na ordem crescente de novo! Suponha que uma sexta adolescente, que possui 167 cm, junte-se ao grupo. Vamos colocá-las na ordem crescente de novo! ILUSTRAÇÕES: MAURO SOUZA / ARQUIVO DA EDITORA Vamos colocá-las na ordem crescente de novo! Agora temos dois valores no meio... ... então a mediana é a média dos dois valores! Me= =166.

Qual seu esporte favorito entre ciclismo, natação ou basquete? Moda As medidas apresentadas até agora são formas de representar conjuntos de dados quantitativos. Mas e os dados qualitativos? Qual medida utilizar numa pergunta como: Qual seu esporte favorito entre ciclismo, natação ou basquete? JEFF KAUFMAN / GETTY IMAGES CHAD MCDERMOTT / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES WARREN GOLDSWAIN / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES

Não! Pois os dados não são numéricos! Suponha que, entre uma turma de 20 alunos, as respostas foram: 12 alunos preferem basquete; 5 alunos preferem natação; 3 alunos preferem ciclismo. É conveniente fazer a média desses dados? E a mediana? Não! Pois os dados não são numéricos! Então precisamos utilizar uma medida de tendência central que seja apropriada para esses dados: a moda! Chamamos de moda o elemento de maior frequência no conjunto. No exemplo anterior, o moda é o basquete, ou seja, Mo = basquete.

Probabilidade Experimento aleatório e espaço amostral Durante um jogo de tabuleiro, Bruna e Lucas jogam um dado de seis lados. MAURO SOUZA / ARQUIVO DA EDITORA Em 7 jogadas diferentes, Lucas obteve os seguintes valores:

Se em condições idênticas jogarmos um dado repetidas vezes podemos prever qual face cairá voltada para cima? Não! Os resultados são imprevisíveis e por isso denominamos o lançamento de um dado um experimento aleatório. Retomando o exemplo do jogo de tabuleiro, para cada jogada do dado, os resultados possíveis são: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Esses valores correspondem ao espaço amostral que representamos por U (de “Universo”). Assim, no exemplo o espaço amostral é U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Ou seja, Bruna precisava tirar 5 ou 6! Evento O jogo de Bruna e Lucas estava chegando ao fim e Bruna precisava tirar um número maior ou igual a cinco para ganhar. Ou seja, Bruna precisava tirar 5 ou 6! Esse conjunto de valores que podem dar vitória a Bruna é um subconjunto do espaço amostral U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. MAURO SOUZA / ARQUIVO DA EDITORA Esse subconjunto é denominado evento e geralmente é representado por uma letra maiúscula (A, B, C, ...). Então, o evento “sair um número maior que cinco” pode ser representado por A = {5, 6} .

Cálculo de probabilidade A probabilidade é a chance de ocorrer um evento, por exemplo uma moeda cair com a face “cara” voltada para cima. Então podemos escrever que: = P(A) = Vamos entender com um exemplo! Lurdes jogou um dado de 6 faces durante um jogo de tabuleiro. Qual a probabilidade de ela tirar um número par? Chamaremos o evento “obter um número par” de A, assim A = {2, 4, 6} ou seja, n(A) = 3. O espaço amostral é U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, então o número de resultados possíveis é n(U) = 6. A probabilidade então é: P(A) = ou 50%. =

Evento impossível e evento certo O professor Paulo vai sortear um livro de aventuras entre seus 30 alunos. Para isso ele escreveu em pedaços de papel os números de 1 a 30. Qual a probabilidade de ele sortear um número maior que 40? O número de resultados favoráveis é zero, pois não há no espaço amostral nenhum número maior do que 30! Como o espaço amostral é composto de papéis com números de 1 a 30, n(U) = 30. Denominando o evento como A temos que n(A) = 0. = Logo, a probabilidade é: P(A) = P(A) = 0 Portanto a probabilidade de o professor sortear um número maior que 40 é zero, ou seja, nunca ocorrerá! Eventos que nunca ocorrerão são chamados de eventos impossíveis.

Agora, vamos calcular a probabilidade de o professor sortear um número menor ou igual a 30? O número de resultados favoráveis é 30, pois entre os números de 1 a 30 há 30 números que são menores ou iguais a 30. O espaço amostral continua o mesmo. Como o espaço amostral é composto de papéis com números de 1 a 30, n(U) = 30. Denominando o evento como B temos que n(B) = 30. = Logo, a probabilidade é: P(B) = P(B) = 1 ou 100% Portanto a probabilidade de o professor sortear um número menor ou igual a 30 é 1, ou seja, sempre ocorrerá! Eventos que sempre ocorrerão são chamados de eventos certos.

3 6 2 5 4 Eventos equiprováveis e eventos não equiprováveis Ao lançar um dado de seis faces a probabilidade de cada face sair é . Ou seja, os eventos têm a mesma probabilidade e os chamamos de eventos equiprováveis. Imagine agora um dado que não possui uma face com o número 1 e possui duas faces com o número 6. 3 6 2 5 4 Qual a probabilidade de sair a face com o número 1 voltada para cima? E com o número 4? P(B) = E com o número 6? P(A) = 0 Esse evento é impossível! Esses eventos não têm a mesma probabilidade, então os chamamos de eventos não equiprováveis. P(C) = =