LÓGICA PROPOSICIONAL ou CÁLCULO PROPOSICIONAL A validade ou falsidade de um argumento Disciplina: Inteligência Artificial Universidade de Itaúna César Augusto Oliveira cesaroliveira18@hotmail.com

Relembrando... Sentença – ligação de palavras – não posso julgar nada: “Se chover na quarta-feira, não haverá aula”. Se p, então q “Não choveu na quarta-feira, logo, teve aula.” ~p, então q Inferir – levar para – uma proposição leva a outra – concluir a partir de proposições, formando argumentos: Argumento dedutivo: Todos os cães são mamíferos. Premissa O pastor alemão é uma raça de cão. Premissa Logo, o pastor alemão é mamífero. Conclusão

Argumento Analógico: - Deve ter um determinado tipo de vida em Marte, já que existe vida na Terra. Argumento Indutivo: Um cientista verificou que muitos peixes morreram no rio dos Sinos em função da contaminação da água do rio por um determinado produto químico. O cientista, em virtude de sua pesquisa, alertou a sociedade que todos os peixes que entrarem em contato com aquele produto químico morrerão. A + B +C +D ..... = Conclusão Z

Mercúrio é um planeta e gira em torno do sol Mercúrio é um planeta e gira em torno do sol. Marte é um planeta e gira em torno do sol. Vênus é um planeta e gira em torno do sol. Então, podemos concluir que todos os planetas que compõem a via láctea giram em torno do sol. A + B +C +D ..... = Conclusão Z

Lógica proposicional É uma parte da lógica simbólica que estuda as formas de argumentos, utilizando símbolos para representar as proposições e as conexões que se estabelecem entre elas. Podemos usar letras do alfabeto, números, parênteses, chaves e sinais específicos.

Lógica proposicional Sintaxe: especifica como escrever uma sentença corretamente (símbolos permitidos e como eles podem ser arranjados). Semântica: especifica como encontrar o “significado” de uma sentença. Define o valor verdade da sentença em relação ao seu mundo.

"O senador renunciou" (particular afirma­tiva); Proposições simples e compostas: As proposições simples são formadas por um sujeito e um predicado, podendo ser gerais ou parti­culares, afirmativas ou negativas. Por exemplo: "O senador renunciou" (particular afirma­tiva); "O senador não renunciou" (particular negativa).

As proposições compostas ocorrem quando duas ou mais proposições são interligadas pelos seguintes conectivos lógicos ou operadores lógicos: "e", "ou", "se ... , então ... ”, "se e somente se", constituindo res­pectivamente proposições conjuntivas, disjuntivas, de implicação (ou condicionais) e de equivalência (ou bicondicionais).

"Fulano é senador e o mandato de senador é de oito anos". (conjuntiva) EXEMPLOS: "Fulano é senador e o mandato de senador é de oito anos". (conjuntiva) "O senador renuncia ou o senador será cassado". (Disjuntiva) "Se o senador renunciou, então não cumpriu seu mandato". (Implicação - condicional) "O senador seria cassado se e somente se per­manecesse em seu cargo". (Equivalência - bicondicional)

SÍMBOLOS PARA REPRESENTAR OS CONECTIVOS: negação conectivo "não“ representado por um til “ ~ “. conjunção (juntar) conectivo "e“ representado por um ponto "." Outros preferem "&" ou " Λ". disjunção (separar) conectivo "ou“ representado por "V" ou “W“ Porque pode ser de dois tipos: inclusiva ou exclusiva.

Uma escolha exclui a outra, se uma é verdadeira, a outra é falsa. - Inclusiva – inclui: “Vamos ao cinema de ônibus ou de carro”. “V” Tanto podemos ir de uma maneira ou de outra, sendo as duas alternativas ver­dadeiras. - Exclusiva - exclui: é uma alternativa ou outra – “Na oferta especial da semana, comprando um notebook, você pode escolher um ipod ou um tablete de graça”. “W” Uma escolha exclui a outra, se uma é verdadeira, a outra é falsa.

Implicação (condicio­nal) conectivo "se. , então Implicação (condicio­nal) conectivo "se ... , então .. “, represen­tado por “ ” A equivalência (bicondicionalidade ou bi-im­plicação) conectivo "... se e somente se" representado pelo sinal“ ” Obs.: A conclusão de um argumento pode ser simbolizada com .˙. , chamados traços de asserção.

As proposições simples são simbolizadas apenas por p As proposições compostas simbolizadas com as letras p e q, interligadas pelos conectivos. Para a proposição simples, apenas substituímos a sentença "O senador renunciou" por p e "O senador não renunciou" por ~p. Quanto às proposições compostas, simbolizamos na ordem em que elas aparecem no início deste item: b) p . q c) p v q /p w q d) p q e) p q

Tabela Verdade validade ou invalidade dos argumentos: - Princípio de bivalência – atribuição de valores de verdade às sentenças - toda proposição é verdadeira ou falsa, não havendo outro valor de verdade que ela possa tomar. os enunciados verdadeiros têm o valor de verdade verdadeiro (V). os enunciados falsos têm o valor de verdade falso (F).

a) Negação Considerando os enunciados: "O senador renun­ciou" - p "O senador não renunciou“ - ~p Substituímos a primeira sentença pela letra "p" e a segunda sentença por "~p" - que pode ser lido como: "é falso que o sena­dor renunciou". p ~p V F F V Lembrando que se uma for verda­deira, a outra é falsa. Ou seja, se é verdadeiro que "O senador renunciou" (p), é falso dizer que "O senador não renun­ciou" (~p) e vice-versa.

p q p . q V F b) Conjunção Retomando o enunciado composto "Fulano é sena­dor - p e o mandato de senador é de oito anos“ - q teremos: p . q / p & q /p Λ q p q p . q V F O valor de verdade de p.q verdadeiros se p e q forem verdadeiros.

c) Disjunção A disjunção pode ser inclusiva e exclusiva. Na sentença "Podemos ir ao cinema de ônibus ou de carro“ P - ônibus e q - carro. Sabendo que se trata de uma disjuntiva inclusiva, simboli­zamos p v q Na sentença "Na oferta especial você pode esco­lher ipod ou notebook', estamos diante de uma disjun­tiva exclusiva, que simbolizamos p w q As duas tabelas de verdade sofrem, portanto, uma alteração:

O valor de verdade de pvq é falso se somente se p e q forem falsos. Observe que a diferença, nas duas tabelas, é notada na primeira linha abaixo da risca: no quadro da disjunção exclusiva, os dois enunciados não podem ser verdadeiros ao mesmo tempo. Disjuntiva Inclusiva Disjuntiva Exclusiva p q p v q V F p q p w q V F O valor de verdade de pvq é falso se somente se p e q forem falsos. O valor de verdade de pwq é falso sempre que p e q forem iguais.

d) Implicação (condicional) No enunciado condicional, uma sentença implica a outra. Em um enunciado condicional verdadeiro, não se pode ter o antecedente verdadeiro e o consequente falso. "Se o senador renunciou, então não cumpriu seu mandato", isso significa que do enunciado "o senador renunciou" p, conclui-se que "ele não cumpriu seu mandato" q. Conclui que:

Se o senador renunciou, - p então não cumpriu seu mandato - q p q V F Nesse caso, em um enunciado condicional verdadeiro não se pode ter o antecedente verdadeiro e o consequente falso. O valor de verdade de p q é falso se e somente se p for verdadeiro e q for falso

p q P q V F e) Equivalência é bicondicional, porque se dá nos dois sentidos. O senador seria cassado - p se e somente se permane­cesse no seu cargo - q. p q P q V F O valor de verdade de p q é verdadeiro se e somente se p e q forem ambos verdadeiros e falsos.

RESUMO VALOR DE VERDADE: Negação p ~p F V p q Conjunção p . q Disjunção p v q Condicional p q Bicondicional p q F V

Exemplo de um argumento: Se João toma remédio/, João melhora Exemplo de um argumento: Se João toma remédio/, João melhora. p q João tomou remédio. p Logo, João melhorou. q Formalização do argumento: p q, p .˙. q

Exercícios: 1. Expresse a forma de cada sentença na notação do cálculo proposicional, interpretando cada proposição segundo a regra: C – está chovendo N – está nevando a) Está chovendo. b) Não está chovendo. c) Está chovendo ou nevando. d) Está chovendo e nevando. e) Está chovendo, mas não está nevando.

2) Analise as proposições abaixo e identifique qual é a sentença que representa. p – Se Pedro é estudioso q – ele passará no ENEM. p – No caso de você passar no ENEM q – você entrará na Universidade. p – Você passará no vestibular q – somente se estudar muito. p – Não é verdade que tenho medo. p – Estou com frio q – apesar disso posso trabalhar.

Considere o seguinte quadro de verdade, onde "V" é verdadeiro, "F" é falso, "~" é o símbolo de negação e " . " é o símbolo de conjunção: a) F – F – F – V b) F – F – V – F. c) F – V – F – F d) V – F – V – F e) V – V – F – V p V F q (~p).q  

Exercícios:

Respostas:

Referências: ARANHA, Maria Lúcia de Arruda. Temas de Filosofia. 3ª ed. São Paulo: Moderna, 2005. CHAUÍ, Marilena. Filosofia. (Série Novo Ensino Médio). São Paulo: Ática, 2002. COTRIM, Gilberto. Fundamentos da Filosofia. São Paulo: Saraiva, 2006.