Análise de Sistemas Dinâmicos Lineares Sistemas e sinais Eugênio Pacelli - CES

Sinais – Implica um conjunto de informações ou dados. Ex.: Sinais de T.V., Telefone, vendas mensais de uma corporação etc. Nos exemplos acima , todos são funções de variáveis independentes do tempo Sistemas – É uma entidade que processa um conjunto de sinais (entradas) para obter um outro conjunto de sinais (saída). Os quais podem modificá-lo ou extrair informações adicionais. Ex.: Bateria anti-aérea ( Conhecimento futuro das posições dos alvos) Tamanho do Sinal - É um número que indica a grandeza ou intensidade desta entidade. Tal medida não pode ser considerada apenas a amplitude, mas também a sua duração.

Energia do Sinal- Podemos considerar a área abaixo de um sinal x(t) como uma possível medida de seu tamanho. Portanto esta medida é defeituosa pois sua áreas positivas e negativas podem se anular. A correção é feita por: 1 Para um sinal complexo x(t), é dada por: 2

Potência do sinal- A energia do sinal deve ser finita, para uma medida significativa do tamanho do sinal. Sendo condição necessária que a amplitude do sinal→0 quando |t|→∞, caso contrário a equação 1 não irá convergir.

Quando a amplitude do sinal x(t) não →0 quando |t| →∞, a energia do sinal é infinita. Uma medida mais significativa do tamanho do sinal é a energia média, chamada de potência do sinal. 3 Generalizando para um sinal complexo temos: 4

A potência do sinal Px é uma média temporal do quadrado da amplitude do sinal. A raiz quadrada de Px é o já conhecido valor rms de x(t). Px = x(t)² = OBS.: A média de uma entidade ao longo de um grande intervalo de tempo existe se a entidade for periódica ou possuir uma regularidade estatística. Ex.: A função x(t) =t, aumenta indefinidamente, nem energia e nem potência existirão para este sinal.

Exercícios: 1-

2-

3-Determine as energias ou potência dos sinais abaixo, bem com os valores rms quando possível.

Classificação dos Sinais Sinais contínuos e discretos no tempo Sinais analógicos e digitais Sinais periódicos e não periódicos Sinais de energia e de potência Sinais determinísticos e probabilísticos

Sinais Contínuos e Discretos Sinal Contínuo no tempo Sinal Discreto no tempo

Sinais Analógicos e Digitais O sinal analógico muitas vezes é confundido com contínuo, que não são a mesma coisa, o mesmo valendo para discreto e digital. Um sinal cuja amplitude pode assumir qualquer valor em uma faixa contínua é um sinal contínuo. Isto significa que a amplitude de um sinal analógico pode assumir infinitos valores. Um sinal digital, por outro lado, é aquele cuja amplitude pode assumir alguns números finitos de valores. Os termos contínuo no tempo e discreto no tempo, qualificam a natureza do sinal ao longo do eixo de tempo (eixo horizontal). Os termos analógico e digital, qualificam a natureza da amplitude do sinal (eixo vertical).

Sinais Periódicos e não Periódicos Um sinal x(t) é dito periódico se para alguma constante positiva To, temos: x(t) = x(t+To) para todo t

Um sinal é não periódico se ele não possuir um período.

Sinais de Energia e Potência Um sinal de energia finita é um sinal de energia . Fig. (a) Um sinal com potência não nula finita é um sinal de potência. Fig. (b)

Sinais Determinísticos e Aletaórios Sinal determinístico – Descrição física é completamente conhecida, seja na forma matemática ou na forma gráfica; Sinal Aleatório – Valores não podem ser preditos precisamente, mas são conhecidos apenas em termos de uma descrição probabilística, tal como o valor médio quadrático

Operações com Sinais contínuos Deslocamento Temporal - Deslocamento em atraso Deslocamento em avanço

Exercício

Escalonamento Temporal A compressão ou expansão de um sinal é chamado de escalonamento temporal

Exercício

Reversão Temporal

Exercício Para o sinal x(t) mostrado abaixo, trace x(-t)

Operações Combinadas Certas operações complexas necessitam do uso simultâneo de mais de uma das operações descritas. A operação mais geral envolvendo todas as três operações é x(at-b), a qual é realizada em duas possíveis sequências de operação: Deslocamento temporal de x(t) por b para obter x(t-b). Realize, agora, o escalonamento temporal do sinal deslocando x(t-b) por a ( isto é, substitua t por at ), para obter x(at-b); Escalonamento temporal de x(t) por a para obter x(at). Realize, agora, o deslocamento temporal de x(at) por b/a ( isto é, substitua t por t-(b/a)) para obter x(a(t-b/a)) = x(at-b). Em qualquer dos casos, se a for negativo, o escalonamento no tempo também envolve reversão temporal.

Operações com sinais Discretos Deslocamento – Considere o sinal x[n] e usando os mesmos artifícios dos sinais contínuos no tempo, obtemos:

Reversão no Tempo- É rotacionar x[n] com relação ao eixo vertical para obter o sinal revertido no tempo x[-n]

Alteração da Taxa de Amostragem É similar ao escalonamento temporal de sinais contínuos no tempo. Decimação - Xd[n] = X[Mn] , onde M é inteiro positivo, que reduz o número de amostras pelo fator M. Geralmente resulta na perda de dados

Expansão- Somente existem quando n/2 é inteiro para n par.

Interpolação- O número de amostragem é aumentada. Neste processo o tempo é expandido e inserido amostras em falta utilizando uma interpolação

Modelos Úteis de Sinais Contínuos – Função Degrau Unitário – u(t)- Se quisermos um sinal que comece em t=0, o multiplicamos pela função degrau unitário. Ex:

Podemos usar a função degrau para descrever outras funções. Ex: Descreva a função abaixo em termos de funções degrau 1- 2- 3-

2- Função Impulso Unitário – δ(t)- É uma das funções mais importantes no estudo de sinais e sistemas. Foi determinada por Dirac. Podemos visualizar um impulso como um pulso retangular alto e estreito com área unitária. A largura deste pulso retangular é um valor muito pequeno ε→0. Consequentemente a sua altura é muito grande.

Aproximações de um pulso, onde:

Multiplicação de uma Função por um Pulso Se multiplicarmos uma função contínua Φ(t) por δ(t), teremos que: Φ(t). δ(t) = Φ(0). δ(t) Se o impulso for deslocado por T, teremos: Φ(t). δ(t-T) = Φ(T). δ(t-T)

Propriedades O que quer dizer que: ou Donde concluímos:

3_ Função Exponencial – est S é um número complexo dado por: Então, Para o conjugado temos:

Temos os seguintes casos especiais: Uma constante k = ke0t (S=0) Uma exponencial monotônica et ( w=0, s= ) Uma senoidal coswt ( =0, S=  jw ) Uma senóide variando exponencialmente et coswt (s=  + j w)

4- Funções Pares e Ímpares

Propriedades Área – Para o função par, devido à sua simetria em relação ao eixo vertical, temos: Para o função impar, devido à sua simetria relação ao eixo horizontal, temos:

Todo sinal x(t) pode ser descrito como a soma de componentes pares e ímpares: Exercício: 1- Dado a função , determine as componentes Pares e ímpares da função e esboce os gráficos. 2- Determine as componentes pares e ímpares de ejt

1-

Discretos - 1-

2- A função degrau unitário u[n] é definida por:

Exercício - Descreva o sinal b,como uma única expressão validade para todo n. Resposta:

3- Exponencial Discreta no tempo – yn A exponencial contínua no tempo pode ser expressa em forma alternativa por : et = Yt ( Y = e ou = lnY ) A exponencial discreta no tempo Yt também pode ser expressa usando a base natural por: en = Yn ( Y = e ou = lnY ) en cresce exponencialmente se Re>0 e decresce exponencialmente se Re<0. Se =0 o sinal é constante ou oscila com amplitude constante.

4- Exemplo: = /12 radianos por amostra F= 1/24 ciclos/amostra

5- Usando a fórmula de Euler para descrever a exponencial ejn em termos de senóides da forma cos(n+) e vice versa

Sistemas Usados para processar sinal, modificando e extraindo informações deste. O sistema é caracterizado por entradas, saídas e modelo matemático.

Dados Necessários para Sistema Calcular Resposta Sabendo-se as condições iniciais, como a corrente do indutor e a tensão do capacitor, podemos ter as saídas para t0.

Classificação dos Sinais

1- Sistema Lineares e não Lineares Conceito de Linearidade É exemplo de sistema linear, quando a saída é proporcional à entrada, ou seja o homogeneidade do sistema. Havendo várias entradas atuando no sistema, o efeito de cada um pode ser somado e a linearidade permanece. C – Causa E - Efeito c1 – Causa 1 e1 – Efeito 1 C2 – Causa 2 E2 - Efeito 2

Resposta para um Sistema Linear Pelas duas propriedades descritas anteriormente, se multiplicarmos cada uma das causas ou entradas por um número k real ou imaginário, temos; Resposta para um Sistema Linear Entrada simples Saída simples Entrada múltipla Saída múltipla

Exercícios 1- 2- 3- Podemos então generalizar que o sistema composto pela equação diferencial abaixo é linear. Onde a e b são constantes ou funções

2- Sistemas invariantes e variantes no tempo