Um pouco de história da Geometria Antonio Carlos Brolezzi IME-USP www.ime.usp.br/~brolezzi brolezzi@usp.br

História dos conceitos geométricos – linha do tempo Américas China/Japão Grécia Índia Árabes Egito Europa Roma Mesopotâmia 3500 aC 500 1000 1500 700 aC 1 1200 aC 2014

Teorema de Pitágoras Geometria analítica Estereometria Semelhança História dos conceitos geométricos – linha do tempo Américas China/Japão Teorema de Pitágoras Grécia Índia Estereometria Semelhança Geometria analítica Árabes Egito Simetrias Europa Roma Mesopotâmia 3500 aC 500 1000 1500 700 aC 1 1200 aC 2014

Na matemática, os conceitos estão interligados Na matemática, os conceitos estão interligados. Qual é a sua definição de matemática?

Matemática é ciência dos padrões. Logo, geometria não é apenas uma área a parte da matemática. Sem geometria, não há: Números Álgebra Trigonometria Funções…

Com qual matemática você prefere trabalhar?

Competências matemáticas no ensino de geometria Experimentar Conjecturar Representar Comunicar Argumentar

Matemática como ciência humana: história

Espaço sensível e espaço geométrico: Filósofo grego. Discípulo de Sócrates. Platão era um apelido que, provavelmente, fazia referência à sua caracteristica física, como seus ombros largos. Na Academia de Platão, se dizia a quem entrava: “Quem não souber geometria não entre aqui” Platão de Atenas (428—347 a.C.) Espaço sensível e espaço geométrico: conceitos platônicos

História das idéias geométricas Simetrias

SIMETRIAS

Conexões entre geometria, natureza e arte Os três conceitos da simetria: Translação Reflexão Rotação

Translação

Translação: Atividades de translação envolvem: Sequencias geométricas: Contagem; Álgebra; Arte matemática; Funções e gráficos: coeficiente linear.

Reflexão

Reflexão: Atividades de reflexão envolvem: Dobraduras; Função módulo; Funções e gráficos: funções inversas.

Rotação Centro de rotação

Rotação: Atividades de rotação envolvem: Ângulos, trigonometria; Funções e gráficos: coeficientes angulares.

Letras com Simetria por Reflexão

Simetria Rotacional com menos de 360º

Translação com reflexão

Técnicas de Translação

Simetria por Reflexão

Rotação de 90°

Conexões entre geometria, natureza, arte e arquitetura Atividade Conexões entre geometria, natureza, arte e arquitetura Programa Tess http://www.mat.ufrgs.br/~edumatec/software/softw.htm Programa para desenhar com simetrias

Esse programa permite trabalhar quais competências matemáticas no ensino de geometria? Experimentar Conjecturar Representar Comunicar Argumentar

Translação Refletida na obra de M. C. Escher

Ver outras obras de Escher, o artista das simetrias

Maurist Cornelis Escher (1898-1972)

Céu e Água I

Esboço para Répteis

Peixe e Barco

Dia e noite

Queda de água

Desenhando mãos

Faixa de Möebius II

Ciclo

O video arte matemática mostra exemplos dos conceitos da simetria.

http://www.tvcultura.com.br/ Artematematica Sites utilizados: http://www.tvcultura.com.br/ Artematematica http://www.mat.ufrgs.br/~edumatec/ software/softw.htm

Geometria analítica, cônicas e outras curvas.

Os gregos antigos estudaram curvas associadas ao cone fornecem formas geométricas muito interessantes, e a matemática está presente na vida e na natureza. Podemos enxergar as cônicas observando o corte que o plano da parede faz em um cone de luz emitido por uma lanterna.

As cônicas foram primeiro identificadas por Menaecmos em 340 aC e depois estudadas por Apolônio (262-200 aC).

As cônicas foram primeiro identificadas por Menaecmos em 340 aC e depois estudadas por Apolônio (262-200 aC).

As cônicas foram primeiro identificadas por Menaecmos em 340 aC e depois estudadas por Apolônio (262-200 aC).

As cônicas foram primeiro identificadas por Menaecmos em 340 aC e depois estudadas por Apolônio (262-200 aC).

As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que explicam os movimentos dos planetas.

As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que explicam os movimentos dos planetas.

As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que explicam os movimentos dos planetas.

As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que explicam os movimentos dos planetas.

As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que explicam os movimentos dos planetas.

As órbitas dos planetas do sistema solar são elipses

As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que explicam os movimentos dos planetas.

As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que explicam os movimentos dos planetas.

As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que explicam os movimentos dos planetas.

Agora, vamos construir as cônicas usando modelos obtidos por dobradura.

Agora, vamos construir as cônicas usando modelos obtidos por dobradura.

Agora, vamos construir as cônicas usando modelos obtidos por dobradura.

Agora, vamos construir as cônicas usando modelos obtidos por dobradura.

Agora, vamos construir as cônicas usando modelos obtidos por dobradura.

As cônicas definidas por lugar geométrico podem ser construídas a partir de suas propriedades básicas, usando folhas apropriadas.

e=1  parábola (“comparação”) Dada uma reta l, chamada diretriz, e um ponto F que não está em l, chamado foco, uma secção cônica é o lugar geométrico dos pontos P para os quais a razão distância de P a F distância de P a l é constante. Temos três casos: 0<e<1  elipse (“falta”) e=1  parábola (“comparação”) e>1  hipérbole (“excesso”) Essa constante chama-se excentricidade da cônica (e).

PO + PF = 2a 2a = comprimento do fio OF = 2c 2c = distância focal

equação reduzida da elípse PO + PF = 2a 2a = comprimento do fio a = semi-eixo maior OF = 2c 2c = distância focal b2 - a2 = c2 e = c/a 0 < e < 1 (excentricidade) define o tipo da órbita x2/a2 + y2/b2 = 1 equação reduzida da elípse

As órbitas dos planetas do sistema solar são elípses com excentricidade pequena

Órbitas dos planetas externos As órbitas dos planetas do sistema solar são elipses com excentricidade pequena Órbitas dos planetas externos

Órbitas dos planetas internos As órbitas dos planetas do sistema solar são elipses com excentricidade pequena Órbitas dos planetas internos

Vejamos os valores das excentricidades das órbitas

equação reduzida da hipérbole IPO - PFI = 2a OF = 2c b2 + a2 = c2 e = c/a e > 1 (excentricidade) x2/a2 - y2/b2 = 1 equação reduzida da hipérbole

É interessante trabalhar as cônicas com programas de geometria dinâmica, como o gratuito CAR. Assim, a história da geometria se inicia com a geometria dinâmica do pensamento grego e termina com a geometria dinâmica do computador.