Prática de Ensino em Matemática II Aula 3 Curso de Licenciatura em Matemática Prof. M.S.c. Fabricio Eduardo Ferreira fabricio@fafica.br

A divisão envolvendo números decimais Um ponto nevrálgico na aprendizagem das operações matemáticas trata-se da divisão. Isto ocorre, provavelmente, pois tal operação envolve um algoritmo baseado: quantificar quantas vezes o divisor está contido no dividendo; multiplicar o quociente pelo divisor; verificar a diferença entre o produto obtido e o dividendo. Para facilitar a execução do algoritmo é fundamental que o trabalho envolvendo as tabuadas de multiplicação tenha sido feito de forma eficaz. Outros empecilhos envolvendo a divisão com mais de um algarismo no divisor também são citados em pesquisas e pelos próprios estudantes. Quanto a divisão envolve números na forma decimal, sugere-se que o algoritmo deve ser trabalho sistematicamente, de forma progressiva em grau de dificuldade, levando o professor e aluno a construírem um arcabouço de estratégias que potencializem tal operação e que sejam uteis no dia-a-dia do cidadão.

Divisão de números naturais envolvendo números decimais no quociente (1) Exemplo 1) Calcule 26 : 4. 26 4 primeiramente, dividimos 26 unidades por 4, resultando em 6 unidades e sobrando 2 unidades; 24 6 , 5 em seguida, explicitamos que 2 unidades equivalem a 20 décimos. Para expressar este fato, escrevemos um zero à direita do 2 do resto e, para indicar que estamos trabalhando com décimos, no quociente escrevemos uma vírgula; 2 20 continuamos a efetuar a operação normalmente, dividindo 20 décimos por 4 resultamos em 5 décimos e resto zero. Logo 26 : 4 = 6,5.

Divisão de números naturais envolvendo números decimais no quociente (2) Exemplo 2) Calcule 3 : 4. Nota-se, inicialmente, que não é possível dividir 3 inteiros por 4. Por isso é necessário reescrever 3 inteiros como sendo 30 décimos. Para isso é necessário escrevermos um 0 à direita do 3. No quociente, para indicarmos que não haverá nenhum inteiro, também escrevemos um 0 e, em seguida escrevemos uma vírgula para indicar que estamos trabalhando com décimos; 3 4 28 , 7 5 2 20 Dividindo 30 décimos por 4 temos 7 décimos e restam 2 décimos; Novamente, nos deparamos com a situação de não ser possível dividir 2 décimos por 4. Logo é necessário reescrever 2 décimos como sendo 20 centésimos. Para isto, basta escrever um zero à direita do 2; Dividindo 20 centésimos por 4 temos 5 centésimos e resto 0. Logo 3 : 4 = 0,75.

Uma contextualização interessante da divisão entre naturais Exemplo 3) Transforme as seguintes frações em números decimais. 4 5 ∙ 2 2 = 8 10 =0,8 123 150 :3 :3 = 41 50 ∙ 2 2 = 82 100 =0,82 Relembrando que toda fração indica a divisão do numerador pelo denominador, temos: 4 5 123 150 123 150 4 5 40 , 8 1200 , 8 2 30 300 Esta também é uma boa oportunidade para que o professor faça uma analogia entre as frações próprias (valem menos que 1 unidade) e as frações impróprias (valem 1 unidade ou mais).

Números decimais exatos Exemplo 4) Efetue as seguintes divisões: 1 4 1 3 8 4 9 2 9 2 3 8 8 , 8 4 , 5 24 , 3 7 5 2 5 1 2 6 56 20 10 4 40 Em todas estas divisões o resto foi zero. Logo os quocientes são chamados números decimais exatos. Para que uma divisão resulte num número decimal exato o DIVISOR DEVE SER COMPOSTO APENAS POR FATORES 2 e 5.

Observe que nestas divisões Dízimas Periódicas (1) Exemplo 5) Efetue as seguintes divisões: 2 3 2 3 27 110 27 110 4 3 4 3 18 , 6 6 6 220 , 2 4 5 4 5 3 1 , 3 3 3 50 1 2 9 18 440 1 2 60 9 18 550 2 1 50 9 Observe que nestas divisões o resto nunca será zero e alguns algarismos no quociente ficam se repetindo indefinidamente. 440 1 60 550 50

Dízimas Periódicas (2) Dizemos que o resultado de tais divisões são chamados de dízimas periódicas. A palavra dízima deriva da palavra DEZ (trata-se de um tipo de número decimal), enquanto que a palavra periódica refere-se ao PERÍODO (algo que se repete). 2 3 =0,666…=0, 𝟔 27 110 =0,24545…=0,2 𝟒𝟓 4 3 =1,333…=1, 𝟑 Para que uma divisão resulte numa dízima periódica o DIVISOR DEVE SER COMPOSTO POR ALGUM FATOR QUE NÃO SEJA 2 OU 5. Basicamente as dízimas periódicas dividem-se em Dízimas Periódicas SIMPLES ou COMPOSTAS: as Dízimas Periódicas SIMPLES são aquelas em que o período apresenta-se logo após a vírgula. Exemplos: 0,666... ; 1,333... ; 0,151515.... b) as Dízimas Periódicas COMPOSTAS são aquelas em que entre a vírgula e o período existe uma parte não periódica. Exemplo: 0,24545... ; 1,5333...

Divisão de número decimal por número natural (1) Exemplo 6) Calcule 9,84 : 3. 9,84 3 Primeiramente, dividimos 9 unidades por 3, resultando em 3 unidades e resto 0; 9 3 , 2 8 em seguida, explicitamos que iremos dividir a parte decimal, escrevendo a vírgula no quociente. Dividindo 8 décimos por 3 temos 2 décimos e restam ainda 2 décimos (que equivalem a 20 centésimos); 8 6 2 4 20 centésimos mais 4 centésimos são 24 centésimos. Para expressar isto escrevemos o 4 à direita do 2 e continuamos a divisão.; 24 24 centésimos divididos por 3 resulta em 8 centésimos e resto 0. Logo a divisão 9,84 : 3 = 3,28.

Divisão de número decimal por número natural (2) Exemplo 7) Calcule 2,7 : 5. 2,7 5 Notamos que não é possível dividir 2 unidades por 5. Logo transformamos 2 unidades em 20 décimos. Juntando 20 décimos com 7 décimos temos 27 décimos (que é possível dividir por 5); 25 , 5 4 2 Para indicar que iremos dividir décimos escrevemos um zero no quociente seguindo da vírgula à direita. 27 décimos divididos por 5 são 5 décimos e restam 2 décimos; 20 Como não é possível dividir 2 décimos por 5, reescrevemos 2 décimos como sendo 20 centésimos adicionando um 0 à direita do 2; 20 centésimos divididos por 5 resultam em 4 centésimos e resto 0. Logo 2,7 : 5 = 0,54.

Divisão de por 10, 100, 1000 Exemplo 8) Observe as seguintes multiplicações. 1,46∙10=14,6 8,394∙100=839,4 0,873∙1000=873 Reescrevendo tais operações como sendo divisões, temos: 14,6 :1𝟎=1, 4 6 839,4 :1𝟎𝟎=8, 39 4 873 :1𝟎𝟎𝟎=0, 873 Observando os resultados, pode-se concluir que: Para dividir um número por 10, 100 ou 1000, basta deslocar a vírgula uma, duas ou três casas, respectivamente para a ESQUERDA. Acrescenta-se zeros quando necessário. Professor esta é uma boa oportunidade de utilizar a calculadora em sala de aula. Os P.C.N.s recomendam a utilização neste caso, para, por exemplo, a verificação de resultados.

Uma propriedade importante Exemplo 8) Observe as seguintes divisões. 6 :3=2 15 :5=3 8 :2=4 2 :5=0,4 ×4 ×4 ×2 ×2 ×10 ×10 ×3 ×3 24 :12=2 30 :10=3 80 :20=4 6 :15=0,4 Se o dividendo e o divisor de uma divisão forem multiplicados por um mesmo número, diferente de zero, a nova divisão terá o mesmo quociente. Utilizando a regra da divisão por 10, 100 ou 1000 juntamente com a propriedade citada para a multiplicação podemos elaborar uma regra prática para divisão envolvendo números decimais.

Divisão envolvendo números decimais Exemplo 9) A mãe de Josefa queria saber qual era o consumo de gasolina de seu carro na estrada. Para isso anotou a quilometragem e encheu o tanque antes e depois de uma viagem. Ela verificou que seu carro percorreu 92,8 km com 7,25 litros. Qual é o consumo do carro da mãe de Josefa? 92,8 :7,25=? 92,8 7,25 9280 725 ×100 ×100 725 1 2 , 8 Igualando as casas decimais e excluindo a vírgula. 9280 :725=? 203 1450 580 5800 Resposta: O carro da mãe de Josefa percorre 12,8 km com 1 litro de combustível.

Mais exemplos Exemplo 10) Efetue as seguintes divisões: 6 :1,6= 60 :16= 3,75 0,3 :0,008= 300 :8= 37,5 2,34 :9,9= 234 :990= 0,236… 60 16 300 8 234 990 48 3 , 7 5 24 3 7 , 5 1980 , 2 3 6 ... 12 6 360 112 56 2970 8 4 630 80 40 5940 360 ...