Faculdades Integradas Pitágoras Cálculo Numérico Método de Gauss – Jacobi Faculdades Integradas Pitágoras Montes Claros 2010

Um pouco sobre a história de Jacobi Carl Gustav Jakob Jacobi (Potsdam, 10 de dezembro de 1804 — Berlim, 18 de fevereiro de 1851) foi um matemático alemão. O seu primeiro professor, irmão de sua mãe, deu-lhe aulas de matemática, preparando-o para entrar no Ginásio de Potsdam, onde ingressou no ano de 1816. Não demorou para que ele se destacasse entre os demais alunos. Em 1821 ele ingressou na Universidade Humboldt de Berlim.

Um pouco sobre a história de Jacobi Seus professores logo perceberam que ele possuía uma mente matemática inigualável e como ele se recusava a estudar seguindo os roteiros e as cargas da Universidade, deixaram que ele estudasse por conta própria. Foi muito influenciado principalmente pelos trabalhos de Leonhard Euler e Lagrange. Onde se interessou por álgebra e cálculo. Seu autodidatismo propiciou seu primeiro trabalho notável - em funções elípticas - sua diretriz definitiva.

Um pouco sobre a história de Jacobi Permaneceu estudando em Berlim de Abril de 1821 até Maio de 1825. Durante os primeiros dois anos ele dividiu seu tempo, equitativamente, entre filosofia, filologia e matemática. Em Agosto de 1825 recebeu seu grau de Ph.D. pela dissertação sobre frações parciais e tópicos relacionados. Concomitantemente a sua prova para o grau de Ph.D. ele iniciou seu treinamento para o magistério, passando a lecionar cálculo de superfícies curvas na Universidade de Berlim, logo se tornando o mais inspirado professor de matemática do seu tempo.

Um pouco sobre a história de Jacobi Em 1826 tinha assegurado o lugar de professor na Universidade de Königsberg. Em 1827 algumas pesquisas publicadas sobre a teoria dos números (relativas à reciprocidade cúbica), excitou a admiração de Gauss, promovendo assim Jacobi para um posto acima de seus colegas. Quando Jacobi publicou sua obra prima Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum (Novos fundamentos da Teoria de Funções Elípticas) eles foram os primeiros a dizer que nada mais que justiça tinha sido feita.

Um pouco sobre a história de Jacobi Em 1842 quando seu pai veio a falecer, ele se viu obrigado a trabalhar para prover sua mãe e sua família, possuía sete filhos e não conseguia manter a todos, acabou estressando-se demais com a situação e sua saúde foi fragilizada, foi então que o Rei passou a lhe dar uma mesada, para que pudesse se manter. Acabou entrando na política por influência de terceiros, mas não chegou a ser eleito.

Um pouco sobre a história de Jacobi Em 1849, aos quarenta e cinco anos, era, com a exceção de Gauss, o mais famoso matemático na Europa. A Universidade de Viena sondou a possibilidade de tê-lo como professor. Mas o rei, apesar de ofendido por Jacobi ter entrado na política contra o próprio rei, não permitiu que o segundo maior homem da Alemanha fosse “roubado”, permanecendo assim em Berlim.

Um pouco sobre a história de Jacobi Seus trabalhos abrangem a aplicação das funções elípticas à teoria dos números; com o trabalho de equações diferenciais começou uma nova era; em Álgebra, para citar apenas uma dentre muitas, inseriu a teoria de determinantes na fórmula simples, agora familiar para todo estudante do segundo ano de um curso de álgebra; fez substanciais contribuições para a teoria da atração de Newton-Laplace-Lagrange e muitos outros. Jacobi morreu prematuramente devido a varíola.

Introdução O Método de Gauss – Jacobi é um método iterativo de se resolver equações lineares. Métodos iterativos podem ser mais rápidos e necessitar de menos memória do computador. Fornecem sequencias que convergem para a solução sob certas condições.

Introdução Seja um sistema linear de ordem . A idéia é generalizar o método do ponto fixo, escrevendo o sistema linear na forma onde é uma matriz de ordem e é um vetor coluna . Dado um vetor aproximação inicial , cons-truímos iterativamente:

Introdução Se a seqüência , , ....., convergir Então é a solução do sistema linear

Teste de Parada Se a seqüência estiver suficientemente próximo de paramos o processo. Dada um precisão , quando então é a solução do sistema linear. Computacionalmente, um número máximo de iterações também é critério de parada.

MÉTODO DE GAUSS – JACOBI Seja o sistema linear Se podemos isolar por separação da diagonal.

MÉTODO DE GAUSS – JACOBI Iterativamente, o sistema reescreve-se como:

MÉTODO DE GAUSS – JACOBI Desta forma temos , onde e Do método de Gauss-Jacobi, dado , Obtemos , ....., através da relação recursiva

MÉTODO DE GAUSS – JACOBI Exemplo:Seja o sistema linear Seja com . Portanto,

MÉTODO DE GAUSS – JACOBI Substituindo Segue . Calculando

MÉTODO DE GAUSS – JACOBI Continuando com Segue é a solução, pois critério de parada

Obrigado! Equipe: Daniela Aniceto Gabriella Magalhães Letícia Siqueira Michelle Silva Mario Renard