Trigonometria no Triângulo Retângulo

Relacionando lados e ângulos A trigonometria tem sua origem, portanto, na necessidade de relacionar lados e ângulos de um triângulo. B a hipotenusa BC = a o cateto AC = b a o cateto AB = c c A = 90º C A b B + C = 90º

Relacionando lados e ângulos B  a a2 = b2 + c2 c ⍺ C A b cateto oposto a ⍺ c sen ⍺ = = hipotenusa a cateto adjacente a ⍺ b cos ⍺ = = hipotenusa a

Relacionando lados e ângulos B  a a2 = b2 + c2 c ⍺ C A b cateto oposto a ⍺ c tg ⍺ = = cateto adjacente a ⍺ b os números sen ⍺, cos ⍺ e tg ⍺ são chamadas de razões trigonométricas do ângulo ⍺.

Exemplos O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas do ângulo B. A Teorema de Pitágoras 16 12 BC2 = AB2 + AC2 C B x2 = 162 + 122 20 x2 = 256 + 144 x2 = 400 x = 20

Exemplos O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas de B. A 16 12 C B 20 cateto oposto a B 12 3 sen B = = = = 0,6 hipotenusa 20 5 cateto adjac. a B 16 4 cos B = = = = 0,8 hipotenusa 20 5

Exemplos O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas de B. A 16 12 C B 20 cateto oposto a B 12 3 tg B = = = = 0,75 cateto adjac. a B 16 4

Exemplos Calcular os ângulos agudos de um triângulo retângulo cujos lados medem 5 cm e 6 cm. y x + y = 90º 16 5 cm x ⇒ x ≈ 40º 6 cm 6 tg y = = 1,2 ⇒ y ≈ 50º 5

Outras razões trigonométricas

Outras razões trigonométricas B  a c ⍺ C A b hipotenusa 1 a cosec ⍺ = = = cateto oposto a ⍺ c sen ⍺ hipotenusa a 1 sec ⍺ = = = cateto adjacente a ⍺ b cos ⍺

Outras razões trigonométricas B  a c ⍺ C A b cateto adjacente a ⍺ b 1 cotg ⍺ = = = cateto oposto a ⍺ c tg ⍺

Seno, co-seno e tangente de ângulos complementares

Ângulos complementares B  ⍺ +  = 90º 5 ⇒ 3 Os ângulos ⍺ e  são complementares ⍺ C A 4 3 4 3 sen ⍺ = cos ⍺ = tg ⍺ = 5 5 4 4 3 4 sen  = cos  = tg  = 5 5 3

Ângulos complementares B  ⍺ +  = 90º a ⇒ c Os ângulos ⍺ e  são complementares ⍺ C A b 1 sen ⍺ = cos  cos ⍺ = sen  tg ⍺ = tg  sec ⍺ = cosec  cosec ⍺ = sec  cotg ⍺ = tg 

Exemplo No triângulo retângulo da figura, temos: √5 I. sen t = ½ II. sec t = 2 III. tg t = 2 1 cm t 2 cm A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é(são): a) I b) II c) III d) II e III e) I, II e III

Seno, co-seno e tangente de 30º, 45º e 60º.

Seno, co-seno e tangente de 30º, 45º e 60º. ½ √2/2 √3/2 cos ½ √3/2 √2/2 tg 1 √3/3 √3

Exemplos A partir dos dados apresentados na figura, determinar as medidas indicadas por x e y. 12 cm 16 x 30º y x sen 30º = ⇒ x = 12 . 1/2 ⇒ x = 6 cm 12 y cos 30º = ⇒ x = 12 . √3/2 ⇒ x = 6 √3 cm 12

Exemplos Os triângulos ABC e BCD da figura são retângulos em B, sendo conhecidos os ângulos BAC = 30º e BDC = 60º, além de AD = 2 cm. Calcular os valores de x, y e z. C y x 60º 30º B A z D 2 cm

Identidades trigonométricas

Identidades trigonométricas Ferramentas de grande aplicabilidade sendo utilizadas para: Obter uma razão trigonométrica, para um dado ângulo, a partir de outra razão cujo valor seja conhecido. Simplificar expressões extensas envolvendo várias relações trigonométricas para um mesmo ângulo.

Identidades trigonométricas A partir do triângulo retângulo abaixo vamos deduzir algumas dessas relações. C b2 + c2 = a2 (: a2)  a b2 c2 a2 + = b a2 a2 a2 ⍺ b 2 c 2 B A + = 1 c a a 2 2 sen2 x + cos2 x = 1 sen ⍺ + cos ⍺ = 1 ⇒

Identidades trigonométricas A partir do triângulo retângulo abaixo vamos deduzir algumas dessas relações. C  a sen x tg x = b cos x ⍺ B A c sen ⍺ b/a b a b = = . = = tg ⍺ cos ⍺ c/a a c c

Identidades trigonométricas A partir do triângulo retângulo abaixo vamos deduzir algumas dessas relações. C  a cos x cotg x = b sen x ⍺ B A c cos ⍺ c/a c a c = = . = = cotg ⍺ sen ⍺ b/a a b b

Identidades trigonométricas - Resumo 1) sen2 x + cos2 x = 1 Relação fundamental sen x 2) tg x = (cos x ≠ 0) cos x cos x 1 3) cotg x = = (sen x ≠ 0) sen x tg x 1 4) sec x = (cos x ≠ 0) cos x 1 5) cosec x = (sen x ≠ 0) sen x

Exemplos Demonstre que sec2 x = 1 + tg2 x. 1 1 sec x = sec2 x = ⇒ cos x cos2 x sen2 x + cos2 x sec2 x = ⇒ cos2 x sen2 x cos2 x sec2 x = ⇒ + cos2 x cos2 x sec2 x = tg2 x + 1 ⇒

Exemplos Demonstre que cosec2 x = 1 + cotg2 x. 1 1 cosec x = ⇒ sen x sen2 x sen2 x + cos2 x cosec2 x = ⇒ sen2 x sen2 x cos2 x cosec2 x = ⇒ + sen2 x sen2 x sec2 x = 1 + cotg2 x ⇒

Exemplos Sabendo-se que o seno de um ângulo agudo é igual a 3/5, determine o co-seno, tangente, co-tangente, secante e a co-secante desse ângulo. sen2 x + cos2 x 3 2 ⇒ + cos2 x = 1 5 9 ⇒ + cos2 x = 1 25 9 25 – 9 16 ⇒ cos2 x = 1 – = = 25 25 25 ⇒ cos x = ± 4/5 ⇒ cos x = 4/5

Exemplos Sabendo-se que o seno de um ângulo agudo é igual a 3/5, determine o co-seno, tangente, co-tangente, secante e a co-secante desse ângulo. 3 sen x 5 3 tg x = = = cos x 4 4 5 1 1 4 cotg x = = = tg x 3 3 4

Exemplos Sabendo-se que o seno de um ângulo agudo é igual a 3/5, determine o co-seno, tangente, co-tangente, secante e a co-secante desse ângulo. 1 1 5 sec x = = = cos x 4 4 5 1 1 5 cosec x = = = sen x 3 3 5

Exemplos Simplificar as expressões: a) E1 = tg x + cotg x – sec x . cosec x cotg x . sec x b) E2 = cosec2 x E1 = tg x + cotg x – sec x . cosec x sen x cos x 1 1 E1 = + – . cos x sen x cos x sen x sen2 x + cos2 x – 1 1 – 1 E1 = = = 0 sen x . cos x sen x . cos x

Exemplos Simplificar as expressões: a) E1 = tg x + cotg x – sec x . cosec x cotg x . sec x b) E2 = cosec2 x cos x 1 . 1 cotg x . sec x sen x cos x sen x E2 = = = cosec2 x 1 1 sen2 x sen2 x 1 E2 = . sen2 x = sen x sen x 1

Ângulos e arcos na circunferência

Circunferência A B P r r r C r O r r E D

Elementos A A B O O B Corda AB Diâmetro AB

Elementos B Arco AB Arco BA A

Arcos e ângulos A ≡ B A ≡ B arco completo arco nulo

Arcos e ângulos Arco AB B A O Arco BA Arco de meia volta

Arco e ângulo central    C B m(AB) = ⍺ O m(CD) =  D m(EF) =  A E

O grau como unidade de medida

O grau como unidade de medida

O grau como unidade de medida 1º = 360 1 220o 320o 230o 310o 240o 300o 250o 290o 260o 270o 280o

Exemplos Na figura, os pontos A, B, C, D, E e F dividem a circunferência em seis arcos congruentes. Calcular, em graus, as medidas dos arcos AB e CE e dos ângulos centrais correspondentes. C B 360º AB = = 60º 6  CE = 2 . 60º = 120º D  A O ⍺ = 60º e  = 120º E F

Exemplos A circunferência da figura tem 12 m de raio. Supondo que o arco AB mede 2 m, calcular em graus, a medida do arco e do ângulo central correspondente. Arco (em graus) Arco (em metros) A 360º 24 m 12 m  2 m O ⍺ 2 m B 360 . 2 C = 2r C = 2..12 C = 24 ⍺ = = 30º 24

O radiano como unidade de medida B R Comprimento do arco (AB) = R R ⇓  A O R m(AB) = 1 radiano ⇓  = m(AB) = 1 rad

Exemplo B ⇓ 1,5R m(AB) = 1,5 rad R  ⇓ A R O  = m(AB) = 1,5 rad Comprimento do arco (AB) = 1,5 R B ⇓ 1,5R m(AB) = 1,5 rad R  ⇓ A R O  = m(AB) = 1,5 rad comprimento  = m(AB) = R

Arco completo comprimento  = R  A ≡ B 2R R  = O R  = 2 rad

Exemplos A circunferência da figura tem raio igual a 9 cm e o comprimento do arco AB assinalado é 10,8 cm. Calcular, em radianos, a medida de AB. A comprimento 9 cm  = R 10,8 cm O 10,8 cm  = = 1,2 rad B 9 cm

Exemplos O arco AB da figura tem medida de 30º e o raio da circunferência é de 4 cm. Calcular, em cm, o comprimento do arco AB. ângulo comprimento A 4 cm 360º 2 R O x 30º 30º B 2 .4.30 2  x = = ≈ 2, 1 cm 360 3

Exemplos Numa circunferência, o comprimento de um arco é de 40 cm. Esse mesmo arco mede 5 rad. Calcular a medida do raio da circunferência. A comprimento 40 cm  = R R  O 40 cm 5 = R R B 5R = 40 ⇒ R = 8 cm

Arcos especiais Represen-tação Medida em graus Medida em radianos Arco completo 360º 2 O Arco de meia-volta O 180º  Arco de ¼ de volta 90º /2 O Arco nulo 0o O

Transformando unidades As medidas de um arco em graus e radianos são proporcionais. Por isso podemos transformar uma unidade em outra por uma regra de três. 180º correspondem a  rad

Exemplos Transformar 72º em radianos. 180º  rad x 72º 72 .  2 x = = 5

Exemplos 5 Exprimir rad em graus. 4  rad equivale a 180º. 5. 5.180 = = 225º 4 4