Capítulo 11 CINEMÁTICA DAS PARTÍCULAS O movimento de uma partícula ao longo de uma reta é chamado de movimento retilíneo. Para definir a posição P da partícula, escolhe-se uma origem fixa O e um O P x x sentido positivo. A distância x de O a P, com o sinal apropriado, define completamente a posição da partícula sobre a reta e é chamada de coordenada de posição da partícula.

dx dt v = dv dt d 2x dt 2 a = a = dv dx a = v O P x x A velocidade v da partícula é dada pela derivada temporal da coordenada de posição x, dx dt v = e a aceleração a é obtida pela diferenciação de v em relação a t, dv dt d 2x dt 2 a = a = ou A aceleração a também pode ser expressa como dv dx a = v

dx dt dv dt v = a = d 2x dt 2 dv dx a = v a = O P x x - ou + ou A velocidade v e a aceleração a são representadas por números algébricos os quais podem ser positivos ou negativos. Um valor positivo de v indica que a partícula move-se no sentido positivo, e um valor negativo indica que ela move-se no sentido negativo. Um valor positivo de a pode indicar que a partícula esta sendo acelerada (movendo-se mais rápido) na direção positiva, ou que esteja sendo desacelerada (movendo-se mais devagar) na direção negativa. O valor positivo ou negativo de a deve ser devidamente interpretado.

x = xo + vt v = vo + at x = xo + vot + at2 v2 = vo + 2a(x - xo ) 2 Dois tipos de movimento são frequentemente encontrados: movimento retilíneo uniforme, no qual a velocidade v da partícula é constante e x = xo + vt e o movimento retilíneo uniformemente acelerado, no qual a aceleração a da partícula é constante v = vo + at 1 2 x = xo + vot + at2 v2 = vo + 2a(x - xo ) 2

xB = xA + xB/A vB = vA + vB/A aB = aA + aB/A O A B x xA xB/A xB Quando duas partículas A e B movem-se ao longo da mesma reta, o movimento relativo de B em relação a A pode ser considerado. Representando por xB/A a coordenada de posição relativa de B em relação a A, temos xB = xA + xB/A Diferenciando em relação a t, obtemos vB = vA + vB/A aB = aA + aB/A onde vB/A e aB/A representam, respectivamente, a velocidade relativa e a aceleração relativa de B em relação a A.

xC xA xB C A B Quando vários blocos são conectados por cordas inextensíveis, é possível escrever uma relação linear entre suas coordenadas de posição. Relações similares podem então ser escritas para as velocidades e acelerações, sendo utilizadas para analisar o movimento desses blocos.

Algumas vezes é conveniente utilizar uma solução gráfica em problemas que envolvem o movimento retilíneo de uma partícula. Essas soluções envolvem as curvas x - t, v - t , e a - t . Para um dado instante t, a v = inclinação da curva x - t a = inclinação da curva v - t t1 t2 t v enquanto que para um dado intervalo de t1 a t2, v2 t2 v2 - v1 = a dt ò v1 t1 v2 - v1 = área sob a curva a - t x2 - x1 = área sob a curva v - t t1 t2 t x t2 x2 x2 - x1 = v dt ò x1 t1 t1 t2 t

y O movimento curvilíneo de uma partícula trata do movimento de uma partícula ao longo de uma trajetória curvilínea. A posição P da partícula em um dado instante é definida pelo vetor posição r que liga a origem O do sistema de coordenadas ao ponto P. v P r s Po O x A velocidade v da partícula é definida pela relação dr dt v = O vetor velocidade é tangente a trajetória da partícula, e tem intensidade v igual a derivada temporal do comprimento s do arco descrito pela partícula ds dt v =

dr dt v = ds dt v = dv dt a = y v P r s Po x O Em geral, a aceleração a da partícula não é tangente sua trajetória. A aceleração é definida pela relação a y P r dv dt s a = Po O x

. . . vx = x vy = y vz = z .. .. .. ax = x ay = y az = z y Representando por x, y, e z as coordenadas retangulares da partícula P, os componentes retangulares da velocidade e aceleração P são iguais, respectivamente, às primeiras e segundas derivadas em relação a t das coordenadas correspondentes: P vx vz r yj j xi k i x z zk . . . y vx = x vy = y vz = z ay .. .. .. ax = x ay = y az = z ax P az A utilização de componentes retangulares é particularmente eficiente no estudo do movimento de projéteis. r j k i x z

rB = rA + rB/A vB = vA + vB/A aB = aA + aB/A y’ Para duas partículas A e B que se movem no espaço, consideramos o movimento relativo de B em relação a A , ou mais precisamente, em relação a um sistema móvel de coordenadas fixado em A e em translação com A. Representando por rB/A o vetor de posição relativa de B com relação a A , temos B y rB rB/A rA A x’ x z z’ rB = rA + rB/A Representando por vB/A e aB/A , respectivamente, a velocidade relativa e a aceleração relativa de B com relação a A, temos que vB = vA + vB/A e aB = aA + aB/A

y Em alguns casos é conveniente decompor a velocidade e a aceleração da partícula P em componentes que sejam os retangulares x, y, e z . Para uma partícula P movendo-se ao longo de uma trajetória plana, fixamos a P os vetores unitários et tangente à trajetória e en normal à trajetória e apontando para o centro de curvatura desta. C v 2 r an = en dv dt at = et P x O A velocidade e a aceleração são expressas em termos das componentes tangencial e normal. A velocidade da partícula é v = vet A aceleração é dv dt v2 r a = et + en

v = vet v2 dv a = et + en r dt y C v 2 r an = en dv at = et dt P x O Nestas equações, v é a velocidade da partícula e r é o raio de curvatura da trajetória. O vetor velocidade v é sempre tangente a trajetória. O vetor aceleração a consiste do componente tangencial at , e do componente normal an apontado para o cento de curvatura da trajetória

a = (r - rq2)er + (rq + 2rq)eq Quando a posição da partícula P movendo-se em um plano é definida por suas coordenadas polares r e q, é conveniente usar os componentes radial e transversal dirigidos, respectivamente, ao longo do vetor posição r da partícula e na direção obtida pela rotação de r de 90o no sentido anti-horário. er r = r er P q x O Os vetores unitários er e eq são fixados a P e são dirigidos, respectivamente, nas direções radial e transversal. A velocidade e a aceleração da partícula em termos das componentes radial e transversal são . . v = rer + rqeq .. . .. . . a = (r - rq2)er + (rq + 2rq)eq

a = (r - rq2)er + (rq + 2rq)eq . . er v = rer + rqeq . .. .. . . r = r er P a = (r - rq2)er + (rq + 2rq)eq q x O Nestas equações os pontos representam a diferenciação em relação ao tempo. Os componentes escalares da velocidade e da aceleração nas direções radial e transversal são, portanto . . vr = r vq = rq . .. .. . . ar = r - rq2 aq = rq + 2rq É importante notar que ar não é igual a derivada temporal de vr, e que aq não é igual a derivada temporal de vq.

Exercício Resolvido 11.2 SOLUÇÃO: Integrar duas vezes para encontrar v(t) e y(t). Resolver para o instante t em que a velocidade é zero (instante de máxima elevação) e calcular a altura. Uma bola é arremessada para cima com uma velocidade de 10 m/s a partir da janela de um prédio localizada a 20 m de altura. Resolver para o instante t em que a altura é zero (instante de impacto no solo) e calcular a velocidade. Determinar: A velocidade v e a elevação y da bola acima do solo para qualquer instante t A elevação máxima atingida pela bola e o correspondente instante t O instante em que a bola atingirá o solo e a velocidade correspondente

SOLUÇÃO: Integrar duas vezes para encontrar v(t) e y(t).

Resolver para o instante t em que a velocidade é zero (instante de máxima elevação) e calcular a altura. Resolver para o instante t em que a altura é zero (instante de impacto no solo) e calcular a velocidade.

Resolver para o instante t em que a altura é zero (instante de impacto no solo) e calcular a velocidade.

Exercício Resolvido 11.3 SOLUÇÃO: Integrar a = dv/dt = -kv para encontrar v(t). Integrar v(t) = dx/dt para encontrar x(t). Integrar a = v dv/dx = -kv para encontrar v(x). O mecanismo usado para reduzir o recuo em certos tipos de armas consiste de um pistão preso ao cano e que se move em um cilindro cheio de óleo. Quando o cano recua com velocidade inicial v0, o pistão se move e o óleo é forçado através de orifícios no pistão, causando um desaceleração do pistão e do cano a uma taxa proporcional à velocidade de ambos. Determinar v(t), x(t), e v(x).

SOLUÇÃO: Integrar a = dv/dt = -kv para encontrar v(t). Integrar v(t) = dx/dt para encontrar x(t).

Integrar a = v dv/dx = -kv para encontrar v(x). Alternativamente, com e então

Exercício Resolvido 11.5 SOLUÇÃO: Definir a origem na superfície horizontal superior, com sentido positivo para baixo. O colar A esta em movimento retilíneo uniformemente acelerado. Resolver a aceleração e tempo t até alcançar L. A polia D esta em movimento retilíneo uniforme. Calcular a posição no tempo t. A polia D esta presa a um colar que é puxado para baixo a 3 in./s. Em t = 0, o colar A move-se para baixo partindo de K com aceleração constante e velocidade inicial nula. Sabendo que a velocidade do colar A é 12 in./s ao passar por L, determine a variação na elevação, velocidade e aceleração do bloco B quando o colar A passa por L. O movimento do bloco B depende do movimento do colar A e da polia D. Montar a relação de movimento e calcular a posição do bloco B no tempo t. Diferenciar a relação de movimento duas vezes para desenvolver as equações para velocidade e aceleração do bloco B.

SOLUÇÃO: Definir a origem na superfície horizontal superior, com sentido positivo para baixo. O colar A esta em movimento retilíneo uniformemente acelerado. Resolver a aceleração e tempo t até alcançar L.

A polia D esta em movimento retilíneo uniforme A polia D esta em movimento retilíneo uniforme. Calcular a posição no tempo t. O movimento do bloco B depende do movimento do colar A e da polia D. Montar a relação de movimento e calcular a posição do bloco B no tempo t. O comprimento total do cabo permanece constante

Diferenciar a relação de movimento duas vezes para desenvolver as equações para velocidade e aceleração do bloco B.

Exercício Resolvido 11.10 SOLUÇÃO: Calcular as componentes tangencial e normal da aceleração. Determinar a intensidade e direção da aceleração. Um motorista percorre a seção curva de uma estrada a 60 mph. O motorista freia causando uma desaceleração constante. Sabendo que após 8 s a velocidade foi reduzida para 45 mph, determine a aceleração carro imediatamente após os freios terem sido acionados.

SOLUÇÃO: Calcular as componentes tangencial e normal da aceleração. Determinar a intensidade e direção da aceleração.

Exercício Resolvido 11.12 SOLUÇÃO: Calcular o tempo t para q = 30o. Calcular as posições radial e angular, e a primeira e segunda derivada no tempo t. A rotação do braço OA de 0,9m de comprimento é definida por q = 0.15t2 onde q esta em radianos e t em segundos. O colar B desliza ao longo do braço de modo que r = 0.9 - 0.12t2 onde r esta em metros. Após o braço OA ter girado 30o, determine (a) a velocidade do colar, (b) a aceleração do colar, e (c) a aceleração relativa do colar em relação ao braço. Calcular velocidade e aceleração em coordenadas cilíndricas. Calcular a aceleração em relação ao braço.

SOLUÇÃO: Calcular o tempo t para q = 30o. Calcular as posições radial e angular, e a primeira e segunda derivada no tempo t.

Calcular velocidade e aceleração em coordenadas cilíndricas.

Calcular a aceleração em relação ao braço. O movimento do colar em relação ao braço é linear e definido pela coordenada r