Controle de Processos por Computador UFOP Controle de Processos por Computador

Redução de Subsistemas Múltiplos Diagrama de blocos Geralmente são utilizados para projeto e análise no domínio da freqüência Diagramas de blocos com múltiplos subsistemas podem ser reduzidos a um único bloco (função de transferência total do sistema físico) Elementos de um diagrama de blocos Sinais Sistema Junção somadora Ponto de distribuição de sinais

Redução de Subsistemas Múltiplos

Redução de Subsistemas Múltiplos Topologias comuns na interconexão de subsistemas Associação em cascata Associação em paralelo Associação com retroação

Redução de Subsistemas Múltiplos

Redução de Subsistemas Múltiplos

Redução de Subsistemas Múltiplos

Redução de Subsistemas Múltiplos

Redução de Subsistemas Múltiplos Manipulação de blocos para a criação de formas conhecidas Ci(s)

Redução de Subsistemas Múltiplos

Redução de Subsistemas Múltiplos

Redução de Subsistemas Múltiplos Aplicação imediata a sistemas de segunda ordem E(s)

Redução de Subsistemas Múltiplos Continuação desenvolvendo... sendo

Estabilidade Um sistema linear invariante no tempo é dito estável se para qualquer entrada limitada obtêm-se apenas respostas limitadas Sistemas a malha fechada contendo pólos apenas no semiplano “s” negativo são estáveis Do ponto de vista de sinais, sistemas causais possuem região de convergência da transformada de Laplace à direita do pólo mais próximo de + Se a região de convergência incluir o eixo complexo jω, o sistema é estável (transformada de Fourier converge) Se a região de convergência não incluir o eixo complexo jω, o sistema é instável (transformada de Fourier não converge)

Estabilidade

Estabilidade Critério de Routh-Hurwitz Permite verificar a estabilidade de um sistema sem a necessidade de calcular os pólos de malha fechada Permite determinar quantos pólos se encontram no semi-plano “s” esquerdo, no direito e sobre o eixo jω Não permite determinar as coordenadas dos pólos

Estabilidade Procedimento para a geração da tabela de Routh básica (válida para sistemas com pólos no semi-plano esquerdo ou direito) Criar uma tabela onde o número de linhas é igual a ordem do sistema (número de raízes do denominador) + 1, ou seja, de sn,sn-1,...,s0 As linhas serão rotuladas em ordem decrescente das potências de “s” O número de colunas é igual (ordem + 1) / 2, com arredondamento para cima O preenchimento da primeira linha Atribui-se os coeficientes salteados a partir da primeira coluna, começando pelo valor correspondente a maior potência de “s” O preenchimento da segunda linha Atribui-se os coeficientes salteados a partir da primeira coluna, começando pelo valor correspondente à segunda maior potência de “s” Para as demais linhas, cada elemento será igual ao negativo do determinante de uma matriz quadrada de dimensão 2, cuja primeira coluna é formada pelos dois elementos da tabela das duas linhas imediatamente acima e da primeira coluna, e cuja segunda coluna será igual aos elementos da tabela localizados nas duas linhas imediatamente acima e da coluna à direita. Cada determinante é dividido pelo valor da tabela existente na primeira coluna e linha superior Interpretação O número de pólos que se encontra no semi-plano direito de “s” é igual ao número de mudanças de sinal na primeira coluna da tabela de Routh Se não houver mudanças de sinal na primeira coluna, então todos os pólos se encontram no semi-plano esquerdo (sistema estável)

Estabilidade

Estabilidade

Estabilidade Caso ocorra um zero na primeira coluna, substituir por ϵ e, no final da análise, fazer ϵ tendendo a 0- e 0+ Exemplo:

Erros de Estado Estacionário Erro de estado estacionário é a diferença entre a entrada de referência e a saída observada para t → Entradas utilizadas para teste

Erros de Estado Estacionário Análise de erros para sistemas estáveis

Erros de Estado Estacionário Sistemas com retroação unitária Exemplo: para uma entrada em degrau, o erro será (a) (b)

Erros de Estado Estacionário Representação do erro do sistema com retroação unitária em termos de: Função de transferência de malha fechada T(s) Função de transferência de malha aberta G(s)

Erros de Estado Estacionário Erro de estado estacionário em termos de T(s) Sendo e , tem-se que Deseja-se avaliar e( ) Pode-se utilizar o teorema do valor final, deduzido a partir da propriedade da transformada de Laplace da derivada de uma função f(t) Condições iniciais nula

Erros de Estado Estacionário Continuação Logo o erro de estado estacionário pode ser obtido por Erro de estado estacionário em termos de G(s) Sendo e , tem-se que Utilizando-se o teorema do valor final, obtém-se

Erros de Estado Estacionário Continuação O mesmo raciocínio pode ser utilizado para a análise de entradas em rampa e em parábola Entrada em degrau Entrada em rampa: Entrada em parábola:

Erros de Estado Estacionário Constantes de erro estático Parâmetros para a especificação de desempenho de erro em estado estacionário Os limites definidos para o cálculo de erro em estado estacionário são denominadas constantes de erro estático. Então: Constante de posição Kp: Constante de velocidade Kv: Constante de aceleração Ka:

Erros de Estado Estacionário Tipo de Sistema É dado pelo número de integrações puras no percurso direto, sendo representado pelo termo 1 / sn da função de transferência G(s) São analisados os sistemas Tipo 0, Tipo 1 e Tipo 2

Erros de Estado Estacionário

Técnica do Lugar das Raízes Representação gráfica dos pólos de malha fechada em função da variação de um parâmetro do sistema Permite avaliar a estabilidade Permite projetar os parâmetros que caracterizam a resposta transitória de um sistema (tempo de subida, instante de pico etc.)

Técnica do Lugar das Raízes Conhecimentos necessários: Determinação dos pólos da função de transferência a malha fechada do sistema Representação vetorial de números complexos

Técnica do Lugar das Raízes Função de transferência a malha fechada Em sistemas de controle em malha fechada, é necessário fatorar o denominador para a obtenção dos pólos

Técnica do Lugar das Raízes Representação vetorial de números complexos Então uma função de transferência F(s) pode ser escrita como

Técnica do Lugar das Raízes Além disso, o módulo e o ângulo de F(s) podem ser calculados por: Exemplo: dada a função F(s), determine M e ɵ

Técnica do Lugar das Raízes Definição do lugar das raízes É a representação do percurso dos pólos a malha fechada à medida que o ganho é modificado (K ≥ 0) Exemplo: dado o sistema abaixo em malha fechada, determine o lugar das raízes

Técnica do Lugar das Raízes

Técnica do Lugar das Raízes Continuação Note que, para a função de transferência em malha fechada T(s), tem-se um pólo quando ou seja,